body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ 'ml-label-loading-course' | message }}

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ tocHeader }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ tocSubheader }}

{{ 'ml-toc-proceed-mlc' | message }}

{{ 'ml-toc-proceed-tbs' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

Visa mindre Visa mer

{{ ability.displayTitle }}

Inställningar & verktyg för lektion

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

{{ article.displayTitle }}

Sida {{ slide.slideNumber }} av {{ article.intro.bblockCount }}

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Polynomekvation
Lösa polynomekvationer algebraiskt
Nollproduktmetoden
Variabelsubstitution
Kvadratrotsmetoden
Lösa polynomekvationer grafiskt
Hitta nollställe med räknare

Förkunskaper

Ekvation
$p q -$ formel

Koncept

Polynomekvation

En polynomekvation är en ekvation där både höger- och vänsterledet är polynom, t.ex.

x^{3} - x = 7 x^{2} + 3 .

En sådan ekvation har maximalt lika många reella lösningar som gradtalet för det polynom man får om man flyttar över alla termer till ena ledet. Skriver man exempelvis ekvationen ovan som

x^{3} - 7 x^{2} - x - 3 = 0

vet man att den har maximalt

3

lösningar. För att lösa polynomekvationer finns det algebraiska metoder som

p q

-formeln, nollproduktmetoden och variabelsubstitution. Dessa går bara att använda i vissa specifika fall, medan en grafisk lösning fungerar på alla polynomekvationer.

Metod

Lösa polynomekvationer algebraiskt

Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad $3$ eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.

För att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationen

x^{3} + 8 x^{2} = 20 x

på detta sätt.

1

Flytta över alla termer till vänsterledet

Nollproduktmetoden kräver att ekvationens ena led är lika med

0,

så man subtraherar

20 x

från båda led:

x^{3} + 8 x^{2} - 20 x = 0 .

2

Dela upp vänsterledet i faktorer

Använd en lämplig metod för att faktorisera vänsterledet. Här kan man bryta ut

x .

x^{3} + 8 x^{2} - 20 x = 0

Bryt ut $x$

x (x^{2} + 8 x - 20) = 0

3

Använd nollproduktmetoden

Nu kan man använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i flera delekvationer av lägre grad.

x (x^{2} + 8 x - 20) = 0

Använd nollproduktmetoden

{x = 0 x^{2} + 8 x - 20 = 0

4

Lös ekvationerna

I det här fallet får man ut en lösning direkt,

x = 0,

samt en andragradsekvation som kan lösas med

p q -

x^{2} + 8 x - 20 = 0

Använd $p q$ -formeln: $p = 8, q = - 20$

x = - \frac{8}{2} \pm (\frac{8}{2})^{2} - (- 20)

Beräkna kvot

x = - 4 \pm 4^{2} - (- 20)

Beräkna potens

x = - 4 \pm 16 - (- 20)

$a - (- b) = a + b$

x = - 4 \pm 36

Beräkna rot

x = - 4 \pm 6

Ange lösningar

x_{1} = - 10 x_{2} = 2

Ekvationen har alltså lösningarna $x = 0,$ $x = - 10$ och $x = 2 .$

Den här metoden är lämplig för fjärdegradsekvationer på formen

a x^{4} + b x^{2} + c = 0,

alltså de som saknar tredje- och förstagradstermer. Idén är att med hjälp av variabelsubstitution skriva om fjärdegradsekvationen till en andragradsekvation för att sedan lösa den med

p q

-formeln. Ekvationen

2 x^{4} - 36 x^{2} + 160 = 0

kan exempelvis lösas med denna metod.

1

Skriv på formen $x^{4} + p x^{2} + q = 0$

Man börjar med att skriva ekvationen på något som liknar

p q -

form, dvs. så att koefficienten framför

x^{4}

är

1

och högerledet är lika med

0 .

I detta fall divideras ekvationen med

2,

vilket ger

x^{4} - 18 x^{2} + 80 = 0 .

2

Substituera $x^{2}$ med $t$

Låt

x^{2} = t .

Mittentermen blir då

- 18 t

och genom att skriva om

x^{4} -

termen som

(x^{2})^{2}

ser man också att

x^{4} = t^{2} .

x^{4} - 18 x^{2} + 80 = 0

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

(x^{2})^{2} - 18 x^{2} + 80 = 0

$x^{2} = t$

t^{2} - 18 t + 80 = 0

Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.

3

Lös andragradsekvationen

För att lösa denna andragradsekvation kan man använda

p q -

t^{2} - 18 t + 80 = 0

Använd $p q$ -formeln: $p = - 18, q = 80$

t = - \frac{- 1 8}{2} \pm (\frac{- 1 8}{2})^{2} - 80

Beräkna kvot

t = - (- 9) \pm (- 9)^{2} - 80

$- (- a) = a$

t = 9 \pm (- 9)^{2} - 80

Beräkna potens

t = 9 \pm 81 - 80

Subtrahera term

t = 9 \pm 1

Beräkna rot

t = 9 \pm 1

Ange lösningar

t_{1} = 8 t_{2} = 10

4

Byt tillbaka till $x^{2}$

Nu måste man byta tillbaka variabeln eftersom det är värden på

x,

inte

t,

som löser ursprungsekvationen. I början gjordes variabelbytet

x^{2} = t,

och för lösningarna

t = 8

och

t = 10

ger det att

x^{2} = 8 och x^{2} = 10 .

5

Lös ekvationerna och ange rötterna till ursprungsekvationen

Slutligen måste dessa andragradsekvationer lösas, en i taget.

x^{2} = 8

$VL = HL$

x = \pm 8

Två av lösningarna är alltså $x = 8$ och $x = - 8 .$

x^{2} = 10

$VL = HL$

x = \pm 10

De fyra lösningarna till ursprungsekvationen är alltså $x = \pm 8$ och $x = \pm 10 .$

Om en andragradsekvation bara innehåller

x^{2} -

termer och en konstant, som

2 x^{2} - 50 = 0

kan den lösas med kvadratrotsmetoden.

1

Lös ut $x^{2}$

Börja med att isolera

x^{2} .

2 x^{2} - 50 = 0

$VL + 50 = HL + 50$

2 x^{2} = 50

$VL / 2 = HL / 2$

x^{2} = 25

2

Dra kvadratroten ur båda led

Ta kvadratroten ur båda led: kom ihåg att både positiva och negativa tal har samma kvadrat.

x^{2} = 25

$VL = HL$

x = \pm 25

Beräkna rot

x = \pm 5

Ange lösningar

x = 5 x = - 5

x^{2} = 100 \Leftrightarrow x = \pm 10

Räknare visar vanligtvis bara den positiva roten, så glöm inte den negativa. Om

x^{2}

är lika med ett negativt tal har ekvationen inga reella lösningar.

Exempel

Lös polynomekvationen med nollproduktmetoden

Lös ekvationen

2 x (3 x + 5) (x - 7) = 0 .

Ledtråd

Sätt varje faktor lika med noll och lös de resulterande ekvationerna.

Lösning

Vänsterledet är en produkt av tre faktorer och högerledet är lika med

0 .

Det betyder att vi kan använda nollproduktmetoden.

2 x (3 x + 5) (x - 7) = 0

Använd nollproduktmetoden

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ 2 x = 0 3 x + 5 = 0 x - 7 = 0 (I) (II) (III)

$(I):$ $VL / 2 = HL / 2$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x = 0 3 x + 5 = 0 x - 7 = 0

$(II):$ $VL - 5 = HL - 5$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x = 0 3 x = - 5 x - 7 = 0

$(II):$ $VL / 3 = HL / 3$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x = 0 x = - 5 / 3 x - 7 = 0

$(III):$ $VL + 7 = HL + 7$

⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎧ x_{1} = 0 x_{2} = - 5 / 3 x_{3} = 7

Ekvationen har tre rötter:

x = 0,

x = - 5 / 3

och

x = 7 .

Exempel

Lös polynomekvationen med variabelsubstitution

Lös ekvationen

3 x^{4} - 15 x^{2} + 12 = 0 .

Ledtråd

Skriv om ekvationen så att koefficienten framför $x^{4}$ är $1 .$ Använd variabelsubstitution för att bilda en andragradsekvation och lös den med $p q -$ formeln.

Lösning

Börja med att dividera ekvationen med

2,

så att koefficienten framför

x^{4}

blir

1 .

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

Resultatet är en fjärdegradsekvation på formen

x^{4} + b x^{2} + c = 0,

så använd variabelsubstitution för att lösa den. Låt

x^{2} = t .

Använd detta för att skriva om ekvationen.

x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

(x^{2})^{2} - 5 x^{2} + 4 = 0

$x^{2} = t$

t^{2} - 5 t + 4 = 0

Detta ger en andragradsekvation som kan lösas med

p q -

formeln.

t^{2} - 5 t + 4 = 0

▼

Lös ut

t

Använd $p q$ -formeln: $p = - 5, q = 4$

t = - \frac{- 5}{2} \pm (\frac{- 5}{2})^{2} - (4)

RemoveNegFracAndNum

$- \frac{- a}{b} = \frac{a}{b}$

t = \frac{5}{2} \pm (\frac{- 5}{2})^{2} - (4)

Ta bort parentes

t = \frac{5}{2} \pm (\frac{- 5}{2})^{2} - 4

$(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}$

t = \frac{5}{2} \pm \frac{( - 5 ) ^{2}}{2 ^{2}} - 4

Beräkna potens

t = \frac{5}{2} \pm \frac{2 5}{4} - 4

$a = \frac{4 \cdot a}{4}$

t = \frac{5}{2} \pm \frac{2 5}{4} - \frac{1 6}{4}

Subtrahera bråk

t = \frac{5}{2} \pm \frac{9}{4}

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

t = \frac{5}{2} \pm \frac{9}{4}

Beräkna rot

t = \frac{5}{2} \pm \frac{3}{2}

Ange lösningar

t = 5 / 2 + 3 / 2 t = 5 / 2 - 3 / 2

$(I), (II):$ Lägg ihop bråk

t = 4 t = 1

Substituera därefter tillbaka till den ursprungliga variabeln, eftersom lösningarna är värden på

t

och inte

x .

Byt ut

t

mot

x^{2},

vilket ger ekvationerna:

x^{2} = 4 och x^{2} = 1 .

Ta kvadratroten ur båda sidor i varje ekvation för att få lösningarna till den ursprungliga fjärdegradsekvationen.

x = \pm 2 och x = \pm 1

Dessa är de fyra lösningarna till ekvationen.

Metod

Lösa polynomekvationer grafiskt

För att hitta eventuella rötter till polynomekvationer som är svåra att lösa algebraiskt kan man göra en grafisk lösning. Exempelvis kan man lösa ekvationen

x^{4} + 2 x^{3} + 8 = 9 x^{2} + 2 x

på detta sätt.

1

Flytta över alla termer till vänsterledet

Genom att skriva om ekvationen så att högerledet är

0

kan man rita upp vänsterledet som en funktion och identifiera funktionens nollställen för att hitta rötterna:

x^{4} + 2 x^{3} - 9 x^{2} - 2 x + 8 = 0 .

Man skulle också kunna använda höger- och vänsterledets funktioner och undersöka när de skär varandra, men det kan vara lite mer komplicerat.

2

Rita grafen till funktionen

Rita funktionens graf, exempelvis med hjälp av grafritare. Det kan vara nödvändigt att ändra på koordinatsystemets inställningar för att kunna se hela grafen.

3

Hitta nollställena

För att hitta nollställena kan man använda räknarens verktyg för detta. I det här fallet kan man läsa av dem direkt i figuren.

Nollställena är $x = - 4,$ $x = - 1,$ $x = 1$ och $x = 2,$ och dessa löser även ursprungsekvationen.

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att hitta nollställen till en funktion. För att använda det måste man först rita ut grafen, så man börjar med att skriva in funktionsuttrycket.

Inskriven funktion på TI-räknare

Trycker man sedan på $GRAPH$ visas grafen.

Graf ritad på TI-räknare

Genom att trycka på $CALC$ $(2 nd + TRACE)$ visas en meny med olika beräkningar som kan göras.

CALCULATE-menyn på TI-räknare

För att bestämma nollställen väljer man det andra alternativet, zero. Den utritade grafen visas nu igen med en markör som man kan röra med vänster- och högerknapparna.

Nollställesökning på TI-räknare

Man anger den vänstra och högra gränsen för området där räknaren ska leta efter ett nollställe samt en gissning. Det gör man genom att flytta på markören och trycka på $ENTER$ för att välja punkter. Det går också att skriva in ett $x -$ värde och trycka på $ENTER$ .

Nollställe på TI-räknare

Nollställets

x -

koordinat visas till vänster och

y -

koordinaten, som är

0,

visas till höger. På grund av att räknaren löser problemet numeriskt blir ibland

y -

koordinaten inte exakt

0,

vilket innebär att resultat inte heller blir exakt. Vill man hitta fler nollställen kan man använda metoden igen och sätta gränserna runt ett annat intervall på grafen.

Exempel

Lös polynomekvationen med digitalt verktyg

Lös ekvationen

x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0

med hjälp av ett digitalt verktyg.

Ledtråd

Sätt högerledet i ekvationen lika med $0,$ och grafritar sedan vänsterledet som en funktion på en grafräknare. Identifiera funktionens nollställen — dessa är lösningarna till ekvationen.

Lösning

Ekvationen kommer att lösas med hjälp av en grafräknare. Eftersom högerledet i ekvationen är $0,$ kan vänsterledet grafritas som en funktion, och funktionens nollställen kan identifieras för att hitta rötterna. Börja med att trycka på $Y =$ och mata in ekvationens vänsterled.

Tryck sedan på $GRAPH$ för att visa grafen. Det kan vara nödvändigt att justera fönsterinställningarna för att se alla nollställen.

Tryck nu på $2 nd$ och därefter $TRACE$ för att komma åt menyn $CALC .$ Denna meny innehåller olika beräkningsalternativ.

Tryck på $2$ för att välja alternativet zero. Grafen visas igen med en markör som kan flyttas med vänster- och högerpilarna.

Ange det vänstra och högra gränsvärdet för det område där räknaren ska söka efter ett nollställe, samt en gissning. Gör detta genom att flytta markören och trycka på $ENTER$ för att välja punkter. Alternativt kan du skriva in ett $x -$ värde och trycka på $ENTER .$

Upprepa denna process för varje nollställe i funktionen tills alla tre nollställen har hittats. I detta fall är nollställena $x = - 2,$ $x = 1$ och $x = 3 .$ Dessa är också lösningarna till ekvationen.

Alternativ lösning

Lösa ekvationen med GeoGebra

Ekvationen kan också lösas med ett ekvationslösningsverktyg som GeoGebra. I GeoGebra används kommandot NLös(ekvation), där ekvationen skrivs inom parentesen.

NLös( $x^{3} - 2 x^{2} - 5 x + 6 = 0$ )

$= {x = - 2, x = 1, x = 3}$

Lösningen stämmer överens med resultatet som erhölls tidigare. Detta innebär att lösningarna till polynomekvationen är $x = - 2,$ $x = 1$ och $x = 3 .$

{{ grade.displayTitle }}

{{ article.displayTitle }}

{{ tocSubtitle }}

Laddar innehåll