8. Formler för dubbla vinkeln
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Formler för dubbla vinkeln är en del av trigonometri och handlar om vad som händer med sinus- och cosinusvärdena när en vinkel dubbleras. Det är inte så enkelt att värdena också dubbleras, men det går att hitta den dubblerade vinkelns sinus- och cosinusvärden. Dessa formler är användbara för att förenkla och lösa olika matematiska problem och ekvationer. De hjälper till att förstå sambandet mellan olika trigonometriska funktioner och hur de förändras när vinklarna de representerar förändras.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 5 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Sinusvärdet av dubbla vinkeln 2v kan delas upp som dubbla produkten av vinkelns sinus- och cosinusvärden.
sin(2v)=2sinvcosv
2a=a+a
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
Ordningen spelar ingen roll när man multiplicerar tal, så
cosvsinv är samma sak som sinvcosv.
De två termerna är därför samma och kan läggas ihop, på samma sätt som x+x förenklas till 2x.
Omarrangera faktorer
a+a=2a
Sinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas som
sin(2v)=2sinvcosv.
Sinus för dubbla vinkeln kan beräknas med formeln sin(2v) = 2sin(v)cos(v). Man använder alltså sin(v) och cos(v). Dessa är givna i uppgiften: sin(v) &= 0.8 cos(v) &= 0.6. Vi sätter in dessa värden i formeln för att beräkna sin(2v).
sin(v)= 0.8 och cos(v)= 0.6
Multiplicera faktorer
Dubbla vinkelns sinusvärde är i det här fallet 0.96.
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln 2v kan delas upp som differensen mellan cos^2v och sin^2v. De två andra formerna uttrycker identiteten enbart med cosv respektive sinv.
cos (2v) = cos^2 v - sin^2v
cos (2v) = 1- 2sin^2v
cos (2v) = 2cos^2 v -1
Beviset för detta utgår från additionsformeln för cosinus. Den kan användas om man först skriver om produkten 2v som additionen v+v.
2a=a+a
cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v)
a* a=a^2
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså skrivas om som
cos (2v) = cos^2v - sin^2v
Beviset använder en omskrivning av trigonometriska ettan som hittas genom att lösa ut cos^2v.
sin^2(v) + cos^2(v) = 1 ⇒ cos^2(v) = 1 - sin^2(v)
Detta uttryck kan nu användas i dubbla vinkeln för cosinus.
cos^2(v) = 1 - sin^2(v)
Förenkla termerna
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså också skrivas som
cos(2v)=1 - 2sin^2v.
I den andra varianten har istället sin^2v bytts ut, så att högerledet bara använder cos^2v. Det här beviset använder också trigonometriska ettan, men nu i en variant där sin^2v lösts ut.
sin^2(v) + cos^2(v) = 1 ⇒ sin^2(v) = 1 - cos^2(v)
Detta uttryck kan nu användas i dubbla vinkeln för cosinus.
sin^2(v) = 1 - cos^2(v)
Ta bort parentes & byt tecken
Förenkla termerna
Cosinusvärdet av dubbla vinkeln kan alltså också skrivas som
cos(2v)=2cos^2v - 1.
Nämnaren i vänsterledet matchar precis uttrycket i formeln för cosinus av dubbla vinkeln: $cos(2v)=cos^2(v)-sin^2(v)$. Regeln kan därför användas "baklänges" för att byta ut nämnaren mot det mer kompakta uttrycket cos(2v).
Täljaren kan också skrivas om. Notera att den nästan matchar uttrycket som används i formeln för sinus av dubbla vinkeln: $sin(2v)=2sin(v)cos(v)$. För att matchningen ska stämma helt överens förlänger vi bråket med 2.
Förläng med 2
2sin(v)cos(v)=sin(2v)
Nu innehåller uttrycket sinus delat på cosinus. Kom ihåg definitionen av tangens: $tan(v)=sin(v)/cos(v)$. I det här fallet är det 2v istället för v, men så länge sinus och cosinus använder samma vinkel fungerar omvandlingen. Vinkeln kommer då vara 2v även för tangens.
Alltså är sin(v)cos(v)/cos^2(v)-sin^2(v) = tan(2v)/2.
Vi använder dubbelvinkelidentiteten för sinus för att bestämma det exakta värdet av sin 240^(∘). Låt oss först påminna oss om formeln. sin 2θ = 2 sin θ cos θ Vi börjar med att skriva om 240^(∘) som produkten 2 * 120^(∘), eftersom 120^(∘) är en standardvinkel.
Därefter behöver vi påminna oss om värdena på sinus och cosinus för 120^(∘). sin 120^(∘) =sqrt(3)/2 och cos 120^(∘) = - 1/2 Slutligen sätter vi in dessa två värden i vårt uttryck.
Vi behöver bestämma det exakta värdet av cos 600^(∘). För att göra detta använder vi dubbelvinkelidentiteten för cosinus. cos 2θ = 2 cos^2 θ - 1 Vi börjar med att skriva om 600^(∘) som en produkt och använder sedan formeln.
Vi känner till värdet av cos 300^(∘), eftersom det är ett trigonometriskt standardvärde. cos 300^(∘) = 1/2 Nu kan vi substituera detta värde i vårt uttryck.
Förenkla uttrycket. 2cos^2 θ - cos(2θ)
För att förenkla det givna uttrycket kan vi använda dubbelvinkelidentiteten för cosinus. cos(2θ)=2cos ^2 θ - 1 Vi kommer att ersätta den i det givna uttrycket och förenkla. Låt oss göra det!
Givet att cos θ = 3/5 och att 270^(∘) < θ < 360^(∘), bestäm det exakta värdet av cos(2θ).
Att veta att cos θ=3/5 och att 270^(∘) < θ < 360^(∘), vill vi bestämma det exakta värdet av cos(2θ). Innan vi börjar, låt oss påminna oss om dubbelvinkelidentiteten för cosinus. cos(2θ) = 2 cos^2 θ - 1 Vi kan använda denna identitet för att skriva om det givna uttrycket. Därefter ersätter vi 3/5 med cos θ.
Högerledet kan vi skriva om med trigonometriska ettan.
Vi får då ekvationen sinv = 1 som vi löser med metoden för sinusekvationer.
De två lösningsmängderna är identiska och den fullständiga lösningen på ekvationen är alltså v = π/2+n*2π.
Högerledet liknar uttrycket för sinus för dubbla vinkeln. Om vi multiplicerar båda leden med 2 kan vi skriva om högerledet.
Vi har nu ekvationen sin(2v) =1/2 som vi kan lösa med metoden för sinusekvationer.
Den fullständiga lösningen på ekvationen får vi av lösningsmängderna v ≈ 0,26 + n * π och v ≈ 1,31 + n * π.
Stämmer det att cos(2v) + sin^2v = cos^2v? Motivera!
För att undersöka om en likhet gäller vill vi att det ska stå samma sak på båda sidor om likhetstecknet. I vänsterled har vi cos(2v) vilket vi kan skriva om med cosinus för dubbla vinkeln.
Det som blir kvar i vänsterledet är cos^2v vilket är det som står i högerledet. Vi har därmed visat att likheten gäller.
Stämmer det att 2sinx=sin(2x)/cosx? Motivera!
Det finns olika sätt att undersöka om likheten gäller. Vi väljer att försöka omvandla högerledet till vänsterledet, genom att utveckla sin(2x) med sinus för dubbla vinkeln.
Nu har vi skrivit om högerledet till 2sin(x) vilket är samma sak som står i vänsterledet. Vi har visat att likheten stämmer.
Stämmer det att cosv/sinv + sinv/cosv = 2/sin(2v)? Motivera!
För att undersöka om likheten stämmer vill vi försöka skriva om vänsterledet till samma uttryck som högerledet. Högerledet är bara en term, så vi börjar med att slå ihop bråken. För att göra det måste de ha samma nämnare.
Nu vill vi förenkla bråket. Täljaren kan förenklas med trigonometriska ettan, och om bråket förlängs med 2 kan nämnaren förenklas med sinus för dubbla vinkeln.
Uttrycket vi har kommit fram till är alltså samma sak som står i högerledet. Vi har visat att likheten stämmer.
Vi vet att sinv = 0,4 och för att bestämma cosv kan vi använda oss av trigonometriska ettan.
Vi vet att sinv=0,4 och ser nu att cosv kan vara antingen sqrt(0,84) eller - sqrt(0,84). Eftersom sinus motsvarar ett y-värde i enhetscirkeln medan cosinus motsvarar ett x-värde måste vinkeln v peka på någon av de markerade punkterna.
Men vinkeln ska ligga i första kvadranten, så den enda möjliga punkten är den högra. Därför måste cosinusvärdet vara cosv = sqrt(0,84).
Uttrycket sin(2v) kan vi skriva om med sinus för dubbla vinkeln och sedan använda värdena för sinv och cosv som vi vet.
Värdet av sin(2v) är alltså 0,8 * sqrt(0,84).