Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

 Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

 play_circle_outline Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

 play_circle_outline Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

 play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

 play_circle_outline

Formelsamling

 Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

 looks_two

Kurs 2

 looks_3

Kurs 3

 looks_4

Kurs 4

 looks_5

Kurs 5

 Logga in account_circle menu_open

Derivatan av en kvot

Välj Kurs
Matte 4
Deriveringsregler

Om två funktioner f(x)f(x) och g(x)g(x) divideras med varandra skapas en ny funktion, f(x)g(x),\frac{f(x)}{g(x)}, som är en kvot av de båda funktionerna. Exempelvis är y=xcos⁡(x) y=\dfrac {\sqrt{x}}{\cos(x)}

en kvot av funktionerna f(x)=xf(x)=\sqrt{x} och g(x)=cos⁡(x).g(x)=\cos(x).
Bevis

Kvotregeln

För att derivera funktioner som är kvoter av andra funktioner kan man använda kvotregeln.

Bevis

 info
D(f(x)g(x))=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)(g(x))2D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left(g(x) \right)^2}
För att bevisa kvotregeln börjar man med att skriva om uttrycket så att det inte längre är en kvot. f(x)g(x)=f(x)⋅1g(x)=f(x)(g(x))-1 \dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} = f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1} Om man nu ser (g(x))-1\left( g(x) \right)^{\text{-}1} som en ny funktion som multipliceras med f(x)f(x) kan man använda produktregeln för att börja derivera.
f(x)g(x)=f(x)(g(x))-1\dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1}
Derivera funktion
D(f(x)g(x))=D(f(x)(g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left( f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
D(f⋅g)=D(f)⋅g+f⋅D(g)D( f \cdot g ) = D(f) \cdot g + f \cdot D(g)
D(f(x)g(x))=D(f(x))⋅(g(x))-1+f(x)⋅D((g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot D\left( \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
Nu kan man använda kedjeregeln på den sista derivatan, där man ser u-1u^{\text{-}1} som den yttre funktionen och u=g(x)u = g(x) som den inre.
D(f(x)g(x))=D(f(x))⋅(g(x))-1+f(x)⋅D((g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot D\left( \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
D(un)=nun−1⋅D(u) D\left(u^n\right) = n u^{n-1}\cdot D(u)
D(f(x)g(x))=D(f(x))⋅(g(x))-1+f(x)⋅(-1⋅(g(x))-2)⋅D(g(x))D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot \left( \text{-}1 \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \right) \cdot D\left( g(x) \right)
Multiplicera faktorer
D(f(x)g(x))=D(f(x))⋅(g(x))-1−f(x)⋅(g(x))-2⋅D(g(x))D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot D\left( g(x) \right)
D(y)=y′D(y) = y'
D(f(x)g(x))=f′(x)⋅(g(x))-1−f(x)⋅(g(x))-2⋅g′(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot g'(x)
För att få derivatan på en mer lättläst form skriver man sedan om de negativa exponenterna som bråk och sätter dem på gemensam nämnare.
D(f(x)g(x))=f′(x)⋅(g(x))-1−f(x)⋅(g(x))-2⋅g′(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot g'(x)
a-b=1aba^{\text{-} b}=\dfrac{1}{a^b}
D(f(x)g(x))=f′(x)⋅1g(x)−f(x)⋅1(g(x))2⋅g′(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \dfrac{1}{g(x)} - f(x) \cdot \dfrac{1}{\left( g(x) \right)^2} \cdot g'(x)
Multiplicera faktorer
D(f(x)g(x))=f′(x)g(x)−f(x)⋅g′(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
Förläng f′(x)g(x)\dfrac{f'(x)}{g(x)} med g(x)g(x)
D(f(x)g(x))=f′(x)⋅g(x)(g(x))2−f(x)⋅g′(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x)}{\left( g(x) \right)^2} - \dfrac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
Subtrahera bråk
D(f(x)g(x))=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
Nu står kvotregeln på den form man brukar presentera den: D(f(x)g(x))=f′(x)⋅g(x)−f(x)⋅g′(x)(g(x))2. D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}.
Uppgift

"Stora Fina Korvar AB" var under ca 2626 år ledande inom kycklingkorvsindustrin innan korvkrisen 19871987 ledde till att företaget gick i konkurs. Under denna period kunde antalet ton korv som producerades per år beskrivas av funktionen f(x)=x+xx−27, f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}, där xx är antalet år efter att företaget startade. Korvproduktionen nådde sin kulmen under dessa år. Vad var hastigheten för korvproduktionen vid den tidpunkt företaget producerade som mest?

Lösning
Eftersom funktionen beskriver just produktionshastighet kan vi bestämma den maximala hastigheten genom att hitta funktionens största värde. Detta finns i någon av funktionens stationära punkter eller ändpunkter. Men vi behöver inte undersöka ändpunkterna eftersom vi vet att korvproduktionen nådde sitt maximum någon gång mellan företagets start och konkurs. Vi börjar därför med att derivera funktionen för att hitta stationära punkter.
f(x)=x+xx−27f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}
Derivera funktion
f′(x)=D(x)+D(xx−27)f'(x)=D(x)+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)
D(x)=1D\left(x\right) = 1
f′(x)=1+D(xx−27)f'(x)=1+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)
Vi använder kvotregeln för att derivera xx−27.\frac{x}{x-27}.
f′(x)=1+D(xx−27)f'(x)=1+D\left(\dfrac{x}{x-27}\right)
D(fg)=D(f)⋅g−f⋅D(g)g2D\left(\dfrac{f}{g}\right) = \dfrac{D(f)\cdot g - f\cdot D(g)}{g^2}
f′(x)=1+D(x)⋅(x−27)−x⋅D(x−27)(x−27)2f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot D(x-27)}{(x-27)^2}
Derivera term för term
f′(x)=1+D(x)⋅(x−27)−x⋅(D(x)−D(27))(x−27)2f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot (D(x)-D(27))}{(x-27)^2}
D(a)=0D(a) = 0
f′(x)=1+D(x)⋅(x−27)−x⋅D(x)(x−27)2f'(x)=1+\dfrac{D(x)\cdot(x-27)-x\cdot D(x)}{(x-27)^2}
D(x)=1D\left(x\right) = 1
f′(x)=1+1⋅(x−27)−x⋅1(x−27)2f'(x)=1+\dfrac{1\cdot(x-27)-x\cdot1}{(x-27)^2}
Multiplicera faktorer
f′(x)=1+(x−27)−x(x−27)2f'(x)=1+\dfrac{(x-27)-x}{(x-27)^2}
Ta bort parentes
f′(x)=1+x−27−x(x−27)2f'(x)=1+\dfrac{x-27-x}{(x-27)^2}
Förenkla termer
f′(x)=1+-27(x−27)2f'(x)=1+\dfrac{\text{-}27}{(x-27)^2}
Skriv 11 som (x−27)2(x−27)2\dfrac{(x-27)^2}{(x-27)^2}
f′(x)=(x−27)2(x−27)2+-27(x−27)2f'(x)=\dfrac{(x-27)^2}{(x-27)^2}+\dfrac{\text{-}27}{(x-27)^2}
Addera bråk
f′(x)=(x−27)2−27(x−27)2f'(x)=\dfrac{(x-27)^2-27}{(x-27)^2}
Nu sätter vi derivatan lika med 00 och löser ekvationen för att bestämma x-x\text{-}värdena där derivatan är 0.0.
(x−27)2−27(x−27)2=0\dfrac{(x-27)^2-27}{(x-27)^2}=0
VL⋅(x−27)2=HL⋅(x−27)2\text{VL} \cdot (x-27)^2=\text{HL}\cdot (x-27)^2
(x−27)2−27=0(x-27)^2-27=0
VL+27=HL+27\text{VL}+27=\text{HL}+27
(x−27)2=27(x-27)^2=27
VL=HL\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}
x−27=±27x-27=\pm\sqrt{27}
VL+27=HL+27\text{VL}+27=\text{HL}+27
x=27±27x=27\pm\sqrt{27}
Eftersom företaget bara fanns i ca 2626 år är x-x\text{-}värdet som är större än 2727 ointressant. Därför måste x=27−27x=27-\sqrt{27} vara det xx som ger funktionens största värde.
f(x)=x+xx−27f(x)=x+\dfrac{x}{x-27}
x=27−27x={\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}
f(27−27)=27−27+27−2727−27−27f\left({\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}\right)={\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}+\dfrac{{\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}}{{\color{#0000FF}{27-\sqrt{27}}}-27}
Förenkla termer
f(27−27)=27−27+27−27-27f\left(27-\sqrt{27}\right)=27-\sqrt{27}+\dfrac{27-\sqrt{27}}{\text{-}\sqrt{27}}
Slå in på räknare
f(27−27)=17.60769…f\left(27-\sqrt{27}\right)=17.60769\ldots
Vid tidpunkten då företaget producerade som mest korv var produktionshastigheten alltså ca 17.617.6 ton/år.
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-recommended-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward