Polynomekvationer av högre grad

Vi har en produkt som är lika med 0. Det betyder att någon av faktorerna måste vara 0 och att vi kan använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen.

Vi använder nollproduktmetoden igen.

Inget nytt. Vi gör på samma sätt.

Vi har en produkt som är lika med 0. Det betyder att vi kan använda nollproduktmetoden.

Vi gör på samma sätt och använder nollproduktmetoden.

Vi fortsätter på samma sätt.

Att lösa ekvationen f(x)=2 innebär att vi ska bestämma de x-värden som ger funktionsvärdet 2. Om vi ritar linjen y=2 kan vi se vid vilka x-värden det gäller.

Genom att läsa av skärningspunkten mellan den blå andragradskurvan och den vågräta svarta linjen ser vi att f(x)=2 vid x=- 6 och x=0.

Att lösa ekvationen f(x)=g(x) betyder att vi ska bestämma de x-värden som gör att funktionsvärdet för f(x) och g(x) är lika stora. De kommer vara det när graferna skär varandra, och i figuren ser vi att det sker vid x=- 6 och x=2.

Detta är en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln.

Ekvationens lösningar är alltså x=-3-sqrt(21) och x=-3+sqrt(21).

Detta är också en andragradsekvation så vi kan använda pq-formeln, men först måste vi dividera båda led med 3.

Vi får alltså lösningarna x=4±sqrt(28). Om man vill kan man också skriva dem som x=4±2sqrt(7) eftersom sqrt(28) är lika med 2sqrt(7). Vi visar hur man gör den omskrivningen.

Återigen har vi en andragradsekvation så vi använder pq-formeln igen.

Eftersom polynomekvationen består av faktorer som multiplicerat med varandra är lika med 0 passar det bra att använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen.

En av lösningarna är x=5. Andragradsekvationen löser vi med pq-formeln.

Sammanfattningsvis får vi alltså följande tre lösningar på ekvationen (x-5)(x^2-x-6)=0: x_1=-2, x_2=3 och x_3=5.

Eftersom polynomekvationen består av faktorer som multiplicerat med varandra är lika med 0 passar det bra att använda nollproduktmetoden.

En av lösningarna är x=2. Andragradsekvationen löser vi med pq-formeln.

Ekvationen har alltså de tre lösningarna x=-1, x=2 och x=5.

Det är tredjegradsekvationen x^3 - 9x = 0 som ska lösas, men eftersom det finns minst ett x i varje term kan vi göra den enklare genom att bryta ut x. Det ger ekvationen x * (x^2 - 9) = 0. Vi kan nu använda nollproduktmetoden för att dela upp den i två enklare ekvationer, x = 0 och x^2 - 9 = 0. I den första står x redan ensamt, så vi vet att x = 0 är en lösning. Vi löser nu den andra.

De tre lösningarna är alltså x = 0, x = - 3 och x = 3.

Vi gör på samma sätt med ekvationen 2x^3 - 50x = 0, dvs. bryter ut x. Det ger x(2x^2 - 50) = 0. Nollproduktmetoden ger sedan de två ekvationerna x = 0 och 2x^2 - 50 = 0. Vi får först att x = 0 är en lösning och löser sedan den andra ekvationen.

Vi har hittat de tre lösningarna x = 0, x = - 5 och x = 5.

Ekvationen 18x - x^32 = 0 löses på samma sätt. Bryter man ut x får man x ( 18 - x^2/2 ) = 0, och med nollprodukmetoden får man ekvationerna x = 0 och 18 - x^2/2 = 0. Vi får igen att x = 0 är en lösning och löser sedan ut två till från den andra ekvationen.

De tre lösningarna är alltså x = 0, x = - 6 och x = 6.

Vi kan dela upp tredjegradsekvationen x^3 - 100x = 0 i en förstagradsekvation och en andragradsekvation genom att bryta ut x, och på så sätt göra ekvationen något enklare. Det ger x( x^2 - 100 ) = 0. Med hjälp av nollproduktmetoden kan vi nu dela upp denna ekvation i de två enklare ekvationerna x = 0 och x^2 - 100 = 0. Den första ger lösningen x = 0, och från den andra ekvationen får vi ytterligare två.

De tre lösningarna till ekvationen är alltså x = 0, x = - 10 och x = 10.

I det här fallet är det en god idé att förenkla vänsterledet genom att lägga ihop de två x^3-termerna innan man gör faktoriseringen, men efter det löser vi uppgiften på samma sätt som tidigare.

Vi använder nu nollproduktmetoden och delar upp ekvationen i x = 0 och 2x^2 - 162 = 0. Som tidigare får vi en lösning x = 0 och två till från den andra ekvationen.

Vi har hittat de tre lösningarna x = 0, x = - 9 och x = 9.

Den här gången har vi en fjärdegradsekvation, men precis som tidigare går det att bryta ut ett x. Då får vi x(x^3 - 8) = 0, och nollproduktmetoden ger de två ekvationerna x = 0 och x^3 - 8 = 0. Den första ger som tidigare lösningen x = 0. Den andra är visserligen en tredjegradsekvation, men en som går att lösa direkt.

I det här fallet fick vi alltså bara två lösningar, x = 0 och x = 2, trots att en fjärdegradsekvation kan ha upp till fyra olika lösningar.

Vi ska lösa ekvationen 0,6x^3+2x^2-0,7x+3=0. Detta kan tolkas som att vi ska bestämma nollställena till funktionen p(x)=0,6x^3+2x^2-0,7x+3 För att göra det använder vi räknarens verktyg för att hitta nollställen. Vi börjar med att trycka på Y= för att skriva in funktionsuttrycket och därefter ritar vi grafen med GRAPH. Man kan behöva ställa in koordinatsystemet.

Vi går sedan in i CALC-menyn (2nd + TRACE) och väljer zero. Den utritade grafen visas nu igen med en markör som man kan flytta med vänster- och högerknapparna.

Vi anger den vänstra och högra gränsen (left och right bound) för området där räknaren ska leta efter ett nollställe samt gör en gissning. Räknaren visar då koordinaterna för nollstället.

Nollstället är alltså ungefär x=-3,95 vilket även är lösningen till ekvationen 0,6x^3+2x^2-0,7x+3=0.

Ekvationen står på faktorform och kan därför lösas med nollproduktmetoden.

Ekvationen har alltså 3 reella lösningar.