Regel

pqpq-formeln

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen x2+px+q=0, x^2+px+q=0, där pp och qq är konstanter. Detta kan kallas pqpq-form. Koefficienten framför x2x^2 ska vara 11 och ena ledet 00, som i ekvationen x2+6x5=0. x^2 + 6x - 5 = 0. För att lösa den sätter man in koefficienten framför xx, kallad pp, samt konstanttermen, qq, i den så kallade pqpq-formeln.

x=-p2±(p2)2qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

I ekvationen x2+6x5=0x^2 + 6x - 5 = 0 är p=6p=6 och q=-5q= \text{-}5. Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på pqpq-form måste den skrivas om innan pqpq-formeln kan användas. Ett alternativ är att använda abcabc-formeln.

Härledning

x=-p2±(p2)2qx=\text{-} \dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
För att härleda pqpq-formeln utgår man från en andragradsekvation på pqpq-form, x2+px+q=0,x^2 + px + q = 0, och kvadratkompletterar för att lösa ut xx. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen x2+px=cx^2+px=c.
x2+px+q=0x^2+px+q=0
x2+px=-qx^2+px=\text{-} q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför xx i kvadrat", (p2)2\left(\frac{p}{2}\right)^2: x2+px+(p2)2=-q+(p2)2. x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2. Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen pxpx som 2p2x.2\cdot \frac{p}{2}\cdot x. Därefter drar man roten ur båda led och löser ut xx.

x2+px+(p2)2=-q+(p2)2x^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\text{-} q+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2
x2+px+(p2)2=(p2)2qx^2+px+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
x2+2p2x+(p2)2=(p2)2qx^2+2\cdot \dfrac{p}{2}\cdot x+\left(\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
(x+p2)2=(p2)2q\left(x+\dfrac{p}{2}\right)^2=\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q
x+p2=±(p2)2qx+\dfrac{p}{2}=\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}
x=-p2±(p2)2qx=\text{-}\dfrac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\dfrac{p}{2}\right)^2-q}

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}