Arean av en triangel

Bevis för räta trianglar

Betrakta först en rätvinklig triangel. Det är alltid möjligt att spegla en rätvinklig triangel över dess hypotenusa för att bilda en rektangel. Notera att arean av rektangeln som bildas är dubbelt så stor som arean av den ursprungliga rätvinkliga triangeln. På grund av detta kan formeln för arean av rektangeln, $A_r=\ell w,$ användas för att hitta arean av den rätvinkliga triangeln. Höjden och basen av den rätvinkliga triangeln har samma mått som bredden och längden av rektangeln som bildas genom att spegla triangeln. Baserat på denna observation kan $b$ och $h$ användas som ersättning för $\ell$ och $w,$ respektive, för att lösa arean av den ursprungliga rätvinkliga triangeln i termer av dess bas och höjd. Detta visar att arean av en rätvinklig triangel kan beräknas med formeln $A=\frac{1}{2}bh.$

Bevis för icke-rätvinkliga trianglar

För att generalisera det föregående resultatet är det användbart att notera att alla icke-rätvinkliga trianglar kan delas upp i två räta trianglar genom att rita en vinkelrät linje mellan ett av triangelns sidor och ett av dess hörn. Notera att arean av den icke-rätvinkliga triangeln $A$ är lika med summan av de enskilda areorna av de mindre rätvinkliga trianglarna $A_1$ och $A_2.$ Därför är det möjligt att beräkna arean av den icke-rätvinkliga triangeln genom att använda det tidigare resultatet för arean av rätvinkliga trianglar. Det har konstaterats att arean av en icke-rätvinklig triangel är hälften av produkten av dess bas $b$ och dess höjd $h.$ Detta är samma resultat som arean för en rätvinklig triangel. Därför är arean av vilken triangel som helst hälften av produkten av dess bas $b$ och dess höjd $h.$