{{ toc.name }}
{{ toc.signature }}
{{ toc.name }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}
{{ stepNode.name }}
Proceed to next lesson
Lektion
Övningar
Rekommenderade
Tester
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel {{ article.chapter.number }}
{{ article.number }}. 

{{ article.displayTitle }}

{{ article.introSlideInfo.summary }}
{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }} expand_more
{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}
{{ ability.description }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}
{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}
{{ 'ml-lesson-number-slides' | message : article.introSlideInfo.bblockCount}}
{{ 'ml-lesson-number-exercises' | message : article.introSlideInfo.exerciseCount}}
{{ 'ml-lesson-time-estimation' | message }}
Vad händer med sinus- och cosinusvärdena när en vinkel dubbleras? Kommer värdena också dubbleras? En titt bland standardvinklarna visar att det inte är riktigt så enkelt, men det går ändå att hitta den dubblerade vinkelns sinus- och cosinusvärden med hjälp av och

Bevis

Sinus för dubbla vinkeln

Sinusvärdet av dubbla vinkeln kan delas upp som dubbla produkten av vinkelns sinus- och cosinusvärden.

Bevis

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om produkten som additionen
Ordningen spelar ingen roll när man multiplicerar tal, så
De två termerna är därför samma och kan läggas ihop, på samma sätt som förenklas till
Sinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas som
Q.E.D.

Exempel

Beräkna dubbla vinkelns sinusvärde

fullscreen


En vinkel har sinusvärdet och cosinusvärdet Utan att räkna ut vinkeln, bestäm sinusvärdet av

Visa Lösning expand_more
Sinus för dubbla vinkeln kan beräknas med formeln
Man använder alltså och Dessa är givna i uppgiften:
Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna
Dubbla vinkelns sinusvärde är i det här fallet

Bevis

Cosinus för dubbla vinkeln

Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan delas upp som differensen mellan och

Bevis

Beviset för detta utgår från additionsformeln för cosinus. Den kan användas om man först skriver om produkten som additionen
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas om som
Q.E.D.
Genom att byta ut antingen eller via trigonometriska ettan kan man hitta ytterligare två varianter av formeln.


Exempel

Förenkla med dubbla vinkeln

fullscreen

Visa att
genom att förenkla vänsterledet.
Visa Lösning expand_more
Nämnaren i vänsterledet matchar precis uttrycket i formeln för cosinus av dubbla vinkeln:
Regeln kan därför användas "baklänges" för att byta ut nämnaren mot det mer kompakta uttrycket
Täljaren kan också skrivas om. Notera att den nästan matchar uttrycket som används i formeln för sinus av dubbla vinkeln:
För att matchningen ska stämma helt överens förlänger vi bråket med
Nu innehåller uttrycket sinus delat på cosinus. Kom ihåg definitionen av tangens:
I det här fallet är det istället för men så länge sinus och cosinus använder samma vinkel fungerar omvandlingen. Vinkeln kommer då vara även för tangens.

Alltså är
Q.E.D.