body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Ff

Formler för dubbla vinkeln Visa detaljer

Kursinnehåll

Klar med uppgifterna

Kapitel

8.

Formler för dubbla vinkeln

Formler för dubbla vinkeln är en del av trigonometri och handlar om vad som händer med sinus- och cosinusvärdena när en vinkel dubbleras. Det är inte så enkelt att värdena också dubbleras, men det går att hitta den dubblerade vinkelns sinus- och cosinusvärden. Dessa formler är användbara för att förenkla och lösa olika matematiska problem och ekvationer. De hjälper till att förstå sambandet mellan olika trigonometriska funktioner och hur de förändras när vinklarna de representerar förändras.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	12 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Formler för dubbla vinkeln

Sida av 5

Vad händer med sinus- och cosinusvärdena när en vinkel dubbleras? Kommer värdena också dubbleras? En titt bland standardvinklarna visar att det inte är riktigt så enkelt, men det går ändå att hitta den dubblerade vinkelns sinus- och cosinusvärden med hjälp av sin(v) och cos(v).

Regel

Sinus för dubbla vinkeln

Sinusvärdet av dubbla vinkeln 2v kan delas upp som dubbla produkten av vinkelns sinus- och cosinusvärden.

sin(2v)=2sin(v)cos(v)

Bevis

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om produkten 2v som additionen v+v.

sin(2v)

ProdToSumTwoTerms

2a=a+a

sin(v+v)

sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)

sin(v)cos(v) + cos(v)sin(v)

Ordningen spelar ingen roll när man multiplicerar tal, så cos(v)sin(v) är samma sak som sin(v)cos(v). De två termerna är därför samma och kan läggas ihop, på samma sätt som x+x förenklas till 2x.

sin(v)cos(v) + cos(v)sin(v)

Omarrangera faktorer

sin(v)cos(v) + sin(v)cos(v)

SumToProdTwoTerms

a+a=2a

2sin(v)cos(v)

Sinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas som sin(2v)=2sin(v)cos(v).

Q.E.D.

Beräkna dubbla vinkelns sinusvärde

fullscreen

En vinkel v har sinusvärdet 0.8 och cosinusvärdet 0.6. Utan att räkna ut vinkeln, bestäm sinusvärdet av 2v.

Visa Lösning

Sinus för dubbla vinkeln kan beräknas med formeln sin(2v) = 2sin(v)cos(v). Man använder alltså sin(v) och cos(v). Dessa är givna i uppgiften: sin(v) &= 0.8 cos(v) &= 0.6. Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna sin(2v).

sin(2v) = 2sin(v)cos(v)

sin(v)= 0.8 och cos(v)= 0.6

sin(2v) = 2* 0.8* 0.6

Multiplicera faktorer

sin(2v) = 0.96

Dubbla vinkelns sinusvärde är i det här fallet 0.96.

Regel

Cosinus för dubbla vinkeln

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln 2v kan delas upp som differensen mellan cos^2(v) och sin^2(v). De två andra formerna uttrycker identiteten enbart med cos(v) respektive sin(v).

cos (2v) = cos^2 (v) - sin^2(v)
cos (2v) = 1- 2sin^2(v)
cos (2v) = 2cos^2 (v) -1

Bevis

Vi kommer att bevisa varje identitet en i taget.

cos (2v) = cos^2 (v) - sin^2(v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för cosinus. Den kan användas om man först skriver om produkten 2v som additionen v+v.

cos(2v)

ProdToSumTwoTerms

2a=a+a

cos(v+v)

cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v)

cos(v)cos(v) - sin(v)sin(v)

ProdToPowTwoFac

a* a=a^2

cos^2(v) - sin^2(v)

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas om som cos (2v) = cos^2 (c) - sin^2(v)

cos(2v)=1-2sin^2(v)

Beviset använder en omskrivning av trigonometriska ettan som hittas genom att lösa ut cos^2(v). $ sin^2(v) + cos^2(v) = 1 $ ⇓ $ cos^2(v) = 1 - sin^2(v) $ Detta uttryck kan nu användas i dubbla vinkeln för cosinus.

cos(2v) = cos^2(v) - sin^2(v)

cos^2(v) = 1 - sin^2(v)

cos(2v) = 1-sin^2(v) - sin^2(v)

Förenkla termerna

cos(2v) = 1-2sin^2(v)

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså också skrivas som cos(2v)=1 - 2sin^2(v).

cos(2v)=2cos^2(v)-1

I den andra varianten har istället sin^2(v) bytts ut, så att högerledet bara använder cos^2(v). Det här beviset använder också trigonometriska ettan, men nu i en variant där sin^2(v) lösts ut. $ sin^2(v) + cos^2(v) = 1 $ ⇓ $ sin^2(v) = 1 - cos^2(v) $ Detta uttryck kan nu användas i dubbla vinkeln för cosinus.

cos(2v) = cos^2(v) - sin^2(v)

sin^2(v) = 1 - cos^2(v)

cos(2v) = cos^2(v) - (1- cos^2(v))

Ta bort parentes & byt tecken

cos(2v) = cos^2(v) - 1 + cos^2(v)

Förenkla termerna

cos(2v) = 2cos^2(v) - 1

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså också skrivas som cos(2v)=2cos^2(v) - 1.

Förenkla med dubbla vinkeln

fullscreen

Visa att sin(v)cos(v)/cos^2(v)-sin^2(v) = tan(2v)/2 genom att förenkla vänsterledet.

Visa Lösning

Nämnaren i vänsterledet matchar precis uttrycket i formeln för cosinus av dubbla vinkeln: $cos(2v)=cos^2(v)-sin^2(v)$. Regeln kan därför användas "baklänges" för att byta ut nämnaren mot det mer kompakta uttrycket cos(2v).

sin(v)cos(v)/cos^2(v)-sin^2(v)

CosDoubleAngleRev

cos^2(v)-sin^2(v)=cos(2v)

sin(v)cos(v)/cos(2v)

Täljaren kan också skrivas om. Notera att den nästan matchar uttrycket som används i formeln för sinus av dubbla vinkeln: $sin(2v)=2sin(v)cos(v)$. För att matchningen ska stämma helt överens förlänger vi bråket med 2.

sin(v)cos(v)/cos(2v)

Förläng med 2

2sin(v)cos(v)/2cos(2v)

SinDoubleAngleRev

2sin(v)cos(v)=sin(2v)

sin(2v)/2cos(2v)

Nu innehåller uttrycket sinus delat på cosinus. Kom ihåg definitionen av tangens: $tan(v)=sin(v)/cos(v)$. I det här fallet är det 2v istället för v, men så länge sinus och cosinus använder samma vinkel fungerar omvandlingen. Vinkeln kommer då vara 2v även för tangens.

sin(2v)/2cos(2v)

a/b* c=a/c/b

sin(2v)/cos(2v)/2

sin(v)/cos(v)=tan(v)

tan(2v)/2

Alltså är sin(v)cos(v)/cos^2(v)-sin^2(v) = tan(2v)/2.

Q.E.D.

Formler för dubbla vinkeln

Uppgifter

Stämmer det att cos(2v) + sin^2(v) = cos^2(v)? Motivera!

För att undersöka om en likhet gäller vill vi att det ska stå samma sak på båda sidor om likhetstecknet. I vänsterled har vi cos(2v) vilket vi kan skriva om med cosinus för dubbla vinkeln.

Det som blir kvar i vänsterledet är cos^2(v) vilket är det som står i högerledet. Vi har därmed visat att likheten gäller.

Stämmer det att 2sin(x)=sin(2x)/cos(x)? Motivera!

Det finns olika sätt att undersöka om likheten gäller. Vi väljer att försöka omvandla högerledet till vänsterledet, genom att utveckla sin(2x) med sinus för dubbla vinkeln.

Nu har vi skrivit om högerledet till 2sin(x) vilket är samma sak som står i vänsterledet. Vi har visat att likheten stämmer.

Man vet att sin(v) = 0,4 och vinkeln v ligger i första kvadranten.

Bestäm cos(v), svara exakt.

Bestäm sin(2v), svara exakt.

Vi vet att sin(v) = 0,4 och för att bestämma cos(v) kan vi använda oss av trigonometriska ettan.

Vi vet att sin(v)=0,4 och ser nu att cos(v) kan vara antingen sqrt(0,84) eller - sqrt(0,84). Eftersom sinus motsvarar ett y-värde i enhetscirkeln medan cosinus motsvarar ett x-värde måste vinkeln v peka på någon av de markerade punkterna.

Men vinkeln ska ligga i första kvadranten, så den enda möjliga punkten är den högra. Därför måste cosinusvärdet vara cos(v) = sqrt(0,84).

Uttrycket sin(2v) kan vi skriva om med sinus för dubbla vinkeln och sedan använda värdena för sin(v) och cos(v) som vi vet.

Värdet av sin(2v) är alltså 0,8 * sqrt(0,84).

Lös ekvationen och svara i radianer. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.

sin(v) = sin^2(v) + cos^2(v) Svara exakt.

1/4 = sin(v)cos(v) Avrunda till två decimaler.

Högerledet kan vi skriva om med trigonometriska ettan.

Vi får då ekvationen sin(v) = 1 som vi löser med metoden för sinusekvationer.

De två lösningsmängderna är identiska och den fullständiga lösningen på ekvationen är alltså v = π/2+n*2π.

Högerledet liknar uttrycket för sinus för dubbla vinkeln. Om vi multiplicerar båda leden med 2 kan vi skriva om högerledet.

Vi har nu ekvationen sin(2v) =1/2 som vi kan lösa med metoden för sinusekvationer.

Den fullständiga lösningen på ekvationen får vi av lösningsmängderna v ≈ 0,26 + n * π och v ≈ 1,31 + n * π.

Stämmer det att cos(v)/sin(v) + sin(v)/cos(v) = 2/sin(2v)? Motivera!

För att undersöka om likheten stämmer vill vi försöka skriva om vänsterledet till samma uttryck som högerledet. Högerledet är bara en term, så vi börjar med att slå ihop bråken. För att göra det måste de ha samma nämnare.

Nu vill vi förenkla bråket. Täljaren kan förenklas med trigonometriska ettan, och om bråket förlängs med 2 kan nämnaren förenklas med sinus för dubbla vinkeln.

Uttrycket vi har kommit fram till är alltså samma sak som står i högerledet. Vi har visat att likheten stämmer.

Formler för dubbla vinkeln

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Redigera lektion

≥

>

■2

■▢

e▢

7

8

9

×

÷■1

=

=

√▢

▢√

∫▢▢

4

5

6

+

−

≤

<

log

ln

log▢

1

2

3

()

∣

sin

cos

tan

0

.

π

x

y