Andragradsekvationer och antal lösningar

Kvadratroten ur ett negativt tal är imaginärt. Man får samma värde som om man drar roten ur det positiva talet, fast med den imaginära enheten i efter roten. Man får därför sqrt(- 4) = sqrt(4) * i = 2i.

På samma sätt som i förra uppgiften blir roten ur det negativa talet lika med roten ur motsvarande positiva tal, multiplicerat med den imaginära enheten: sqrt(- 9) = sqrt(9) * i = 3i.

Definitionen av den imaginära enheten är att i^2 = - 1, vilket också kan skrivas som i = sqrt(-1). Det går också bra att tänka som i tidigare uppgifter och få sqrt(- 1) = sqrt(1) * i = i.

Vi gör på samma sätt igen och drar roten ur det positiva talet, multiplicerat med i: sqrt(- 100) = sqrt(100) * i = 10i.

För att lösa andragradsekvationen tar vi roten ur båda led. När vi tar roten ur -16 tänker vi att det är detsamma som roten ur 16 multiplicerat med den imaginära enheten i.

Ekvationen har lösningarna x=4i och x=-4i.

Vi börjar med att subtrahera 9 från båda led. Sedan tar vi roten ur båda leden och tänker att roten ur -9 är detsamma som roten ur 9 multiplicerat med i.

Ekvationen har lösningarna x=3i och x=-3i.

Vi fortsätter på samma sätt.

Ekvationen har lösningarna x=10i och x=-10i.

Vi börjar med att lösa ut x^2-termen genom att subtrahera 30 på båda sidor, vilket ger x^2 = - 25. Eftersom vi har ett negativt tal i högerledet kommer vi att få ett imaginärt tal där när vi drar roten ur båda led. Talet kommer att bli samma som roten ur den positiva motsvarigheten, men multiplicerat med den imaginära enheten i. Och precis som vanligt blir det även en positiv och negativ lösning när vi drar roten ur x^2.

Lösningarna är alltså x = - 5i och x = 5i.

Vi gör på samma sätt här. Vi löser ut x^2 och drar roten ur.

Vi fortsätter på samma sätt och löser först ut x^2.

Vi dividerar båda leden med 2 och tar sedan roten ur dessa. Vi använder då att roten ur -36 är detsamma som roten ur 36 multiplicerat med den imaginära enheten i. Eftersom vi tar roten ur ett negativt tal, kommer ekvationens lösningar vara imaginära.

Ekvationen har lösningarna x=6i och x=-6i.

Vi börjar med att subtrahera 11 från båda led, och dividerar de därefter med 2.

Vi tar nu roten ur båda led, och använder att roten ur -225 är samma sak som roten ur 225 multiplicerat med i.

Till att börja med subtraherar vi 7.5 från båda led. Vi multiplicerar sedan leden med 2.

Till sist tar vi roten ur båda led.

När man räknar med komplexa tal adderar och subtraherar man de reella och imaginära delarna separat. Vi sätter in våra värden och gör det.

Summan av de tre komplexa talen är alltså - 3 + 12i.

När man multiplicerar ett komplext tal med 2 multipliceras både den reella och den imaginära delen.

På samma sätt som tidigare multiplicerar vi ihop talen och adderar och subtraherar sedan de reella och imaginära delarna separat.

Imaginärdelarna tog ut varandra och kvar blev bara det reella talet - 29.

För att bestämma antalet lösningar till en andragradsekvation kan vi använda pq-formeln. Om diskriminanten är större än noll är antalet lösningar två, är den noll har ekvationen en lösning och är den mindre än noll finns det inga reella lösningar.

Vi lyfter ut diskriminanten och beräknar den.

Diskriminanten är 0 så ekvationen har en lösning.

Vi gör samma sak igen. Ekvationen står på pq-form så vi kan använda pq-formeln utan att göra några omskrivningar av ekvationen.

Vi lyfter ut diskriminanten och beräknar den.

Diskriminanten är 9, dvs. positiv, så ekvationen har två lösningar.

Ekvationen står på pq-form så vi kan använda pq-formeln direkt utan att göra några omskrivningar av ekvationen.

Vi lyfter ut diskriminanten och beräknar den.

Diskriminanten är - 8, dvs. negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.

För att bestämma antalet lösningar till en andragradsekvation kan vi använda pq-formeln. Om diskriminanten är större än noll är antalet lösningar två, är den noll har ekvationen en lösning och är den mindre än noll finns det inga reella lösningar.

Vi lyfter ut diskriminanten och beräknar den.

Diskriminanten är 2601, dvs. positiv så ekvationen har två lösningar.

Vi gör samma sak igen. Ekvationen står på pq-form så vi kan använda pq-formeln utan att göra några omskrivningar av ekvationen.

Vi lyfter ut diskriminanten och beräknar den.

Diskriminanten är 0 så ekvationen har en lösning.

Även här står ekvationen redan på pq-form så pq-formeln kan användas direkt utan att ekvationen behöver skrivas om. p är - 1 .

Vi undersöker enbart diskriminanten.

Diskriminanten är - 19.75, dvs. negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.

Här måste vi först skriva om ekvationen på pq-form innan vi ställer upp pq-formeln.

Nu kan vi beräkna diskriminanten.

Diskriminanten är positiv, vilket betyder att ekvationen har två rötter.

För att ange antalet lösningar till en andragradsekvation kan man använda pq-formeln. Är diskriminanten större än noll är antalet lösningar två, är den noll har ekvationen en lösning och är den mindre än noll finns det inga reella lösningar.

Vi undersöker diskriminanten.

Diskriminanten är - 7, dvs. negativ, så ekvationen har inga reella lösningar.

Ekvationen står inte på pq-form så innan vi kan använda pq-formeln måste vi skriva om den så att högerledet är 0 och koefficienten till x^2 är 1.

Vi lyfter ut diskriminanten och beräknar den.

Diskriminanten är 496, dvs. positiv, så ekvationen har två lösningar.

Vi fortsätter på samma sätt, och börjar med att skriva om ekvationen på pq-form.

Vi beräknar diskriminanten.

Diskriminanten är 73.44, dvs. positiv, så ekvationen har två lösningar.

Det finns inga reella tal som har en negativ kvadrat, så om vi skriver om ekvationerna med x^2 ensamt i ena ledet kan vi svara på frågan. I ekvation B subtraherar vi 6 på båda sidor och i ekvation D och E adderar vi sqrt(5) respektive 94 på båda sidor. De ger oss följande nya, ekvivalenta ekvationer.

1. x^2=16
2. x^2=-6
3. x^2=0
4. x^2=sqrt(5)
5. x^2=9/4

Genom att dra roten ur båda sidor kan man lösa ekvationerna. Vi måste dock inte beräkna rötterna för att svara på frågan, utan det räcker med att notera att ekvation B är den enda som har ett negativt tal i högerledet. Drar man roten ur det får man ett imaginärt tal, vilket betyder att det är ekvation B som har icke-reella lösningar.

Vi går igenom ekvationerna en i taget.

Ekvation A

Vi löser ut x ur ekvationen.

Denna ekvation har två lösningar och stämmer alltså med det andra påståendet.

Ekvation B

I denna ekvation är vänsterled och högerled identiska. Oavsett vilket värde vi sätter in istället för x kommer leden därför bli lika stora. Ekvationen har därför oändligt många lösningar så den stämmer överens med det tredje påståendet.

Ekvation C

Med uteslutningsmetoden kan vi dra slutsatsen att ekvation C måste höra till det andra påståendet. Men vi dubbelkollar för säkerhets skull. Vi löser ut x i ekvationen för att ta reda på vilket.

Ekvationen har alltså en lösning, vilket bekräftar vår hypotes.