Tangenskurvor

Vi söker efter punkter som vi enkelt kan läsa av i olika perioder. Vi ser att grafen skär x-axeln i x=0 och x=π. Vi markerar dessa punkter.

Vi har hittat två punkter som ligger en period från varandra. Avståndet mellan dessa är funktionens periodlängd, dvs. π.

Vi letar även nu i grafen efter motsvarande punkter från olika perioder. Vi kan t.ex. tydligt se för vilka x-värden funktionen är odefinierad. Låt oss i koordinatsystemet markera två sådana värden, x=-0,5π och x=0,5π.

Vi ser att det är 3 perioder av funktionen mellan dessa x-värden och vi kan nu räkna fram periodlängden, som vi kallar P. Avståndet mellan x-värdena beräknar vi som differensen av dem.

Perioden är alltså π/3.

I denna graf finns det inga lättavlästa punkter så som i föregående deluppgifter. Vi utgår därför från två närliggande punkter där grafen skär x-axeln.

Dessa punkter ligger inte på skalstrecken och kan därför inte läsas av lika exakt som vi är vana vid. En god uppskattning är att de ligger precis mittemellan skalstrecken. Vi får då x-koordinaterna x≈ 0,125π och x≈ 0,625π. Dessa punkter ligger en period ifrån varandra. Funktionens period är därför cirka 0,625π-0,125π = 0,5π = π2.

Vi börjar med funktionen f(x).

Vi ser att funktionens graf går mot ± ∞ vid x=90^(∘). Där är funktionen odefinierad. Funktionen är periodisk och vi ser att funktionen går mot ± ∞ även vid t.ex. x=-90^(∘) och x=270^(∘). Vi kan nu räkna fram periodens längd, P.

Perioden är alltså 180^(∘) och funktionen är då odefinierad för x=90^(∘) +n*180^(∘). För att hitta var funktionen g(x) är odefinierad gör vi på samma sätt.

Grafen går mot ± ∞ mittemellan x=90^(∘) och x=180^(∘), alltså vid x=135^(∘). Vi ser sedan när vi jämför de båda funktionernas grafer att g(x) har samma period som f(x), alltså 180^(∘). Funktionen g(x) är alltså odefinierad för x=135^(∘) +n*180^(∘).

Vi kan bestämma lösningarna genom att se högerledet i den trigonometriska ekvationen som en funktion, rita grafen till denna och se var graferna skär varandra.

Vi behöver bestämma en lösning samt själva perioden. Vi väljer att läsa av lösningen i första perioden räknat från y-axeln eftersom den är relativt lättavläst.

En lösning är alltså x=π/2. Perioden är lite svårare att läsa av direkt. Den går dock att bestämma om man använder att det går 3 perioder mellan lösningarna x=-2π och x=π/2.

Avståndet mellan punkterna är 2,5π och dividerar vi detta med 3 får vi perioden för den trigonometriska funktionen.

Ekvationen har alltså lösningarna x=π/2+n*5π/6, där n är ett heltal.

Vi löser denna ekvation på samma sätt och börjar med att rita högerledet som en funktion samt läsa av lösningen i första perioden till höger om y-axeln.

En lösning är alltså 3π/2. Nu bestämmer vi avståndet mellan två motsvarande punkter i intilliggande perioder för att avgöra perioden.

Den trigonometriska funktionen har perioden 2π så samtliga lösningar till ekvationen ges av x=3π/2+n*2π, där n är ett heltal.

Vi gör på samma sätt igen och börjar med att rita högerledet som en funktion och läsa av en lösning.

En lösning är alltså x=0. Perioden bestämmer vi genom att använda att det går 5 perioder mellan lösningarna x=0 och x=π.

Eftersom 5 perioder motsvarar avståndet π måste 1 period motsvara π/5. Ekvationen har alltså lösningarna x=n*π/5, där n är ett heltal.

I uppgiftsformuleringen finns inget som anger om enheten på x är grader eller radianer, så vi kan välja själva. Här använder vi radianer. Vi betraktar nu vänster- och högerledet som separata funktioner och ritar graferna till dessa på grafräknare.

Tänk på att de vertikala linjerna som visas på skärmen inte är en del av grafen, utan bara en konsekvens av hur räknaren hanterar funktioner. Vi använder kommandot intersect för att bestämma x-värdet i första skärningspunkten till höger om y-axeln.

En lösning på ekvationen är alltså x≈1,05. Det finns dock oändligt många lösningar, eftersom det finns oändligt många skärningspunkter, och för att ange hela lösningsmängden använder vi att perioden för tan(x) är π. Samtliga lösningar till ekvationen ges därför av x≈ 1,05+n*π, där n är ett heltal.

Vi löser denna ekvation på samma sätt som i föregående uppgift, men först löser vi ut den trigonometriska termen.

Nu tolkar vi vänster- och högerledet som separata funktioner och ritar graferna till dem på räknare. Se till att räknaren är inställd på grader.

Med intersect bestämmer vi x-värdet i första skärningspunkten till höger om y-axeln.

En lösning på ekvationen är alltså x=100^(∘). För att ange alla lösningar behöver vi veta perioden för tan(x-55^(∘)). Den tar vi reda på genom att även bestämma x-värdet för efterföljande skärningspunkt och sedan beräkna avståndet mellan de kända punkterna.

Avståndet mellan skärningspunkterna, och perioden för tan(x-55^(∘)), är alltså 280^(∘)-100^(∘)=180^(∘), dvs. samma som för tan(x). Samtliga lösningar till ekvationen ges därför av x=100+n*180^(∘), där n är ett heltal.

Vi använder samma lösningsmetod igen, och börjar med att dividera båda led med 3. Det ger tan(2x-π/4)=-sqrt(3)/3. Vi ser nu vänster- och högerledet som funktioner och ritar graferna. Från funktionsuttrycket kan vi anta att vinkelenheten är radianer.

Vi använder ännu en gång intersect för att bestämma x-värdet i första skärningspunkten till höger om y-axeln.

Ekvationen har alltså en lösning där x≈0,13. Vi bestämmer perioden för tan(2x- π4) genom att även bestämma x-värdet för efterföljande skärningspunkt och beräkna avståndet mellan punkterna.

Perioden för tan(2x- π4) är ca 1,70-0,13=1,57≈π/2. Samtliga lösningar till ekvationen ges alltså av x≈0,13+n*π/2, där n är ett heltal.

Tangensfunktioner är odefinierade när funktionens argument har värdet 90^(∘)+n*180^(∘). Låt oss nu ta reda vilka värden på x detta motsvarar för vår funktion som har argumentet x + 45^(∘).

Funktionen är alltså odefinierad för x=45^(∘)+n*180^(∘), och definierad för resterande reella värden på x. Funktionens definitionsmängd kan vi då uttrycka med hjälp av var funktionen är odefinierad: D_f: x≠45^(∘)+n*180^(∘). En tangensfunktions värdemängd är alltid alla reella tal. Detta kommer från att tangens kan skrivas som tan(x) = sin(x)/cos(x). När nämnaren cos(x) närmar sig 0 går värdet på tan(x) mot oändligheten. Beroende på vilka tecken sin(x) och cos(x) har kan den gå både åt negativa och positiva oändligheten. Detta beteende syns i funktionens graf.

Funktionens värdemängd är alltså V_f: -∞ < f(x) < ∞.

Vi börjar med att notera att det i tangensfunktionens argument finns termen π/2, som inte har något gradertecken. Vi ska alltså använda enheten radianer, och då är tangensfunktionen odefinierad när dess argument är lika med π/2+n*π. Vi undersöker vilka värden på x det motsvarar för vår funktion som har argumentet 3x-π/2.

Vi vet nu att funktionen är odefinierad för x=π/3 +n*π/3. Då kan funktionens definitionsmängd skrivas D_g: x≠ π/3 +n*π/3. Som i föregående deluppgift kan även den här tangensfunktionen anta alla reella värden. Den har därmed värdemängden V_g:-∞ < g(x) < ∞.