Regel

$pq$-formeln

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen $x^2+px+q=0,$ där $p$ och $q$ är konstanter. Detta kan kallas $pq$-form. Koefficienten framför $x^2$ ska vara $1$ och ena ledet $0$, som i ekvationen $x^2 + 6x - 5 = 0.$ För att lösa den sätter man in koefficienten framför $x$, kallad $p$, samt konstanttermen, $q$, i den så kallade $pq$-formeln.

$x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

I ekvationen $x^2 + 6x - 5 = 0$ är $p=6$ och $q= \text{-}5$. Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på $pq$-form måste den skrivas om innan $pq$-formeln kan användas. Ett alternativ är att använda $abc$-formeln.

Härledning
$x=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

För att härleda $pq$-formeln utgår man från en andragradsekvation på $pq$-form, $x^2 + px + q = 0,$ och kvadratkompletterar för att lösa ut $x$. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen $x^2+px=c$.

$x^2+px+q=0$

$\text{VL}-q=\text{HL}-q$

$x^2+px=\text{-} q$

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför $x$ i kvadrat", $\left(\frac{p}{2}\right)^2$: $x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2.$ Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen $px$ som $2\cdot \frac{p}{2}\cdot x.$ Därefter drar man roten ur båda led och löser ut $x$.

$x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2$

Omarrangera termer

$x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$

$a = 2 \cdot \dfrac{a}{2}$

$x^2+2\cdot \dfrac{p}{2}\cdot x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$

Faktorisera med första kvadreringsregeln

$\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q$

$\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}$

$x+\dfrac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$

$\text{VL}-\dfrac{p}{2}=\text{HL}-\dfrac{p}{2}$

$x=\text{-}\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}$