Andragradsekvationer och antal lösningar

Figuren är en liksidig triangel, vilket innebär att den har tre lika långa sidor och tre lika stora vinklar. Om triangelns omkrets är 24m måste varje sida vara 243=8m. För att bestämma triangelns area behöver vi höjden, som går från översta hörnet och delar basen på mitten.

Med höjden inritad får vi två rätvinkliga trianglar med hypotenusan 8 och basen 4. Vi bestämmer höjden med hjälp av Pythagoras sats.

Nu känner vi till triangelns höjd och kan därmed beräkna arean, som är basen multiplicerad med höjden dividerat med två.

Arean av triangeln är ca 28 m^2.

Vi ska fördela 24m snöre mellan två kvadrater, så om det krävs xm för att göra den ena kvadraten kommer det att finnas 24 - xm över till den andra. Kvadrater har fyra lika långa sidor, vilket ger att sidlängderna blir x4 och 24-x4.

Arean för en kvadrat ges av dess sida upphöjt till två. Vi kvadrerar alltså sidorna och och adderar dem för att skapa ett uttryck för kvadraternas totala area. Detta kan ses som en funktion som beskriver kvadraternas area beroende på mängden snöre som används till en av dem, x. A=(24-x/4)^2+(x/4)^2 Frågan är alltså om A kan bli 17. Vi likställer därför funktionen med 17 och försöker lösa ut x ur den ekvation vi då får.

Om A=17 har en lösning får inte diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i pq-formeln, vara negativ. Vi sätter in p och q i diskriminanten och beräknar dess värde.

Vi har en negativ diskriminant, vilket betyder att A=17 inte har några lösningar. Det inte finns alltså inte någon möjlig fördelning av snöret så kvadraterna tillsammans har en area på 17m^2.

Vi använder pq-formeln för att ta fram uttryck för ekvationens rötter.

Ekvationen har exakt en rot om diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet, är 0. Det ger oss en andragradsekvation med variabeln t.

I vänsterledet finns två termer som båda innehåller t. Det betyder att vi kan faktorisera och använda nollproduktmetoden.

Ekvationen har endast en rot om t=0 eller t=4.

Om det bara finns en lösning till andragradsekvationen måste denna lösning vara en dubbelrot. Det betyder att ekvationen kan skrivas på formen (x-a)^2=0, där x=a är dubbelroten. Vi utvecklar vänsterledet med andra kvadreringsregeln: x^2-2ax+a^2=0. Jämför detta med den givna ekvationen x^2+tx+t=0. Koefficienten framför x och konstanten har samma värde, t. Detta måste även gälla för den här ekvationen. I den är koefficienten t=- 2a och konstanten är t=a^2. Dessa är lika, vilket ger en ekvation.

Vi får två värden på a. Vi använder dessa för att hitta motsvarande värden på t. Vi vet att t=-2a och t=a^2 och vi kan använda någon av dem för att beräkna t. Vi väljer t=- 2a, men man hade lika gärna kunnat välja den andra. a=0 ⇒ &t=- 2* 0=0 a=-2 ⇒ &t=-2(-2)=4 Ekvationen har alltså endast en rot då t=0 eller t=4. Det är samma svar som vi fick i huvudlösningen.

Vi använder pq-formeln för att bestämma rötterna.

Vi får ett negativt tal under rottecknet så rötterna blir komplexa.

Ekvationens lösningar är alltså x=3-2i och x=3+2i.

Nu multiplicerar vi rötterna vilket ger (3+2i)(3-2i). Detta är multiplikation med två parenteser som lika sånär som på ett minustecken. Det betyder att binomen är konjugat och därför kan vi utveckla dem med konjugatregeln.

Produkten av rötterna är 13.

Vi undersöker det genom att pröva värdet, dvs. genom att sätta in x=1+3i i ekvationen och kontrollera att vi får samma sak i vänster- och högerled.

Eftersom vi får att VL = HL är x=1+3i en lösning till ekvationen.

Två grafer som skär inte skär varandra delar de ingen punkt. Det betyder att om man sätter deras funktionsuttryck lika kommer ekvationen inte att ha någon lösning. Vi får x^2+3,7=2x+m. Detta är en andragradsekvation så vi börjar med att skriva om den till pq-form.

Vi behöver inte lösa ekvationen, utan vi är endast intresserade för vilka m som den inte går att lösa. Antalet lösningar till en andragradsekvation avgörs av vilket tecknet på diskriminanten dvs. det som står under rottecknet i pq-formeln: (p/2)^2-q. Eftersom vår andragradsekvation är skriven på pq-form kan vi läsa av p- och q-värdena direkt: p=-2 och q=3,7-m.

För att ekvationen inte ska ha några lösningar ska diskriminanten vara mindre än 0. Det betyder att m inte får vara större än 2,7. Det kan vi skriva som m< 2,7

I punkten (0,- 2) är x=0 så den måste ligga på y-axeln. Eftersom funktionens konstant är - 2 vet vi att den skär y-axeln i (0,- 2) vilket innebär att påståendet stämmer. Vi kan även visa detta algebraiskt genom att sätta in x=0 i funktionen och beräkna.

När x är 0 är funktionsvärdet -2. Det betyder att grafen går genom punkten (0,-2), oavsett värde på b.

För att bestämma en funktions nollställen likställer man den med 0 och löser ut x. Vi ska alltså lösa ekvationen - 0,5x^2+bx-2=0. Vi skriver om den så att den står på pq-form.

Eftersom andragradsekvationen står lika med 0 kan vi identifiera dess p och q-värde som p=- 2b och q=4. En andragradsekvation kan ha 0, 1 eller 2 lösningar och om den har 1 lösning ska diskriminanten i pq-formeln vara lika med 0, dvs. (p/2)^2-q=0. Vi sätter in p- och q-värdena.

Det finns två möjliga värden på b som endast ger ett nollställe: b=2 och b=- 2.

Vi likställer funktionen med 0 och skriver om den på pq-form så att vi kan identifiera dess p- och q-värde.

Vi ser att p=- 2b och q=2c i ekvationen. Vi sätter in detta diskriminanten, sätter den lika med 0 och löser ut b.

Funktionen g får alltså ett nollställe om b antingen är lika med - sqrt(2c) eller sqrt(2c). Vi visar även hur man löser ut c.

För att funktionen ska ha ett nollställe gäller alltså b=±sqrt(2c) och c=b^2/2. Man får rätt oavsett vilket samband man svarar med.