Polynomekvationer av högre grad

Vi använder nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen.

Vi löser ekvationerna separat och börjar med den första, dvs. (x^2+x-20 )^3=0. Vi inser att vänsterledet kan skrivas som tre parenteser multiplicerat med varandra: (x^2+x-20)(x^2+x-20)(x^2+x-20)=0. Den första ekvationen kan alltså delas upp ytterligare i tre likadana ekvationer: x^2+x-20=0. Alla dessa kommer givetvis ha samma lösning så det räcker med att vi löser en av dem. De är andragradsekvationer så vi kan använda pq-formeln.

Eftersom det finns tre ekvationer med dessa lösningar har ursprungsekvationen (x^2+x-20)^3(x^2-4x-12)=0 en så kallad trippelrot i x=-5 respektive x=4. Till sist löser vi den andra ekvationen, även denna med pq-formeln.

Ursprungsekvationen har sammanfattningsvis lösningarna x=-5 (trippelrot), x=-2, x=4 (trippelrot) och x=6.

Vi kan kalla det största talet x. Då måste det näst största talet vara x-1 och det minsta x-2. Multipliceras dessa ska produkten bli noll, vilket ger oss ekvationen (x-2)(x-1)x=0. Vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Det största talet kan alltså vara 2, 1 eller 0.

Vi kan också lösa uppgiften utan att ställa upp en ekvation. Eftersom vi vet att produkten av talen ska vara 0 måste ett av de tre talen vara 0. Det finns tre möjliga sätt att hitta tre på varandra följande tal där 0 ingår: -&2, -1, 0 [0.25em] -&1, 0, 1 [0.25em] &0, 1, 2. Beroende på vilken situation vi väljer finns det tre möjliga värden på det största talet: 0, 1 eller 2.

I första steget vill vi göra en substitution så att resultatet blir en andragradsekvation. Eftersom vi ser att binomet x^3+7 finns på två ställen gör vi substitutionen x^3+7=t och löser ut t med pq-formeln.

Denna andragradsekvation löses alltså med pq-formeln.

Vi får två rötter, t=-1 och t=3. Eftersom det är variabeln x och inte t som löser ursprungsekvationen så måste vi sätta in dessa lösningar i variabelsubstitutionen och lösa ut x.

Ekvationen x^3+7=- 1

Då byter vi tillbaka så att t=- 1 för x^3+7=t.

Ursprungsekvationen har en trippelrot i x=-2.

Ekvationen x^3+7=3

Även här byter vi tillbaka så att t=3 för x^3+7=t.

Ursprungsekvationen har även trippelroten x=sqrt(-4).

Vi kan också välja att utveckla vänsterledet i ekvationen och förenkla och därefter göra en annan variabelsubstitution.

Denna polynomekvation kan vi lösa genom att göra substitutionen x^3=t.

Vi löser ekvationen med pq-formeln.

Nu sätter vi in de två lösningarna för t i ekvationen x^3=t och löser ut x.

Ekvationen x^3=- 8

Då byter vi tillbaka så att t=- 8 för x^3=t.

x=- 2 är en trippelrot.

Ekvationen x^3=- 4

Även här byter vi tillbaka så att t=- 4 för x^3=t.

x=sqrt(- 4) är ytterligare en trippelrot.

Vänsterledet är en produkt och högerledet är lika med 0. Vi använder därför nollproduktmetoden för att hitta ekvationens lösningar. De kommer båda att bero på a.

Nu har vi två rötter som båda beror av a. En av dem ska vara 5, men vi vet inte vilken det måste vara för att den andra lösningen ska bli så stor som möjligt. Det betyder att vi får undersöka två fall: det första där x_1 är lika med 5 och det andra där x_2 är lika med 5.

x_1=5

Vi bestämmer a och använder sedan det värdet för att bestämma den andra roten.

Den andra roten kan alltså vara x=-12. Vi undersöker nu det andra fallet för att se om roten blir större eller mindre då.s

x_2=5

Nu gör vi på samma sätt men låter uttrycket för den andra roten vara 5.

Den andra roten kan också vara x=-3,5. Denna är större än -12, så vi vill alltså att a=-2,5 för att få den största möjliga andra roten, som då är -3,5.

Vi börjar med att ställa upp uttryck för de tre lådornas sidlängder. Det är sidlängden för mellanlådan som vi söker, så vi kallar den för x, och den lilla lådans sidlängd är 2dm. Vi vet också att sidlängden för den största lådan är 2dm större än den för mellanlådan, alltså (x + 2) dm. Liten:& 2 dm Mellan:& x dm Stor:& (x + 2) dm Vi vet också att volymen för den stora lådan, alltså (x + 2)^3dm^3, är lika stor som två av mellanlådorna och en av de små, alltså (2x^3 + 2^3)dm^3. Sätter man dessa två uttryck lika med varandra får man ekvationen (x + 2)^3 = 2x^3 + 2^3. Vi börjar med att beräkna potensen i högerledet och utvecklar sedan vänsterledet, först med första kvadreringsregeln och sedan med parentesmultiplikation.

Nu kan vi flytta över alla termer till samma sida.

Vi har nu förenklat ekvationen så långt det går och vi ser att det är en tredjegradsekvation. Den har dock ingen konstantterm, så det går bra att bryta ut ett x, vilket ger x(x^2 - 6x - 12 ) = 0. Med hjälp av nollproduktmetoden kan man nu dela upp den i två ekvationer: x = 0 och x^2 - 6x - 12 = 0. En lösning till ekvationen är alltså x = 0, och vi hittar två till genom att lösa andragradsekvationen.

Vi har hittat tre olika lösningar till ekvationen: x = 0, x = - 1,58 och x = 7,58. De första två är inte realistiska eftersom vi är ute efter en längd, så x bör inte vara negativt eller 0. Mittenlådans sidlängd måste alltså vara ungefär 7,58dm.

Vi börjar med att bryta ut x^3. Vi kan då använda nollproduktmetoden.

Vi löser ekvationerna en i taget.

Ekvationen x^3=0

Denna ekvation löser vi genom att dra tredje roten ur båda led.

Trippelroten x=0 löser ekvationen.

Ekvationen x^6-x^3-6=0

Frågan är nu hur vi löser sjättegradsekvationen? Jo, med hjälp av variabelsubstitution. Vi gör omskrivningen x^6=(x^3)^2 och byter ut x^3 mot t.

Vi löser denna med pq-formeln.

Till sist byter vi tillbaka till variabeln x, eftersom det är denna som löser ursprungsekvationen. Vi gjorde tidigare substitutionen x^3=t och genom att separat sätta in värdena på t som vi hittat får vi de två ekvationerna x^3=-2 och x^3=3. Vi löser dem en i taget.

En av lösningarna till ursprungsekvationen är x=sqrt(-2). Detta är en trippelrot. Även nästa ekvation ger oss en trippelrot.

Sammanfattning

Ekvationen x^9-x^6-6x^3=0 har alltså de tre trippelrötterna x=sqrt(-2), x=0 och x=sqrt(3).

Vi börjar med att subtrahera 1 från båda sidor: x^7-x^4+1=0 ⇔ x^7-x^4=- 1 I högerled har vi nu ett negativt värde, och för att överhuvudtaget få ett negativt värde i vänsterled måste x^7 vara mindre än x^4. Men om x är större än 1 kommer x^7 alltid vara större än x^4. Det betyder att eventuella lösningar till ekvationen kommer att vara x-värden som är mindre än 1, inte större än 1.