Rotationskroppar: Hur de skapas av rotation kring en axel

Begrepp

Rotationskropp

Om man låter en kurva rotera kring en axel kallas den form som innesluts av kurvan för rotationskropp. Exempelvis kan man skapa en cylinder genom att låta en del av en vertikal linje rotera kring en annan.

Andra rotationskoppar är t.ex. koner och klot.

Begrepp

Rotationskroppar i koordinatsystem

Om kurvan som roteras är en graf till en funktion kan man skapa rotationskroppar genom att låta grafen rotera kring

x

- eller

y

-axeln. Roteras en rät linje kring

y

-axeln kan man skapa en kon.

Rotera

Men man kan även skapa andra former. Genom att välja andra gränser för området och en annan rät linje kan man t.ex. få en avhuggen kon.

Rotera

Det går också bra att använda andra funktioner, exempelvis en sinuskurva.

Metod

Skissa rotationskroppar

För att skissa en rotationskropp i ett koordinatsystem kan man spegla kurvan i axeln som den roteras kring. Man kan exempelvis göra det för att skissa kroppen som bildas då grafen till $y = 0.5 x$ roteras kring $x$ -axeln på intervallet $1 \leq x \leq 3 .$

Skissa grafen

Först skissar man den graf som ska roteras. För exemplet är det $y = 0.5 x .$

Spegla grafen i rotationsaxeln

När grafen är ritad speglar man den i rotationsaxeln för det aktuella intervallet. I exemplet ska kurvan då speglas i $x$ -axeln mellan $x = 1$ och $x = 3 .$

Rita ellipser mellan kurvorna

Man binder sedan ihop kurvorna med hjälp av ellipser för att skapa en känsla av djup i bilden.

Identifiera rotationskroppen

Det är nu lättare att identifiera den rotationskropp som bildas. För exemplet är det en liggande kon vars topp är avhuggen. Om man vill kan man färglägga eller skugga kroppens sidor.

Bestäm den form som bildas vid rotation kring $x$ -axeln och beräkna dess volym

fullscreen

Vilken form bildas när grafen till $f (x)$ roterar kring $x$ -axeln? Bestäm även volymen.

Visa Lösning

Eftersom grafen är en halvcirkel kommer den speglade grafen också vara en halvcirkel. Tillsammans bildar de en hel cirkel.

Nu kan vi identifiera att formen är ett klot.

Volymen kan då bestämmas med formeln

V = \frac{4 π r ^{3}}{3},

där

r

är klotets radie.

Vi läser av att halvcirkelns, och även klotets, diameter är

7 .

Radien är hälften av detta, dvs.

3.5 .

V = \frac{4 π r ^{3}}{3}

Substitute

$r = 3.5$

V = \frac{4 π \cdot 3 . 5 ^{3}}{3}

UseCalc

Slå in på räknare

V = 179.59438 \dots

RoundDec

Avrunda till $1$ decimal(er)

V \approx 179.6

Figuren som bildas är alltså ett klot med volymen

179.6

ve.

Metod

Att approximera volymen av en rotationskropp

Eftersom grafer till funktioner kan se ut lite hur som helst har inte alla rotationskroppar en form vars volym kan beräknas med en given formel. Titta t.ex. på grafen till $f (x) = 4 - x^{2} .$

Om man låter den rotera kring $y$ -axeln ovanför $x$ -axeln får man något som kan liknas vid en rundad kon.

På liknande sätt som man kan uppskatta arean under en kurva med hjälp av rektanglar kan man approximera den här volymen som flera cylindrar staplade på varandra.

Genom att beräkna summan av volymerna för var och en av dessa cylindrar får man en hyfsad uppskattning av rotationskroppens volym. I det här fallet har man valt cylindrarnas höjd till $1 .$ Man kan välja radien på lite olika sätt varav ett är att läsa av $x$ -värdet för funktionen vid cylinders halva höjd. Man skulle också kunna låta cylindrarnas topp eller botten nudda grafen.

Genom att skapa fler cylindrar med lägre höjd får man en ännu bättre approximation av rotationskroppen.

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Exempel

Bestäm den form som bildas vid rotation kring x-axeln och beräkna dess volym

Bestäm den form som bildas vid rotation kring $x$ -axeln och beräkna dess volym