Rotationskroppar

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Rotationskropp

Om man låter en kurva rotera kring en axel kallas den form som innesluts av kurvan för rotationskropp. Exempelvis kan man skapa en cylinder genom att låta en del av en vertikal linje rotera kring en annan.

Andra rotationskoppar är t.ex. koner och klot.

Begrepp

Rotationskroppar i koordinatsystem

Om kurvan som roteras är en graf till en funktion kan man skapa rotationskroppar genom att låta grafen rotera kring xx- eller yy-axeln. Roteras en rät linje kring yy-axeln kan man skapa en kon.

Rotera

Men man kan även skapa andra former. Genom att välja andra gränser för området och en annan rät linje kan man t.ex. få en avhuggen kon.

Rotera

Det går också bra att använda andra funktioner, exempelvis en sinuskurva.

Metod

Skissa rotationskroppar

För att skissa en rotationskropp i ett koordinatsystem kan man spegla kurvan i axeln som den roteras kring. Man kan exempelvis göra det för att skissa kroppen som bildas då grafen till y=0.5xy = 0.5x roteras kring xx-axeln på intervallet 1x3.1 \leq x \leq 3.

Först skissar man den graf som ska roteras. För exemplet är det y=0.5x.y = 0.5x.

När grafen är ritad speglar man den i rotationsaxeln för det aktuella intervallet. I exemplet ska kurvan då speglas i xx-axeln mellan x=1x = 1 och x=3.x = 3.

Man binder sedan ihop kurvorna med hjälp av ellipser för att skapa en känsla av djup i bilden.

Det är nu lättare att identifiera den rotationskropp som bildas. För exemplet är det en liggande kon vars topp är avhuggen. Om man vill kan man färglägga eller skugga kroppens sidor.

Uppgift

Vilken form bildas när grafen till f(x)f(x) roterar kring xx-axeln? Bestäm även volymen.

Visa lösning Visa lösning
Metod

Att approximera volymen av en rotationskropp

Eftersom grafer till funktioner kan se ut lite hur som helst har inte alla rotationskroppar en form vars volym kan beräknas med en given formel. Titta t.ex. på grafen till f(x)=4x2.f(x)=4-x^2.

Om man låter den rotera kring yy-axeln ovanför xx-axeln får man något som kan liknas vid en rundad kon.

På liknande sätt som man kan uppskatta arean under en kurva med hjälp av rektanglar kan man approximera den här volymen som flera cylindrar staplade på varandra.

Genom att beräkna summan av volymerna för var och en av dessa cylindrar får man en hyfsad uppskattning av rotationskroppens volym. I det här fallet har man valt cylindrarnas höjd till 1.1. Man kan välja radien på lite olika sätt varav ett är att läsa av xx-värdet för funktionen vid cylinders halva höjd. Man skulle också kunna låta cylindrarnas topp eller botten nudda grafen.

Genom att skapa fler cylindrar med lägre höjd får man en ännu bättre approximation av rotationskroppen.

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka av följande objekt är rotationskroppar?

Uppgift3382 rotationskroppar.svg
1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rät linje roteras kring xx-axeln från x=1x=1 till x=6.x=6. Förklara vilken figur som bildas och vilken volym den får om den räta linjen är

y=6y=6
a
y=-3.y=\text{-}3.
b
1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Man kan skapa mer komplexa rotationskroppar genom att kombinera dem på olika sätt. Man kan t.ex. skapa en enkel mugg genom att låta y=3y=3 rotera kring xx-axeln från x=0x=0 till x=10x=10 och sedan gröpa ur den rotationskropp som bildas när y=2.5y=2.5 roterar kring xx-axeln mellan x=1x=1 och x=10.x=10. Bestäm hur mycket material som går åt vid tillverkning av muggen om axlarnas enhet är cm.

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm en funktion och tillhörande gränser för xx så att följande rotationskropp bildas vid rotation kring yy-axeln.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen y=0.5x3 y=0.5x-3 roteras kring xx-axeln mellan x=-4x=\text{-}4 och x=-1.x=\text{-}1.

a

Skissa rotationskroppen.

b

Beräkna figurens volym och svara exakt.

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

De två funktionerna f(x)=3f(x)=3 och g(x)=4g(x)=4 begränsar tillsammans med x=-2x=\text{-} 2 och x=6x=6 en yta. Denna yta roteras runt x-x\text{-}axeln. Vilken slags kropp bildas då och hur stor är dess volym?

b

Samma yta roteras kring y-y\text{-}axeln. Vilken slags kropp bildas denna gång och hur stor är denna kropps volym?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En rotationskropp bildas då funktionen f(x)=e0.5xf(x)=e^{0.5x} roteras kring xx-axeln på intervallet 0x3.0\leq x \leq 3.

a
Använd tre cylindrar för att göra en approximation av rotationskroppens volym som garanterat är mindre än kroppens faktiska volym.
b
Använd tre cylindrar för att göra en approximation av rotationskroppens volym som garanterat är större än kroppens faktiska volym.
c
Ställ upp ett intervall inom vilket den faktiska volymen är.
2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a
Grafen till funktionen f(x)=2x1f(x)=2x-1 roteras kring xx-axeln mellan x=-5x=\text{-}5 och x=10.x=10. Bestäm volymen av den figur som bildas. Svara exakt.
b
Om man tar den del av grafen som finns mellan x=-5x=\text{-}5 och x=10x=10 och istället roterar den kring yy-axeln bildas en liknande figur som i föregående deluppgift. Bestäm volymen av denna och svara exakt.
2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bilden visar en approximation av rotationskroppen mellan x=1x=1 och x=5x=5 som bildas när funktionen y=20.25xy = 2 - 0.25x roterar kring xx-axeln.

a
Med hur många procent skiljer sig approximationen av volymen från kroppens faktiska volym?
b
Gör en bättre approximation av volymen med hjälp av cylindrar. Hur många procent skiljer den sig från den faktiska volymen?
Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen f(x)=sin(x)f(x)=\sin(x) på intervallet 0x2π0 \leq x \leq 2\pi roteras kring x-x\text{-}axeln. Den rotationskropp som bildas roteras därefter kring y-y\text{-}axeln, vilket skapar en ny rotationskropp. Gör en enkel skiss av den nya rotationskroppen.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

När område I respektive II roterar kring xx-axeln bildas två olika rotationskroppar. Bestäm förhållandet mellan kropparnas volym.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}