4. Polynomekvationer av högre grad
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
4.
Polynomekvationer av högre grad
Denna lektion fokuserar på att lösa polynomekvationer av högre grad, specifikt tredje- och fjärdegradsekvationer. Den introducerar nollproduktmetoden som ett effektivt verktyg för att lösa dessa ekvationer. Dessutom diskuteras användningen av pq-formeln och variabelsubstitution för att förenkla och lösa komplexa ekvationer. Lektionenen erbjuder också en djupgående förklaring till hur man faktoriserar polynom, vilket är en viktig del i lösningen av polynomekvationer. Slutligen, för de mer utmanande polynomekvationerna, föreslås en grafisk lösning för att identifiera rötterna till ekvationen.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 23 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Polynomekvationer av högre grad
Sida av 8
Tabellen visar priset på en bluetooth-högtalare varje månad i 4 månader.
| Månad | Pris (dollar) |
|---|---|
| Juni | 165 |
| Juli | 165+(−12) |
| Augusti | 165+2(−12) |
| September | 165+3(−12) |
Beskriv förändringen i priset på högtalaren.
Tabellen nedan visar hur mycket pengar du sparar varje månad. När har du tillräckligt med pengar sparade för att köpa högtalaren? Förklara din resonemang.
| Månad | Pris (dollar) |
|---|---|
| Juni | $35 |
| Juli | $55 |
| Augusti | $45 |
| September | $18 |
Facit
Priset minskar med 12 dollar varje månad
September, se lösning.
Ledtråd
Börja med att hitta ett mönster i den givna tabellen.
Börja med att ta reda på vår totala besparing varje månad. Beräkna sedan priset på högtalaren varje månad.
Lösning
Vi vill beskriva förändringen i priset på högtalaren. Låt oss börja med att titta på tabellen!
| Månad | Pris (dollar) |
|---|---|
| Juni | 165 |
| Juli | 165+(−12) |
| Augusti | 165+2(−12) |
| September | 165+3(−12) |
När vi tittar på tabellen kan vi se att högtalarens pris i juli ändras med −$12 jämfört med juni. Vi kan också se att högtalarens pris i augusti ändras med −$12 från julis pris, eller med 2(−$12) från junis pris. Med andra ord minskar högtalarens pris med 12 dollar varje månad.
Låt oss börja med att titta på hur mycket pengar vi sparar varje månad.
| Sparat belopp | |
|---|---|
| Juni | $35 |
| Juli | $55 |
| Augusti | $45 |
| September | $18 |
Vi vill veta när vi kommer att ha sparat tillräckligt med pengar för att köpa högtalaren. Låt oss först beräkna det totala beloppet vi har sparat varje månad. Vi kan göra detta genom att addera det belopp som sparats under de tidigare månaderna och det belopp som sparats under den aktuella månaden.
| Månad | Sparat belopp denna månad | Totalt sparat belopp |
|---|---|---|
| Juni | $35 | $35 |
| Juli | $55 | $35+$55=$90 |
| Augusti | $45 | $35+$55+$45=$135 |
| September | $18 | $35+$55+$45+$18=$153 |
Nu ska vi beräkna priset på högtalaren under de olika månaderna. Låt oss använda tabellen från del A.
| Månad | Pris (dollar) |
|---|---|
| Juni | 165 |
| Juli | 165+(−12) |
| Augusti | 165+2(−12) |
| September | 165+3(−12) |
165+(−12)=165−12=143
Högtalaren kostar $143 i juli. Därefter beräknar vi högtalarens pris i augusti. Kom ihåg att produkten av två heltal med olika tecken alltid är negativ.
Högtalaren kostar $141 i augusti. Detta är fortfarande mer pengar än vi har på vårt bankkonto i augusti. Låt oss ta reda på vad högtalaren kostar i september.
Högtalaren kostar $129 i september. Låt oss nu jämföra högtalarens pris och våra totala besparingar varje månad. | Månad | Totala besparingar | Pris | Jämförelse | Har vi tillräckligt med pengar? |
|---|---|---|---|---|
| Juni | $35 | $165 | $35<$165 | Nej |
| Juli | $90 | $153 | $90<$153 | Nej |
| Augusti | $135 | $141 | $135<$141 | Nej |
| September | $153 | $129 | $153>$129 | Ja |
Vi kommer att ha sparat tillräckligt med pengar för att köpa högtalaren i september.
Svarsalternativ
{"codehash":"fa58cc3babb14ccda0fc6518701647d4"}
Uppgift
Använd tabellen till höger. Yolanda planerar en fest som kommer att äga rum i tre rum.
| Rum | Hyra (per timme) | Ljudsystemavgift |
|---|---|---|
| 1 | $25 | $15 |
| 2 | $20 | $10 |
| 3 | $50 | ingen avgift |
Skriv ett uttryck som kan användas för att representera det totala belopp som Yolanda behöver för att hyra alla tre rum och ljudsystemet i t timmar.
Hur kan du använda en egenskap för att skriva ett förenklat ekvivalent uttryck?
Facit
25t+15+20t+10+50t
Se lösning.
Ledtråd
För att hyra varje rum måste Yolanda betala hyran multiplicerat med t plus ljudsystemavgiften.
Försök att använda operationernas egenskaper och den distributiva egenskapen för att kombinera liknande termer.
Lösning
Vi får veta att Yolanda ska hyra tre rum och ett ljudsystem i t timmar. Vi blir ombedda att skriva ett uttryck som kan användas för att representera den totala kostnaden. Låt oss ta en titt på kostnaden för varje rum.
| Rum | Hyra (per timme) | Ljudsystemavgift |
|---|---|---|
| 1 | $25 | $15 |
| 2 | $20 | $10 |
| 3 | $50 | ingen avgift |
Rum 1 hyra=25t
Låt oss lägga till ljudsystemavgiften, 15. Det är en engångsavgift så vi behöver inte multiplicera den med variabeln. Rum 1 kostnad=25t+15
Vi skrev ett uttryck som representerar kostnaden för att hyra rum 1 i t timmar! | Rum | Hyra (per timme) | Ljudsystemavgift | Kostnad för t timmar |
|---|---|---|---|
| 1 | $25 | $15 | 25t+15 |
| 2 | $20 | $10 | |
| 3 | $50 | ingen avgift |
Vi kan representera kostnaderna för de andra rummen på ett liknande sätt. Vi multiplicerar hyrorna med t och lägger till ljudsystemavgifterna.
| Rum | Hyra (per timme) | Ljudsystemavgift | Totalkostnad för t timmar |
|---|---|---|---|
| 1 | $25 | $15 | 25t+15 |
| 2 | $20 | $10 | 20t+10 |
| 3 | $50 | ingen avgift, $0 | 50t+0 |
Total kostnad=25t+15+20t+10+50t
25t+15+20t+10+50t
Vi blir ombedda att förklara hur vi kan använda en operationsegenskap för att skriva ett förenklat uttryck. Låt oss först använda additions kommutativa egenskap.
25t+15+20t+10+50t
Kommutativa lagen för addition
25t+20t+50t+15+10
AddTerms
Addera termer
25t+20t+50t+25
95t+25
Svarsalternativ
Uppgift
Skriv 40% som en bråkdel i enklaste form. Rita en modell som representerar denna bråkdel.
Facit
Bråk: 251
Ledtråd
En procent är värdet av ett del-till-helhet-förhållande där helheten är 100.
Lösning
Kom ihåg att en procent är värdet av ett del-till-helhet-förhållande där helheten är 100. Detta betyder att vi kan skriva en procent som ett bråk med en nämnare på 100. Låt oss skriva vår procent som ett bråk i enklaste form. Eftersom nämnaren representerar helheten, kan vi använda ett 5-ga˚nger-5-rutnät för att modellera det erhållna bråket. För att göra det kommer vi att betrakta helheten av vår procent som ett rutnät med 25 rutor.
Värdet på delen är 1. Då kan vi markera 1 små rutor på rutnätet.
Svarsalternativ
Exempel
Lös polynomekvationen med variabelsubstitution
Lös ekvationen
3x4−15x2+12=0.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2","-2","1","-1"]}}
Ledtråd
Skriv om ekvationen så att koefficienten framför x4 är 1. Använd variabelsubstitution för att bilda en andragradsekvation och lös den med pq-formeln.
Lösning
Börja med att dividera ekvationen med 2, så att koefficienten framför x4 blir 1.
Substituera därefter tillbaka till den ursprungliga variabeln, eftersom lösningarna är värden på t och inte x. Byt ut t mot x2, vilket ger ekvationerna:
x4−5x2+4=0
Resultatet är en fjärdegradsekvation på formen x4+bx2+c=0, så använd variabelsubstitution för att lösa den.
Låt x2=t. Använd detta för att skriva om ekvationen.
Detta ger en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln.
t2−5t+4=0
▼
Lös ut t
UsePQ
Använd pq-formeln: p=−5,q=4
t=−2−5±(2−5)2−(4)
RemoveNegFracAndNum
−b-a=ba
t=25±(2−5)2−(4)
RemovePar
Ta bort parentes
t=25±(2−5)2−4
PowQuot
(ba)c=bcac
t=25±22(−5)2−4
CalcPow
Beräkna potens
t=25±425−4
NumberToFrac
a=44⋅a
t=25±425−416
SubFrac
Subtrahera bråk
t=25±49
SqrtQuot
ba=ba
t=25±49
CalcRoot
Beräkna rot
t=25±23
StateSol
Ange lösningar
t=5/2+3/2t=5/2−3/2
(I), (II): Lägg ihop bråk
t=4t=1
x2=4 och x2=1.
Ta kvadratroten ur båda sidor i varje ekvation för att få lösningarna till den ursprungliga fjärdegradsekvationen.
x=±2 och x=±1
Dessa är de fyra lösningarna till ekvationen.
{"codehash":"a3f94c68a4bf02073e3429587b0f6850"}
{"codehash":"d226e8b223604e695ef1d3a804b0b8f9"}
Exempel
Lös polynomekvationen med digitalt verktyg
Lös ekvationen x3−2x2−5x+6=0 med hjälp av ett digitalt verktyg.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","1","3"]}}
Ledtråd
Sätt högerledet i ekvationen lika med 0, och grafritar sedan vänsterledet som en funktion på en grafräknare. Identifiera funktionens nollställen — dessa är lösningarna till ekvationen.
Lösning
Ekvationen kommer att lösas med hjälp av en grafräknare. Eftersom högerledet i ekvationen är 0, kan vänsterledet grafritas som en funktion, och funktionens nollställen kan identifieras för att hitta rötterna. Börja med att trycka på Y= och mata in ekvationens vänsterled.
Bilden kunde ej laddas
Tryck sedan på GRAPH för att visa grafen. Det kan vara nödvändigt att justera fönsterinställningarna för att se alla nollställen.
Bilden kunde ej laddas
Tryck nu på 2nd och därefter TRACE för att komma åt menyn CALC. Denna meny innehåller olika beräkningsalternativ.
Bilden kunde ej laddas
Tryck på 2 för att välja alternativet zero
. Grafen visas igen med en markör som kan flyttas med vänster- och högerpilarna.
Bilden kunde ej laddas
Ange det vänstra och högra gränsvärdet för det område där räknaren ska söka efter ett nollställe, samt en gissning. Gör detta genom att flytta markören och trycka på ENTER för att välja punkter. Alternativt kan du skriva in ett x-värde och trycka på ENTER.
Bilden kunde ej laddas
Upprepa denna process för varje nollställe i funktionen tills alla tre nollställen har hittats. I detta fall är nollställena x=−2, x=1 och x=3. Dessa är också lösningarna till ekvationen.
Alternativ lösning
Lösa ekvationen med GeoGebraEkvationen kan också lösas med ett ekvationslösningsverktyg som GeoGebra. I GeoGebra används kommandot NLös(ekvation)
, där ekvationen skrivs inom parentesen.
NLös(x3−2x2−5x+6=0)
={x=−2,x=1,x=3}
Lösningen stämmer överens med resultatet som erhölls tidigare. Detta innebär att lösningarna till polynomekvationen är x=−2, x=1 och x=3.
Inget innehåll hittades här, försök igen senare!
security
report
code
security
report
code
security
report
code
Inget innehåll hittades här, försök igen senare!
security
report
code
security
report
code
security
report
code
Förklara skillnaden mellan numeriska uttryck och algebraiska uttryck.
security
report
code
security
report
code
Låt oss jämföra definitionen av ett numeriskt uttryck med definitionen av ett algebraiskt uttryck.
- Algebraiskt uttryck: använder variabler såväl som tal och operatorer. Det måste innehålla minst en variabel.
- Numeriskt uttryck: använder endast tal och operatorer.
Skillnaden mellan dessa två definitioner är därför att numeriska uttryck inte innehåller variabler.
security
report
code
Inget innehåll hittades här, försök igen senare!
security
report
code
security
report
code
security
report
code
Lös ekvationen och svara exakt.
x2+6x−12=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-3+\\sqrt{21}","-3-\\sqrt{21}"]}}
3x2−24x−36=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["4+2\\sqrt{7}","4-2\\sqrt{7}"]}}
x2+7x+2=10
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-8","1"]}}
security
report
code
security
report
code
Detta är en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln.
Ekvationens lösningar är alltså x=-3-sqrt(21) och x=-3+sqrt(21).
Detta är också en andragradsekvation så vi kan använda pq-formeln, men först måste vi dividera båda led med 3.
Vi får alltså lösningarna x=4±sqrt(28). Om man vill kan man också skriva dem som x=4±2sqrt(7) eftersom sqrt(28) är lika med 2sqrt(7). Vi visar hur man gör den omskrivningen.
Återigen har vi en andragradsekvation så vi använder pq-formeln igen.
security
report
code
Använd en modell för att lösa ekvationen.
2z=14
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.04398em;\">z<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["7"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vill lösa den givna ekvationen. 2z=14 För att göra det, anta att två robotar går ut och äter lunch. De bestämmer sig för att dela på notan på 14 dollar jämnt. Denna situation representerar den givna ekvationen. Robotar* Belopp betalat per robot&= Total kostnad &⇓ 2* z&= 14 Föreställ dig nu att vi har en våg som representerar antalet robotar och priset på måltiden. Varje robot betalade samma summa pengar.
Om vi delar jämnt 14 dollar mellan 2 robotar, måste varje robot betala 7 dollar för lunchen. 14 ÷ 2 = 7 Detta arrangemang kommer att balansera vågen eftersom vi kommer att ha 14 dollar på båda sidor.
Eftersom beloppet som betalas per robot representerar z, är värdet på z lika med 7.
security
report
code
Inget innehåll hittades här, försök igen senare!
security
report
code
security
report
code
security
report
code
Klyo köpte en pizza för \$ 12,75 och fyra medelstora drycker på Pauli's Pizza. Definiera en variabel och skriv ett uttryck för att representera det totala beloppet av pengar han spenderade. Hitta sedan den totala kostnaden om en dryck kostar \$ 3.
security
report
code
security
report
code
Vi får veta att Kiyo köpte en pizza för 2,75 och 4 mellanstora drycker på Pauli's Pizza. Vi vill definiera en variabel och skriva ett uttryck som representerar beloppet han spenderade. Sedan kommer vi att hitta denna kostnad om 1 dryck kostar . Det enda vi inte vet är kostnaden för den mellanstora drycken. Så vi kan använda variabeln c för att representera detta värde. c - kostnad för en dryck Låt oss nu tänka på vad vi vet. Kyio spenderade $ 12,75 för en pizza plus 4 gånger priset för en dryck, c. Så en del av uttrycket för hans intäkter måste vara 4* c. Eftersom han spenderade ytterligare ett belopp måste vi lägga till den andra delen. Denna andra del är kostnaden för en pizza, 12,75. Låt oss skriva ner uttrycket! 4* c + 12,75 = 4c + 12,75 Nu kan vi använda det faktum att en dryck kostar $ 3 för att hitta det totala beloppet som Kiyo betalade. Vi börjar med att ersätta variabeln c med värdet 3. c= 100 ⇓ 4c + 12,75 = 4 * 3 + 12,75 Slutligen kommer vi att följa ordningen på operationerna för att utvärdera uttrycket. Vi bör börja med multiplikation. Sedan lägger vi till termerna.
Den totala kostnaden för Kiyos beställning var 4,75.
security
report
code
Använd den distributiva lagen för att skriva om det algebraiska uttrycket.
8(x+1)=
security
report
code
security
report
code
Vi vill använda den distributiva lagen för att skriva om det algebraiska uttrycket. Vi kommer att distribuera 8 till termerna inom parenteserna.
Eftersom 8x och 8 inte är liknande termer, kan uttrycket inte förenklas ytterligare.
security
report
code
Efter en städning täcker alger 2 miles av en kustlinje. Längden på kustlinjen som täcks efter städningen är 31 av den tidigare längden. Hur många miles av kusten täckte algerna tidigare?
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":" mil","answer":{"text":["6"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att efter en sanering täcker alger 2 miles av kustlinjen. Vi vill hitta antalet miles som algerna täckte före saneringen om den nya längden är 13 av den tidigare täckningen. För att göra det, tänk på att längden efter saneringen är lika med produkten av 13 multiplicerat med den tidigare längden. 1/3 x=2 Här representerar x de miles som algerna tidigare täckte. Nu kan vi använda inversa operationer för att isolera variabeln på ena sidan av ekvationen.
Algerna täckte 6 miles av kustlinjen före saneringen.
security
report
code
Inget innehåll hittades här, försök igen senare!
security
report
code
security
report
code
security
report
code
Polynomekvationer av högre grad
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll