Sannolikhetsfördelningar

I intervallet 30 < x < 60 är vår täthetsfunktion f(x)= 1xln(2). Vi skall nu bestämma en primitiv funktion till denna.

En primitiv funktion till f(x) är F(x) = ln(x)/ln(2).

Vi beräknar integralen ∫_(30)^(45) 1xln(2) d x med hjälp av den primitiva funktion vi bestämde i föregående deluppgift.

Integralens värde är alltså ungefär 0,58.

Vi ska beräkna sannolikheten att katterna äter upp godisen inom 3 sekunder, dvs. P(0 < t < 3). Eftersom täthetsfunktionen är given kan vi beräkna den sökta sannolikheten med hjälp av en integral: P(0 < t < 3) = ∫_0^3f(x) d x . Vi bestämmer först en primitiv funktion till f(t).

Vi är nu redo att beräkna integralen.

Sannolikheten att kattgodisen äts upp inom 3 sekunder är alltså ca 91 %.

Täthetsfunktionen i uppgiften beskriver radioaktivt sönderfall för atomer med halveringstiden T, så vi kan sätta in T = 139 för att få täthetsfunktion för den isotop vi är intresserad av. f(x) = ln(2)/139 * e^(-ln(2) * x / 139) Vi är sedan ute efter sannolikheten att en atom sönderfaller någon gång under de 300 första dagarna, vilket vi beräknar med en integral av täthetsfunktionen från x = 0 till x = 300. ∫_0^(300)ln(2)/139 * e^(-ln(2) * x / 139) d x Vi börjar med att bestämma en primitiv funktion till integranden f(x).

Vi bestämmer sedan integralen.

Sannolikheten att atomen har sönderfallit efter 300 dagar är alltså 78 %.

Vi ska beräkna sannolikheten att x antar ett värde mellan 1 och 2, dvs. P(1 < x < 2). Eftersom täthetsfunktionen är given kan vi beräkna den sökta sannolikheten med hjälp av en integral: P(1 < x < 2) = ∫_1^2f(x) d x . För intervallet 1< x <2 är f(x)=0,05x+0,15. Innan vi kan bestämma integralen måste vi hitta en primitiv funktion till f(x).

Vi är nu redo att beräkna integralen.

Sannolikheten att x antar ett värde mellan 1 och 2 är alltså 0,225=22,5 %.

Udo verkar tro att sannolikheten att få ett visst x kan läsas av som funktionsvärdet. Detta stämmer dock inte — täthetsfunktioner används för att bestämma sannolikheten för utfall inom ett visst intervall. Sannolikheten att x ska anta något precist värde, t.ex. 3, är faktiskt 0 för kontinuerliga sannolikhetsfördelningar. Man kan visa det genom att beräkna P(3 ≤ x ≤ 3) med integralen ∫_3^3f(x) d x . Detta motsvarar sannolikheten P(x = 3). Eftersom integralens undre och övre gräns är samma får vi F(3)-F(3)=0. För att sannolikheten ska vara skild från 0 måste man alltså studera x på ett intervall.

Låt oss kalla vår täthetsfunktion f(x). Vi vet att f(x)=0 då x < - 1 och då x > 1, eftersom sannolikheten att få ett utfall där är 0. Vi vet därför hur funktionen ser ut i två intervall.

Vi vet att sannolikheten att hamna till höger om y-axeln är nollskild. Eftersom f(x) är en täthetsfunktion kan den inte vara negativ. Det betyder att f(x)>0 någonstans i intervallet 0 ≤ x ≤ 1. Om vi låter täthetsfunktionen vara konstant i detta intervall får vi följande.

Uppgiften säger att sannolikheten att hamna till vänster om x-axeln skall vara större än att hamna till höger. Vi låter f(x) vara konstant även i intervallet - 1≤ x<0 och vi väljer en större konstant funktion. Det skulle kunna se ut så här.

För alla täthetsfunktioner gäller att ∫_(- ∞)^(∞)f(x) d x =1. För vår funktion kan detta tolkas som att arean under f(x) är 1 på intervallet - 1 ≤ x ≤ 1. Vi förtydligar detta genom att markera den aktuella ytan och samtidigt dela upp arean i två delar.

De två delarna sammanlagda area är 1 och den röda arean måste vara större än den blå. Vi kan t.ex. säga att det rödmarkerade området har arean 0,75 och det blåmarkerade får då arean 0,25. Eftersom bredden för vardera området är 1 får vi att höjden för det röda området med detta val blir 0,75 och för det blå blir 0,25.

Vi har nu skapat den önskade täthetsfunktionen. Vi tecknar nu ett uttryck för f(x). Det blir då f(x) = 0, & x < - 1 0,75, & - 1 ≤ x < 0 0,25, & 0 ≤ x ≤ 1 0, & x > 1.