mathleaks.se mathleaks.se Startsida kapitel home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
Expandera meny menu_open Minimera
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open home
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open
Algebra och icke-linjära ekvationer

Andragradsekvationer och antal lösningar


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Lösningarna till en andragradsekvation på formen kan tolkas grafiskt som nollställen till andragradsfunktionen Om funktionen har två nollställen har ekvationen två lösningar, och har funktionen ett nollställe har ekvationen en lösning (även kallad dubbelrot). Saknar funktionen nollställen har ekvationen inga reella lösningar.

Två nollställen

Ett nollställe

Inga nollställen

Med hjälp av -formeln kan man avöra antalet lösningar till en andragradsfunktion genom att bestämma tecknet på diskriminanten, dvs. det som står under rottecknet i -formeln: Är diskriminanten positiv har ekvationen två lösningar. Är den har ekvationen en lösning, och är den negativ får man kvadratroten ur ett negativt tal vilket innebär att det saknas reella lösningar.

Antal lösningar till andragradsekvation
fullscreen
Uppgift

Avgör hur många reella lösningar ekvationerna har utan att faktiskt bestämma rötterna:

Visa Lösning
Lösning

Vi tittar på en ekvation i taget.

Exempel

Man kan avgöra antalet lösningar till ekvationen genom att undersöka diskriminanten, alltså det som står under rottecknet i -formeln.

Beroende på diskriminantens tecken kan vi avgöra om ekvationen har två, en eller inga reella rötter. Vi beräknar värdet.

Diskriminanten är negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.
Exempel

Vi fortsätter likadant och ställer upp -formeln.
Nu tittar vi på uttrycket under rottecknet.

Diskriminantens värde är vilket betyder att ekvationen har en lösning. Det brukar kallas att ekvationen har en dubbelrot.

Begrepp

Icke-reella rötter till andragradsekvationer

Om en andragradsekvation saknar reella lösningar kan man uttrycka lösningarna som s.k. komplexa tal (betecknas ofta ). För detta ändamål har man infört ett nytt tal: den imaginära enheten som betecknas Det definieras som det tal vars kvadrat är

En följd av detta är att Med detta kan man uttrycka roten ur alla negativa tal med hjälp av Har man löst en andragradsekvation och fått rötterna kan man skriva som ett imaginärt tal: Ekvationens rötter är alltså Denna typ av omskrivning kan formuleras som ett generellt samband som säger att kvadratroten ur ett negativt tal är roten ur talet multiplicerat med

Villkor:

Ett tal som är sammansatt av både en reell del och en imaginär del, t.ex. kallas för ett komplext tal eftersom ordet komplex betyder sammansatt.
fullscreen
Uppgift

Lös ekvationen .

Visa Lösning
Lösning
Detta är en enkel andragradsekvation, så vi löser ut och drar roten ur båda led.
Nu har vi kvadratroten ur ett negativt tal i högerledet, så rötterna blir imaginära.
Ekvationens lösningar är alltså och .
fullscreen
Uppgift

Utför följande beräkningar:

Visa Lösning
Lösning

Vi utför beräkningarna en i taget.


Vi använder vanliga räknelagar samt definitionen av det imaginära talet för att förenkla.

I nästa tal utnyttjar vi att är lika med
Kvadraten av ett imaginärt tal blir alltså ett negativt reellt tal.
I sista talet adderar vi realdelarna för sig och imaginärdelarna för sig.
Svaren är alltså, i ordning:
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward