Derivatan av en kvot

Om två funktioner $f(x)$ och $g(x)$ divideras med varandra skapas en ny funktion, $\frac{f(x)}{g(x)},$ som är en kvot av de båda funktionerna. Exempelvis är $y=\dfrac {\sqrt{x}}{\cos(x)}$

en kvot av funktionerna

f(x)=\sqrt{x}

och

g(x)=\cos(x).

Bevis

Kvotregeln

För att derivera funktioner som är kvoter av andra funktioner kan man använda kvotregeln.

Bevis
$D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left(g(x) \right)^2}$

För att bevisa kvotregeln börjar man med att skriva om uttrycket så att det inte längre är en kvot. $\dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} = f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1}$ Om man nu ser $\left( g(x) \right)^{\text{-}1}$ som en ny funktion som multipliceras med $f(x)$ kan man använda produktregeln för att börja derivera.

\dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1}

Derivera funktion

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left( f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)

D( f \cdot g ) = D(f) \cdot g + f \cdot D(g)

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot D\left( \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)

Nu kan man använda kedjeregeln på den sista derivatan, där man ser $u^{\text{-}1}$ som den yttre funktionen och $u = g(x)$ som den inre.

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot D\left( \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)

D\left(u^n\right) = n u^{n-1}\cdot D(u)

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot \left( \text{-}1 \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \right) \cdot D\left( g(x) \right)

Multiplicera faktorer

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot D\left( g(x) \right)

D(y) = y'

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot g'(x)

För att få derivatan på en mer lättläst form skriver man sedan om de negativa exponenterna som bråk och sätter dem på gemensam nämnare.

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot g'(x)

a^{\text{-} b}=\dfrac{1}{a^b}

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \dfrac{1}{g(x)} - f(x) \cdot \dfrac{1}{\left( g(x) \right)^2} \cdot g'(x)

Multiplicera faktorer

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}

Förläng

\dfrac{f'(x)}{g(x)}

med

g(x)

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x)}{\left( g(x) \right)^2} - \dfrac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}

Subtrahera bråk

D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}

Nu står kvotregeln på den form man brukar presentera den: $D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}.$

Derivera med kvotregeln

Uppgift

"Stora Fina Korvar AB" var under ca $26$ år ledande inom kycklingkorvsindustrin innan korvkrisen $1987$ ledde till att företaget gick i konkurs. Under denna period kunde antalet ton korv som producerades per år beskrivas av funktionen $f(x)=x+\dfrac{x}{x-27},$ där $x$ är antalet år efter att företaget startade. Korvproduktionen nådde sin kulmen under dessa år. Vad var hastigheten för korvproduktionen vid den tidpunkt företaget producerade som mest?

Lösning

Eftersom funktionen beskriver just produktionshastighet kan vi bestämma den maximala hastigheten genom att hitta funktionens största värde. Detta finns i någon av funktionens stationära punkter eller ändpunkter. Men vi behöver inte undersöka ändpunkterna eftersom vi vet att korvproduktionen nådde sitt maximum någon gång mellan företagets start och konkurs. Vi börjar därför med att derivera funktionen för att hitta stationära punkter.

f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}

Derivera funktion

f'(x)=D(x)+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)

D\left(x\right) = 1

f'(x)=1+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)

Vi använder kvotregeln för att derivera $\frac{x}{x-27}.$

f'(x)=1+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)

D\left(\dfrac{f}{g}\right) = \dfrac{D(f)\cdot g - f\cdot D(g)}{g^2}

f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot D(x-27)}{(x-27)^2}

Derivera term för term

f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot (D(x)-D(27))}{(x-27)^2}

D(a) = 0

f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot D(x)}{(x-27)^2}

D\left(x\right) = 1

f'(x)=1+\dfrac{1\cdot(x-27)-x\cdot1}{(x-27)^2}

Multiplicera faktorer

f'(x)=1+\dfrac{(x-27)-x}{(x-27)^2}

Ta bort parentes

f'(x)=1+\dfrac{x-27-x}{(x-27)^2}

Förenkla termer

f'(x)=1+\dfrac{\text{-}27}{(x-27)^2}

Skriv

1

som

\dfrac{(x-27)^2}{(x-27)^2}

f'(x)=\dfrac{(x-27)^2}{(x-27)^2}+\dfrac{\text{-}27}{(x-27)^2}

Addera bråk

f'(x)=\dfrac{(x-27)^2-27}{(x-27)^2}

Nu sätter vi derivatan lika med $0$ och löser ekvationen för att bestämma $x\text{-}$ värdena där derivatan är $0.$

\dfrac{(x-27)^2-27}{(x-27)^2}=0

\text{VL} \cdot (x-27)^2=\text{HL}\cdot (x-27)^2

(x-27)^2-27=0

\text{VL}+27=\text{HL}+27

(x-27)^2=27

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x-27=\pm\sqrt{27}

\text{VL}+27=\text{HL}+27

x=27\pm\sqrt{27}

Eftersom företaget bara fanns i ca $26$ år är $x\text{-}$ värdet som är större än $27$ ointressant. Därför måste $x=27-\sqrt{27}$ vara det $x$ som ger funktionens största värde.

f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}

x={\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}

f\left({\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}\right)={\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}+\dfrac{{\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}}{{\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}-27}

Förenkla termer

f\left(27-\sqrt{27}\right)=27-\sqrt{27}+\dfrac{27-\sqrt{27}}{\text{-}\sqrt{27}}

Slå in på räknare

f\left(27-\sqrt{27}\right)=17.60769\ldots

Vid tidpunkten då företaget producerade som mest korv var produktionshastigheten alltså ca $17.6$ ton/år.

Visa lösning

Derivatan av en kvot

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Kvotregeln

Bevis

Exempel

Derivera med kvotregeln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

Deriveringsregler

Bevis

Exempel

Derivera med kvotregeln

Uppgifter

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}