Derivatan av en produkt

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Om två funktioner f(x)f(x) och g(x)g(x) multipliceras ihop skapas en ny funktion, f(x)g(x).f(x)\cdot g(x). Exempelvis är y=sin(x)e3x y=\sin(x)\cdot e^{3x}

en produkt av funktionerna f(x)=sin(x)f(x)=\sin(x) och g(x)=e3x.g(x)=e^{3x}.
Bevis

Produktregeln

För att derivera funktioner som är produkter av andra funktioner använder man den så kallade produktregeln. Den säger att varje funktion ska multipliceras med derivatan av den andra funktionen och att dessa produkter ska adderas.

Bevis

D(f(x)g(x)))=f(x)g(x)+f(x)g(x)D\left(f(x)\cdot g(x))\right)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)
Uppgift

Adrian och Robert diskuterar livligt derivatan till följande funktion. f(x)=(x2+19x+2)(2x6) f(x) = \left( x^2 + 19x + 2 \right) (2x - 6) Adrian påstår att man måste använda produktregeln för att derivera f(x)f(x) medan Robert bestämt hävdar att det går precis lika bra utan. De vandrar iväg med varsitt kollegieblock i högsta hugg och sätter igång med deriverandet. När de sedan jämför sina resultat visar det sig att de har fått samma derivata. Visa hur deras beräkningar skulle kunna se ut.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera funktionen y=(1+2x)(3+x2)y=(1+2x)\left(3+x^2\right)

a

med produktregeln

b

genom att först multiplicera parenteserna.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera y=exexy=e^{x}\cdot e^{x} med

a

produktregeln

b

kedjeregeln efter att funktionen förenklas.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Derivera följande funktioner.

a

y=ln(x)x3y=\ln(x)\cdot x^3

b

y=e2xxy=e^{2x}\cdot \sqrt{x}

c

y=7e4x47xy=7e^{4x}\cdot 4^{7x}

d

y=5x23xy=5x^2\cdot 3^x

e

y=ex22xy=e^{x^2\cdot 2^x}

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen f(x)=0f'(x)=0 om

a

f(x)=exx2f(x)=e^x\cdot x^2

b

f(x)=e3xx.f(x)=e^{3x}\cdot x.

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

För de två funktionerna f(x)f(x) och g(x)g(x) gäller följande. f(3)=11ochf(3)=5g(3)=6ochg(3)=2\begin{aligned} f(3)&=11\quad\text{och}\quad f'(3)=5\\[0.3 em] g(3)&=6\quad\text{och}\quad g'(3)=2 \end{aligned} Bestäm h(3)h'(3) givet att h(x)=f(x)g(x).h(x)=f(x)\cdot g(x).

Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen f(x)=0f'(x)=0 för följande funktioner.

a

f(x)=3x2exf(x)=3x^2\cdot e^x

b

f(x)=-x3ln(x)f(x)=\text{-} x^3\cdot\ln(x)

c

f(x)=exx2f(x)=e^x\cdot x^2

d

f(x)=ex23x5xf(x)=e^{ x^2-3x-5 }\cdot x

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen f(x)=0f'(x)=0f(x)=2x0.5x.f(x)=\sqrt{2x}\cdot0.5^x.

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Låt f(x)=2xg(x).f(x)=2\sqrt{x}\cdot g(x). För g(x)g(x) gäller det att g(4)=4g(4)=4 och g(4)=2.g'(4)=2. Bestäm f(4).f'(4).

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att om funktionerna f(x)f(x) och g(x)g(x) har stationära punkter i x=ax = a så har även funktionen f(x)g(x)f(x)g(x) det.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tangenten till funktionen f(x)=e-xx3f(x)=e^{\text{-} x}\cdot x^3 i x=4x=4 bildar i första kvadranten tillsammans med koordinataxlarna en triangel. Bestäm denna triangels area, svara med två decimalers noggrannhet.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Funktionen h(x)h(x) kan skrivas som en produkt av två funktioner, h(x)=f(x)g(x).h(x)=f(x)\cdot g(x). Bestäm f(x)f(x) givet att g(x)=3e2x,g(x)=3e^{2x}, f(x)=4xf'(x) = 4x och h(x)=6e2x(2x2+2x+1).h'(x)=6e^{2x}\left( 2x^2+2x+1 \right).

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Figurerna visar kurvorna y=p(x)y=p(x) och y=q(x)y=q(x) samt tangenterna till dessa för x=2.x = 2.


Låt r(x)=p(x)q(x)r(x)=p(x)\cdot q(x) och bestäm r(2).r'(2).

Nationella provet VT13 Ma4
3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En skidbacke har fallhöjden 500500 meter. Banprofilen ser du i bilden nedan.

Höjden yy km är en funktion av sträckan xx km. Sambandet mellan yy och xx ges av y=0.5e-x2,0x2.5. y=0.5e^{\text{-} x^2}, \quad 0\leq x\leq 2.5.

a

Bestäm backens lutning för x=0.8.x = 0.8.

b

Ett allmänt sätt att beskriva backar med liknande banprofil som ovan ges av funktionen y=0.5e-ax2,0x2.5, y=0.5e^{\text{-} ax^2}, \quad 0\leq x\leq 2.5, där aa är en positiv konstant.

Ställ upp en ekvation för bestämning av x-x\text{-}värdet i den punkt där backar med en sådan banprofil är brantast.

c

Bestäm aa så att backen är brantast för x=1.0.x = 1.0.

Nationella provet VT02 MaD
3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm k(1)k'(1) givet att k(x)=f(x)g(x)h(x),k(x)=f(x)g(x)h(x), där f(x)=x2, g(x)=ex6f(x)=x^2,\ g(x)=e^{x^6} och h(x)=ln(x).h(x)=\ln (x).

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hilda har gjort ett problem åt sina vänner Fredrik och Greta. Hon berättar att hon har en hemlig funktion h(x)h(x) som är produkten av f(x)f(x) och g(x).g(x). Utan att Greta får höra viskar hon till Fredrik och avslöjar värdena f(4),f(4) och g(4), f(4), \; f'(4) \text{ och } g'(4), och viskar sedan värdena f(4),g(4) och g(4) f(4), \; g(4) \text{ och } g'(4) till Greta så att inte Fredrik hör. "Beräkna h(4)h'(4) och viska svaret till mig" säger Hilda till sina vänner. Efter en stunds funderande säger Greta att hon inte kan. Fredrik däremot viskar något till Hilda. "Rätt" jublar Hilda. Stolt över sitt problem säger hon till Greta: ”vad vet du nu om f(x) i punkten (4,f(4))? \text{''vad vet du nu om } f(x) \text{ i punkten } (4, f(4))? \text{''} Vad tror du Greta svarade?

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}