Logga in
| 5 sidor teori |
| 12 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Sinusvärdet av dubbla vinkeln 2v kan delas upp som dubbla produkten av vinkelns sinus- och cosinusvärden.
2a=a+a
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
Omarrangera faktorer
a+a=2a
En vinkel v har sinusvärdet 0.8 och cosinusvärdet 0.6. Utan att räkna ut vinkeln, bestäm sinusvärdet av 2v.
sin(v)=0.8 och cos(v)=0.6
Multiplicera faktorer
2a=a+a
cos(u+v)=cos(u)cos(v)−sin(u)sin(v)
a⋅a=a2
cos(2v)=1−2sin2(v)
cos(2v)=2cos2(v)−1
Förläng med 2
2sin(v)cos(v)=sin(2v)
För att undersöka om en likhet gäller vill vi att det ska stå samma sak på båda sidor om likhetstecknet. I vänsterled har vi cos(2v) vilket vi kan skriva om med cosinus för dubbla vinkeln.
Det som blir kvar i vänsterledet är cos^2(v) vilket är det som står i högerledet. Vi har därmed visat att likheten gäller.
Det finns olika sätt att undersöka om likheten gäller. Vi väljer att försöka omvandla högerledet till vänsterledet, genom att utveckla sin(2x) med sinus för dubbla vinkeln.
Nu har vi skrivit om högerledet till 2sin(x) vilket är samma sak som står i vänsterledet. Vi har visat att likheten stämmer.
Man vet att sin(v)=0.4 och vinkeln v ligger i första kvadranten.
Vi vet att sin(v) = 0.4 och för att bestämma cos(v) kan vi använda oss av trigonometriska ettan.
Vi vet att sin(v)=0.4 och ser nu att cos(v) kan vara antingen sqrt(0.84) eller - sqrt(0.84). Eftersom sinus motsvarar ett y-värde i enhetscirkeln medan cosinus motsvarar ett x-värde måste vinkeln v peka på någon av de markerade punkterna.
Men vinkeln ska ligga i första kvadranten, så den enda möjliga punkten är den högra. Därför måste cosinusvärdet vara cos(v) = sqrt(0.84).
Uttrycket sin(2v) kan vi skriva om med sinus för dubbla vinkeln och sedan använda värdena för sin(v) och cos(v) som vi vet.
Värdet av sin(2v) är alltså 0.8 * sqrt(0.84).
Lös ekvationen och svara i radianer. Låt n vara antalet hela varv i enhetscirkeln.
Högerledet kan vi skriva om med trigonometriska ettan. sin(v) = sin^2(v) + cos^2(v) ⇔ sin(v) = 1 Vi får då ekvationen sin(v) = 1 som vi löser med metoden för sinusekvationer.
De två lösningsmängderna är identiska och den fullständiga lösningen på ekvationen är alltså v = π2+n*2π.
Högerledet liknar uttrycket för sinus för dubbla vinkeln. Om vi multiplicerar båda leden med 2 kan vi skriva om högerledet.
Vi har nu ekvationen sin(2v) = 12 som vi kan lösa med metoden för sinusekvationer.
Den fullständiga lösningen på ekvationen får vi av lösningsmängderna v ≈ 0.26 + n * π och v ≈ 1.31 + n * π.
För att undersöka om likheten stämmer vill vi försöka skriva om vänsterledet till samma uttryck som högerledet. Högerledet är bara en term, så vi börjar med att slå ihop bråken. För att göra det måste de ha samma nämnare.
Nu vill vi förenkla bråket. Täljaren kan förenklas med trigonometriska ettan, och om bråket förlängs med 2 kan nämnaren förenklas med sinus för dubbla vinkeln.
Uttrycket vi har kommit fram till är alltså samma sak som står i högerledet. Vi har visat att likheten stämmer.