Polynomekvationer av högre grad

Vi har ingen allmän metod för att lösa fjärdegradsekvationer, men den här kan vi lösa genom att göra om den till en andragradsekvation med variabelsubstitutionen x^2=t. Men innan vi gör det måste vi skriva om x^4-termen.

Nu har vi gjort variabelsubstitutionen och fått en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln.

Då har vi kommit fram till att t kan vara antingen 1 eller 7. Men uppgiften var att bestämma de x som löser ursprungsekvationen. Det gör vi genom att sätta in dessa värden på t i uttrycket x^2=t. På så sätt får vi två nya ekvationer.

Ekvationen x^2=1

Då byter vi tillbaka så att t=1 för x^2=t.

Två av ursprungsekvationens lösningar är x=- 1 och x=1.

Ekvationen x^2=7

Även här byter vi tillbaka så att t=7 för x^2=t.

Två ytterligare lösningar till ursprungsekvationen är alltså x=- sqrt(7) och x=sqrt(7). Sammantaget har fjärdegradsekvationen de fyra lösningarna x=- 1, x=1, x=- sqrt(7) och x = sqrt(7).

Även här kan vi göra substitutionen x^2=t och därefter lösa ekvationen som en andragradsekvation.

Vi löser ekvationen med pq-formeln.

Nu gör vi samma sak som i första uppgiften och sätter in de två lösningarna i ekvationen x^2=t och löser ut x.

Ekvationen x^2=- 2

Då byter vi tillbaka så att t=- 2 för x^2=t.

Om vi drar kvadratroten ur -2 får vi de imaginära rötterna x=± sqrt(2)i, men man brukar inte ange dessa om det inte frågas efter dem specifikt. Vi säger därför att denna ekvation saknar reella rötter.

Ekvationen x^2=4

Vi byter tillbaka så att t=4 för x^2=t.

Ursprungsekvationen har de två lösningarna x=- 2 och x=2.

Vi ska lösa ekvationen algebraiskt och börjar med att samla alla termer i ett led.

Vi faktoriserar nu vänsterledet genom att bryta ut x, för att sedan kunna lösa ekvationen med nollproduktmetoden.

Vi får ut en lösning direkt, x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pq-formeln. Först måste vi dock skriva den på pq-form.

Ekvationen har alltså lösningarna x=-1,25, x=0 och x=2.

Vi löser denna ekvation på liknande sätt som i föregående uppgift och börjar med att samla alla termer i ett led.

Vi kan se att alla termer i vänsterledet innehåller faktorn 3x^2 så vi bryter ut den och använder nollproduktmetoden.

En lösning till ekvationen är alltså x=0 (dubbelrot). Lösningarna till ekvation II bestämmer vi med hjälp av pq-formeln.

Ekvationen har alltså lösningarna x=-1, x=0 och x=5.

Även nu börjar vi med att samla alla termer i ett led och bryta ut största gemensamma faktor.

Nu använder vi nollproduktmetoden.

En lösning är alltså x=0 (trippelrot). Övriga lösningar bestämmer vi genom att lösa andragradsekvationen med pq-formeln.

Ekvationen har lösningarna x=-3, x=0 och x=1.

990 liter är lika med 990 dm^3. Vi behöver alltså uttrycka koffertens dimensioner i dm, dvs. 10 cm=1 dm och 20 cm=2 dm. Vi kan nu skapa uttryck för bredd, höjd och djup. Låt oss utgå från höjden och kalla den för xdm. Vi vet att bredden är 1dm längre än höjden, dvs (x+1) dm. Vi vet även att djupet är 2dm kortare än bredden vilket ger oss följande uttryck för djupet: (x+1-2) dm= (x-1) dm.

Nu har vi uttryck för bredd, höjd och djup. Genom att multiplicera dessa får vi ett tredjegradspolynom som beskriver volymen som alltså ska vara lika med 990 dm^3: x(x+1)(x-1)=990. Vi söker alltså det eller de x-värden som gör att vänster- och högerled blir lika stora. Genom att rita y=x(x+1)(x-1) och y=990 på räknaren kan vi använda grafräknarens verktyg för att hitta skärningspunkten mellan graferna. Detta är alltså samma sak som att hitta lösningen till ekvationen.

Nu ser vi att x=10 vilket betyder att höjden är 10, bredden är 10+1=11dm och djupet är 10-1=9dm.

Faktorn x finns i samtliga termer vilket betyder att vi kan bryta ut den. Sedan kan vi använda nollproduktmetoden.

Den ena roten är alltså x=0 oavsett vad a är. För att ursprungsekvationen endast ska ha två lösningar måste x^2+10x+a=0 ha exakt en lösning. Vi använder pq-formeln för att ta fram uttryck för dess rötter.

Det finns ett sätt för denna ekvation att ha en lösning och det är om termen sqrt(25-a) är 0. Då måste det som står under rottecknet vara 0.

För att ekvationen ska ha två lösningar måste alltså a vara lika med 25.