body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

Regel

$p q -$ formeln

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen

x^{2} + p x + q = 0,

där

p

och

q

är konstanter. Detta kan kallas

p q -

form. Koefficienten framför

x^{2}

ska vara

1

och ena ledet

0,

som i ekvationen

x^{2} + 6 x - 5 = 0 .

För att lösa den sätter man in koefficienten framför

x,

kallad

p,

samt konstanttermen,

q,

i den så kallade

p q -

formeln.

$x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q$

I ekvationen $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ är $p = 6$ och $q = - 5 .$ Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på $p q -$ form måste den skrivas om innan $p q -$ formeln kan användas. Ett alternativ är att använda $a b c$ -formeln.

Bevis

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

För att härleda

p q -

formeln utgår man från en andragradsekvation på

p q -

form,

x^{2} + p x + q = 0,

och kvadratkompletterar för att lösa ut

x .

Man börjar med att skriva om ekvationen på formen

x^{2} + p x = c .

x^{2} + p x + q = 0

$VL - q = HL - q$

x^{2} + p x = - q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till halva koefficienten framför

x

i kvadrat,

(\frac{p}{2})^{2} :

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2} .

Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen

p x

som

2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x .

Därefter drar man roten ur båda led och löser ut

x .

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2}

Omarrangera termer

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

NumberToDenomMultFrac

$a = 2 \cdot \frac{a}{2}$

x^{2} + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x + \frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

$VL = HL$

x + \frac{p}{2} = \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

$VL - \frac{p}{2} = HL - \frac{p}{2}$

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

Övningar

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll