Regel

$p q$ -formeln

Alla andragradsekvationer kan skrivas på formen

x^{2} + p x + q = 0,

där

p

och

q

är konstanter. Detta kan kallas

p q

-form. Koefficienten framför

x^{2}

ska vara

1

och ena ledet

0

, som i ekvationen

x^{2} + 6 x - 5 = 0 .

För att lösa den sätter man in koefficienten framför

x

, kallad $p$ , samt konstanttermen, $q$ , i den så kallade $p q$ -formeln.

$x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q$

I ekvationen $x^{2} + 6 x - 5 = 0$ är $p = 6$ och $q = - 5$ . Genom insättning och förenkling får man maximalt två lösningar: en genom att addera och en genom att subtrahera rotuttrycket. Om ekvationen inte är skriven på $p q$ -form måste den skrivas om innan $p q$ -formeln kan användas. Ett alternativ är att använda $a b c$ -formeln.

Härledning

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

För att härleda

p q

-formeln utgår man från en andragradsekvation på

p q

-form,

x^{2} + p x + q = 0,

och kvadratkompletterar för att lösa ut

x

. Man börjar med att skriva om ekvationen på formen

x^{2} + p x = c

.

x^{2} + p x + q = 0

SubEqn

$VL - q = HL - q$

x^{2} + p x = - q

Nu kan man kvadratkomplettera genom att lägga till "halva koefficienten framför

x

i kvadrat",

(\frac{p}{2})^{2}

:

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2} .

Man kan nu faktorisera vänsterledet med första kvadreringsregeln. Man kan ju skriva om mittentermen

p x

som

2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x .

Därefter drar man roten ur båda led och löser ut

x

.

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = - q + (\frac{p}{2})^{2}

RearrangeTerms

Omarrangera termer

x^{2} + p x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

NumberToDenomMultFrac

$a = 2 \cdot \frac{a}{2}$

x^{2} + 2 \cdot \frac{p}{2} \cdot x + (\frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

(x + \frac{p}{2})^{2} = (\frac{p}{2})^{2} - q

SqrtEqn

$VL = HL$

x + \frac{p}{2} = \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

SubEqn

$VL - \frac{p}{2} = HL - \frac{p}{2}$

x = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

Pq-formeln

Härledning