Andragradsekvationer och antal lösningar

Eftersom funktionsvärdet är 0 där grafen skär x-axeln kommer funktionernas nollställen vara lösningarna till ekvationerna. Vi tar graferna från höger till vänster.

f(x)=0

Grafen till f(x) är blå. Den skär x-axeln på ett ställe så f(x)=0 har en rot som ligger mellan nollställena g(x).

g(x)=0

Den röda grafen representerar funktionen g(x). Den skär x-axeln två gånger så g(x)=0 har därför två lösningar.

h(x)=0

Funktionen h(x) motsvaras av den gröna grafen. Den skär inte x-axeln någon gång så den blir aldrig 0. Därför saknar ekvationen reella lösningar.

Vi drar roten ur båda sidor, vilket ger ett imaginärt tal i högerledet. Vi flyttar sedan över den reella konstanttermen från vänsterledet, vilket ger ett komplex tal.

Ekvationen har alltså lösningarna x=3+9i och x=3-9i.

Vi löser först ut parentesen innan vi drar roten ur båda led och gör på samma sätt som tidigare.

Vi gör på samma sätt som tidigare. Tänk på att om man byter tecken på en term som har tecknet ± framför sig så ändras inte den termen. Minustecknet blir visserligen ett plustecken och vice versa, men resultatet är detsamma.

Skriv om ekvationen så att ena ledet är lika med 0. Lös sedan ekvationen med pq-formeln.

Vi använder nu att roten ur -16 är lika med roten ur 16 multiplicerat med den imaginära enheten i.

Ekvationerna har alltså två komplexa lösningar: x=-2+4i och x=-2-4i.

Även här skriver vi om ekvationen så ena ledet är lika med 0. Vi dividerar sedan båda led med 2 och löser ekvationen med pq-formeln.

Ekvationen har lösningarna x=3+5i och x=3-5i.

Vi börjar ännu en gång med att skriva om ekvationen så att ena ledet är lika med 0.

Vi dividerar nu ekvationerna med 3 och löser sedan ekvationen med pq-formeln.

Lösningarna är x=1+12i och x=1-12i.

Vänsterledet består av två olika faktorer som båda innehåller x. Enligt nollproduktmetoden måste minst en av dessa vara 0 för att VL ska bli 0. Det betyder att det finns två rötter.

I det här fallet är vänsterledet två likadana faktorer. Om den ena blir 0 blir även den andra 0. Det betyder att det finns en lösning, även kallad dubbelrot.

Man kan skriva om ekvationen lite för att lättre se svaret.

Det finns inget reellt tal som upphöjt till 2 blir negativt. Det går alltså inte att hitta något värde på x så att vänsterledet blir negativt, och därför saknar ekvationen reella lösningar.

Vi använder pq-formeln. Talet under rottecknet blir negativt, vilket vanligtvis innebär att vi säger att det saknas reella lösningar. Men här skriver vi om kvadratroten av det negativa talet som ett imaginärt tal vilket ger komplexa rötter.

Vi fick ut de två komplexa rötterna x = -3 ± 2i.

Vi gör på samma sätt med nästa ekvation.

Vi multiplicerar ihop parenteserna och skriver om så att ekvationens ena led är lika med 0.

Nu använder vi pq-formeln.

Roten ur -64 är detsamma som roten ur 64 multiplicerat med imaginära enheten i.

Ekvationen har de två komplexa lösningarna x=-4+8i och x=-4-8i.

Vi gör på samma sätt börjar med att multiplicera ihop parenteserna.

Nu kan vi använda pq-formeln.

Lösningarna är x=10+20i och x=10-20i.

Vi börjar med att multiplicerar in 5:an i parentesen.

Nu multiplicerar vi båda led med 2 och skriver om ekvationen så att ena ledet är lika med 0.

Vi börjar med att förenkla parentesen i vänsterledet med första kvadreringsreglen och skriver därefter om ekvationen på pq-form.

Nu löser vi ekvationen med pq-formeln.

Som vi ser har ekvationen x^2+(x+2)^2=100 två lösningar, x=-8 och x=6. När vi sedan tolkar lösningarna kommer vi att förkasta, eller bortse från, den negativa roten då den är orimlig i sammanhanget. Det finns bara en lösning på problemet, då sträckor alltid är positiva. Men själva ekvationen har fortfarande 2 lösningar, eftersom vi inte får någon dubbelrot eller några icke-reella rötter.

Om f(x)=0 har en lösning ska grafen skära x-axeln i en punkt. Vi ser att grafen har en maximipunkt som ligger 40 under x-axeln. Adderar vi alltså 40 till funktionsuttrycket flyttas grafen 40 steg uppåt. Den kommer då precis att nudda x-axeln så f(x)+40=0 har en lösning.

För att ekvationen ska ha två lösningar måste grafen skära x-axeln två gånger. Ett sätt förändra funktionen är att addera en konstant större än 40 till funktionsuttrycket, exempelvis 60. Då flyttas grafen 60 steg uppåt i koordinatsystemet och skär x-axeln två gånger.

Om en andragradsekvation har två lösningar måste diskriminanten vara större än 0. Vi tar fram den med hjälp av pq-formeln.

Vi förenklar diskrimanten dvs. det som står under rottecknet.

Nu beräknar vi när 64+4s är större än 0, dvs. vi ska lösa olikheten 64+4s> 0.

s måste alltså vara större än -16 för att ekvationen ska ha två lösningar.

Om värdet på diskriminanten är lika med 0 har ekvationen endast en reell lösning. Vi utgår från uttrycket för diskriminanten och söker värden på p och q som gör att den blir 0. Vi skriver om denna ekvation så att q står ensamt i ena ledet och uttrycket som innehåller p står i det andra ledet.

Nu väljer vi vilket värde som helst på p, t.ex. p = 4. Genom att sätta in detta får vi direkt ut vad värdet på q måste vara.

Vår ekvation blir alltså x^2+4x+4=0.

För att ekvationen ska ha 2 reella rötter måste diskriminanten vara positiv. Så istället för att sätta likhet i sambandet ( p2 )^2 - q = 0 ställer vi in olikhetstecknet så att vi undersöker när vänsterledet är större än 0.

Vi väljer t.ex. p=4 igen och får då ut ett villkor för q.

Om p=4 ska alltså q vara mindre än så, t.ex. 3. Detta ger oss ekvationen x^2+4x+3=0.

Slutligen ska vi bestämma p och q då ekvationen saknar lösningar. Vi ställer då upp motsvarande olikhet fast då diskriminanten är negativ, dvs. mindre än 0.

Vi väljer t.ex. p=4 igen och får då ut ett villkor på q.

q ska alltså vara större än 4, t.ex. 5. Detta ger oss ekvationen x^2+4x+5=0.

Det finns två ekvationer som vi direkt kan se att de har icke-reella lösningar. En ekvation som står på formen x^2=a har inga reella lösningar om konstanten a är negativ. Vi kan därför direkt se att C inte har reella lösningar och genom att göra omskrivningen x^2+3=1 ⇔ x^2=- 4 ser vi även att A saknar reella lösningar. Vi kan även konstatera att E har de reella lösningarna x=2 och x=- 2 genom att använda nollproduktmetoden. Nu tittar vi på övriga ekvationer.

B:x^2+6x-3=2

Vi kan ta reda på om ekvationen har reella lösningar genom att undersöka diskriminantens tecken i pq-formeln. Vi behöver då först skriva om ekvationen på pq-form. x^2+6x-3=2 ⇔ x^2+6x-5=0 Vi ser att p- och q-värdet för ekvationen är p=6 och q=- 5. Sätter vi in dessa värden i diskriminanten och får 0 eller ett positivt värde har ekvationen minst en reell lösning. Är diskriminanten negativ saknar ekvationen reella lösningar.

Diskriminanten är 14 så ekvationen har reella lösningar.

D: x^2-4x+9=2

Nu har vi hittat två ekvationer som har reella lösningar: B och E. Eftersom det är givet att två av ekvationerna har reella lösningar måste alternativ D sakna reella lösningar. Man kan beräkna diskriminanten för att övertyga sig själv, men om man gjort rätt ska det inte behövas.

Sammanfattning

Sammanfattningsvis har B och E reella lösningar.