4. Polynomekvationer av högre grad
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
4.
Polynomekvationer av högre grad
Denna lektion fokuserar på att lösa polynomekvationer av högre grad, specifikt tredje- och fjärdegradsekvationer. Den introducerar nollproduktmetoden som ett effektivt verktyg för att lösa dessa ekvationer. Dessutom diskuteras användningen av pq-formeln och variabelsubstitution för att förenkla och lösa komplexa ekvationer. Lektionenen erbjuder också en djupgående förklaring till hur man faktoriserar polynom, vilket är en viktig del i lösningen av polynomekvationer. Slutligen, för de mer utmanande polynomekvationerna, föreslås en grafisk lösning för att identifiera rötterna till ekvationen.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 8 sidor teori |
| | 23 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Polynomekvationer av högre grad
Sida av 8
Koncept
Polynomekvation
En polynomekvation är en ekvation där både höger- och vänsterledet är polynom, t.ex.
x3−x=7x2+3.
En sådan ekvation har maximalt lika många reella lösningar som gradtalet för det polynom man får om man flyttar över alla termer till ena ledet. Skriver man exempelvis ekvationen ovan som
x3−7x2−x−3=0
vet man att den har maximalt 3 lösningar. För att lösa polynomekvationer finns det algebraiska metoder som pq-formeln, nollproduktmetoden och variabelsubstitution. Dessa går bara att använda i vissa specifika fall, medan en grafisk lösning fungerar på alla polynomekvationer.Metod
Lösa polynomekvationer algebraiskt
Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad 3 eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.
För att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationenx3+8x2=20x
på detta sätt.
1
Flytta över alla termer till vänsterledet
expand_more
Nollproduktmetoden kräver att ekvationens ena led är lika med 0, så man subtraherar 20x från båda led:
x3+8x2−20x=0.
2
Dela upp vänsterledet i faktorer
expand_more
Använd en lämplig metod för att faktorisera vänsterledet. Här kan man bryta ut x.
3
Använd nollproduktmetoden
expand_more
Nu kan man använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i flera delekvationer av lägre grad.
4
Lös ekvationerna
expand_more
I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln.
x2+8x−20=0
UsePQ
Använd pq-formeln: p=8,q=−20
x=−28±(28)2−(−20)
CalcQuot
Beräkna kvot
x=−4±42−(−20)
CalcPow
Beräkna potens
x=−4±16−(−20)
SubNeg
a−(−b)=a+b
x=−4±36
CalcRoot
Beräkna rot
x=−4±6
StateSol
Ange lösningar
x1=−10x2=2
Ekvationen har alltså lösningarna x=0, x=−10 och x=2.
2x4−36x2+160=0
kan exempelvis lösas med denna metod.
1
Skriv på formen x4+px2+q=0
expand_more
Man börjar med att skriva ekvationen på något som liknar pq-form, dvs. så att koefficienten framför x4 är 1 och högerledet är lika med 0. I detta fall divideras ekvationen med 2, vilket ger
x4−18x2+80=0.
2
Substituera x2 med t
expand_more
Låt x2=t. Mittentermen blir då −18t och genom att skriva om x4-termen som (x2)2 ser man också att x4=t2.
Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.
3
Lös andragradsekvationen
expand_more
För att lösa denna andragradsekvation kan man använda pq-formeln.
4
Byt tillbaka till x2
expand_more
Nu måste man byta tillbaka variabeln eftersom det är värden på x, inte t, som löser ursprungsekvationen. I början gjordes variabelbytet x2=t, och för lösningarna t=8 och t=10 ger det att
x2=8ochx2=10.
5
Lös ekvationerna och ange rötterna till ursprungsekvationen
expand_more
2x2−50=0
kan den lösas med kvadratrotsmetoden.
1
Lös ut x2
expand_more
2
Dra kvadratroten ur båda led
expand_more
Ta kvadratroten ur båda led: kom ihåg att både positiva och negativa tal har samma kvadrat.
x2=100⇔x=±10
Räknare visar vanligtvis bara den positiva roten, så glöm inte den negativa. Om x2 är lika med ett negativt tal har ekvationen inga reella lösningar. Exempel
Lös polynomekvationen med nollproduktmetoden
Lös ekvationen
2x(3x+5)(x−7)=0.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-\\dfrac{5}{3}","7"]}}
Ledtråd
Sätt varje faktor lika med noll och lös de resulterande ekvationerna.
Lösning
Vänsterledet är en produkt av tre faktorer och högerledet är lika med 0. Det betyder att vi kan använda nollproduktmetoden.
Ekvationen har tre rötter: x=0, x=−5/3 och x=7.
2x(3x+5)(x−7)=0
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2x=03x+5=0x−7=0(I)(II)(III)
DivEqn
(I): VL/2=HL/2
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=03x+5=0x−7=0
SubEqn
(II): VL−5=HL−5
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=03x=−5x−7=0
DivEqn
(II): VL/3=HL/3
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x=0x=−5/3x−7=0
AddEqn
(III): VL+7=HL+7
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧x1=0x2=−5/3x3=7
Exempel
Lös polynomekvationen med variabelsubstitution
Lös ekvationen
3x4−15x2+12=0.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2","-2","1","-1"]}}
Ledtråd
Skriv om ekvationen så att koefficienten framför x4 är 1. Använd variabelsubstitution för att bilda en andragradsekvation och lös den med pq-formeln.
Lösning
Börja med att dividera ekvationen med 2, så att koefficienten framför x4 blir 1.
Substituera därefter tillbaka till den ursprungliga variabeln, eftersom lösningarna är värden på t och inte x. Byt ut t mot x2, vilket ger ekvationerna:
x4−5x2+4=0
Resultatet är en fjärdegradsekvation på formen x4+bx2+c=0, så använd variabelsubstitution för att lösa den.
Låt x2=t. Använd detta för att skriva om ekvationen.
Detta ger en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln.
t2−5t+4=0
▼
Lös ut t
UsePQ
Använd pq-formeln: p=−5,q=4
t=−2−5±(2−5)2−(4)
RemoveNegFracAndNum
−b-a=ba
t=25±(2−5)2−(4)
RemovePar
Ta bort parentes
t=25±(2−5)2−4
PowQuot
(ba)c=bcac
t=25±22(−5)2−4
CalcPow
Beräkna potens
t=25±425−4
NumberToFrac
a=44⋅a
t=25±425−416
SubFrac
Subtrahera bråk
t=25±49
SqrtQuot
ba=ba
t=25±49
CalcRoot
Beräkna rot
t=25±23
StateSol
Ange lösningar
t=5/2+3/2t=5/2−3/2
(I), (II): Lägg ihop bråk
t=4t=1
x2=4 och x2=1.
Ta kvadratroten ur båda sidor i varje ekvation för att få lösningarna till den ursprungliga fjärdegradsekvationen.
x=±2 och x=±1
Dessa är de fyra lösningarna till ekvationen.
Metod
Lösa polynomekvationer grafiskt
För att hitta eventuella rötter till polynomekvationer som är svåra att lösa algebraiskt kan man göra en grafisk lösning. Exempelvis kan man lösa ekvationen
x4+2x3+8=9x2+2x
på detta sätt.
1
Flytta över alla termer till vänsterledet
expand_more Genom att skriva om ekvationen så att högerledet är 0 kan man rita upp vänsterledet som en funktion och identifiera funktionens nollställen för att hitta rötterna:
x4+2x3−9x2−2x+8=0.
Man skulle också kunna använda höger- och vänsterledets funktioner och undersöka när de skär varandra, men det kan vara lite mer komplicerat. 2
Rita grafen till funktionen
expand_more Rita funktionens graf, exempelvis med hjälp av grafritare. Det kan vara nödvändigt att ändra på koordinatsystemets inställningar för att kunna se hela grafen.
3
Hitta nollställena
expand_more För att hitta nollställena kan man använda räknarens verktyg för detta. I det här fallet kan man läsa av dem direkt i figuren.
Nollställena är x=−4, x=−1, x=1 och x=2, och dessa löser även ursprungsekvationen.
Räknaren har ett inbyggt verktyg för att hitta nollställen till en funktion. För att använda det måste man först rita ut grafen, så man börjar med att skriva in funktionsuttrycket.
Trycker man sedan på GRAPH visas grafen.
Genom att trycka på CALC (2nd+TRACE) visas en meny med olika beräkningar som kan göras.
För att bestämma nollställen väljer man det andra alternativet, zero
. Den utritade grafen visas nu igen med en markör som man kan röra med vänster- och högerknapparna.
Man anger den vänstra och högra gränsen för området där räknaren ska leta efter ett nollställe samt en gissning. Det gör man genom att flytta på markören och trycka på ENTER för att välja punkter. Det går också att skriva in ett x-värde och trycka på ENTER.
Exempel
Lös polynomekvationen med digitalt verktyg
Lös ekvationen x3−2x2−5x+6=0 med hjälp av ett digitalt verktyg. 
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","1","3"]}}
Ledtråd
Sätt högerledet i ekvationen lika med 0, och grafritar sedan vänsterledet som en funktion på en grafräknare. Identifiera funktionens nollställen — dessa är lösningarna till ekvationen.
Lösning
Ekvationen kommer att lösas med hjälp av en grafräknare. Eftersom högerledet i ekvationen är 0, kan vänsterledet grafritas som en funktion, och funktionens nollställen kan identifieras för att hitta rötterna. Börja med att trycka på Y= och mata in ekvationens vänsterled.
Tryck sedan på GRAPH för att visa grafen. Det kan vara nödvändigt att justera fönsterinställningarna för att se alla nollställen.
Tryck nu på 2nd och därefter TRACE för att komma åt menyn CALC. Denna meny innehåller olika beräkningsalternativ.
Tryck på 2 för att välja alternativet zero
. Grafen visas igen med en markör som kan flyttas med vänster- och högerpilarna.
Ange det vänstra och högra gränsvärdet för det område där räknaren ska söka efter ett nollställe, samt en gissning. Gör detta genom att flytta markören och trycka på ENTER för att välja punkter. Alternativt kan du skriva in ett x-värde och trycka på ENTER.
Upprepa denna process för varje nollställe i funktionen tills alla tre nollställen har hittats. I detta fall är nollställena x=−2, x=1 och x=3. Dessa är också lösningarna till ekvationen.
Alternativ lösning
Lösa ekvationen med GeoGebraEkvationen kan också lösas med ett ekvationslösningsverktyg som GeoGebra. I GeoGebra används kommandot NLös(ekvation)
, där ekvationen skrivs inom parentesen.
NLös(x3−2x2−5x+6=0)
={x=−2,x=1,x=3}
Lösningen stämmer överens med resultatet som erhölls tidigare. Detta innebär att lösningarna till polynomekvationen är x=−2, x=1 och x=3.
Lös ekvationen.
2x4−32x2=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-4","0","4"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att dela upp funktionsuttrycket i faktorer och bryta ut största gemensamma faktor. Vi gör det för att sedan kunna använda nollproduktmetoden.
Den första ekvationen har lösningen x=0. Den andra ekvationen löser vi genom att addera 16 till båda led och därefter dra roten ur.
Ursprungsekvationen 2x^4-32x^2=0 har alltså de tre lösningarna x=-4, x=0 och x=4.
security
report
code
Lös ekvationen algebraiskt. Svara exakt.
x4−8x2+7=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1","1","-\\sqrt{7}","\\sqrt{7}"]}}
x4−2x2−8=0
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-2","2"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi har ingen allmän metod för att lösa fjärdegradsekvationer, men den här kan vi lösa genom att göra om den till en andragradsekvation med variabelsubstitutionen x^2=t. Men innan vi gör det måste vi skriva om x^4-termen.
Nu har vi gjort variabelsubstitutionen och fått en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln.
Då har vi kommit fram till att t kan vara antingen 1 eller 7. Men uppgiften var att bestämma de x som löser ursprungsekvationen. Det gör vi genom att sätta in dessa värden på t i uttrycket x^2=t. På så sätt får vi två nya ekvationer.
Ekvationen x^2=1
Då byter vi tillbaka så att t=1 för x^2=t.
Två av ursprungsekvationens lösningar är x=- 1 och x=1.
Ekvationen x^2=7
Även här byter vi tillbaka så att t=7 för x^2=t.
Två ytterligare lösningar till ursprungsekvationen är alltså x=- sqrt(7) och x=sqrt(7). Sammantaget har fjärdegradsekvationen de fyra lösningarna x=- 1, x=1, x=- sqrt(7) och x = sqrt(7).
Även här kan vi göra substitutionen x^2=t och därefter lösa ekvationen som en andragradsekvation.
Vi löser ekvationen med pq-formeln.
Nu gör vi samma sak som i första uppgiften och sätter in de två lösningarna i ekvationen x^2=t och löser ut x.
Ekvationen x^2=- 2
Då byter vi tillbaka så att t=- 2 för x^2=t.
Om vi drar kvadratroten ur -2 får vi de imaginära rötterna x=± sqrt(2)i, men man brukar inte ange dessa om det inte frågas efter dem specifikt. Vi säger därför att denna ekvation saknar reella rötter.
Ekvationen x^2=4
Vi byter tillbaka så att t=4 för x^2=t.
Ursprungsekvationen har de två lösningarna x=- 2 och x=2.
security
report
code
Lös ekvationen algebraiskt.
2x3−x2=5x+0,5x2
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1,25","0","2"]}}
x4−12x3−14x2=x2−2x4
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1","0","5"]}}
4x5−10x3=2x3−8x4
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":true,"variable":"x"},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-3","0","1"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska lösa ekvationen algebraiskt och börjar med att samla alla termer i ett led.
Vi faktoriserar nu vänsterledet genom att bryta ut x, för att sedan kunna lösa ekvationen med nollproduktmetoden.
Vi får ut en lösning direkt, x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln. Först måste vi dock skriva den på pq-form.
Ekvationen har alltså lösningarna x=-1,25, x=0 och x=2.
Vi löser denna ekvation på liknande sätt som i föregående uppgift och börjar med att samla alla termer i ett led.
Vi kan se att alla termer i vänsterledet innehåller faktorn 3x^2 så vi bryter ut den och använder nollproduktmetoden.
En lösning till ekvationen är alltså x=0 (dubbelrot). Lösningarna till ekvation II bestämmer vi med hjälp av pq-formeln.
Ekvationen har alltså lösningarna x=-1, x=0 och x=5.
Även nu börjar vi med att samla alla termer i ett led och bryta ut största gemensamma faktor.
Nu använder vi nollproduktmetoden.
En lösning är alltså x=0 (trippelrot). Övriga lösningar bestämmer vi genom att lösa andragradsekvationen med pq-formeln.
Ekvationen har lösningarna x=-3, x=0 och x=1.
security
report
code
En kofferts bredd är 10 cm längre än höjden och djupet är 20 cm kortare än bredden. Vad är måtten, dvs. hur långa är höjd, bredd och djup, om kofferten rymmer 990 liter? Lös uppgiften grafiskt och svara i dm.
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["H\u00f6jd","Bredd","Djup"],"point":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["10"]},{"type":1,"text":["11"]},{"type":2,"text":["9"]}]}}
security
report
code
security
report
code
990 liter är lika med 990 dm^3. Vi behöver alltså uttrycka koffertens dimensioner i dm, dvs. 10 cm=1 dm och 20 cm=2 dm. Vi kan nu skapa uttryck för bredd, höjd och djup. Låt oss utgå från höjden och kalla den för xdm. Vi vet att bredden är 1dm längre än höjden, dvs (x+1) dm. Vi vet även att djupet är 2dm kortare än bredden vilket ger oss följande uttryck för djupet: (x+1-2) dm= (x-1) dm.
Nu har vi uttryck för bredd, höjd och djup. Genom att multiplicera dessa får vi ett tredjegradspolynom som beskriver volymen som alltså ska vara lika med 990 dm^3: x(x+1)(x-1)=990. Vi söker alltså det eller de x-värden som gör att vänster- och högerled blir lika stora. Genom att rita y=x(x+1)(x-1) och y=990 på räknaren kan vi använda grafräknarens verktyg för att hitta skärningspunkten mellan graferna. Detta är alltså samma sak som att hitta lösningen till ekvationen.
Nu ser vi att x=10 vilket betyder att höjden är 10, bredden är 10+1=11dm och djupet är 10-1=9dm.
security
report
code
Bestäm värdet på a så att ekvationen x3+10x2+ax=0 har två lösningar.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.43056em;vertical-align:0em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">a<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["25"]}}
security
report
code
security
report
code
Faktorn x finns i samtliga termer vilket betyder att vi kan bryta ut den. Sedan kan vi använda nollproduktmetoden.
Den ena roten är alltså x=0 oavsett vad a är. För att ursprungsekvationen endast ska ha två lösningar måste x^2+10x+a=0 ha exakt en lösning. Vi använder pq-formeln för att ta fram uttryck för dess rötter.
Det finns ett sätt för denna ekvation att ha en lösning och det är om termen sqrt(25-a) är 0. Då måste det som står under rottecknet vara 0.
För att ekvationen ska ha två lösningar måste alltså a vara lika med 25.
security
report
code
Polynomekvationer av högre grad
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll