Metod

Lösa polynomekvationer algebraiskt

Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad

3

eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.

Metod

Nollproduktmetoden

För att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationen

x^{3} + 8 x^{2} = 20 x

på detta sätt.

Flytta över alla termer till vänsterledet

Nollproduktmetoden kräver att ekvationens ena led är lika med

0,

så man subtraherar

20 x

från båda led:

x^{3} + 8 x^{2} - 20 x = 0 .

Dela upp vänsterledet i faktorer

Använd en lämplig metod för att faktorisera vänsterledet. Här kan man bryta ut

x .

x^{3} + 8 x^{2} - 20 x = 0

FactorOut

Bryt ut $x$

x (x^{2} + 8 x - 20) = 0

Använd nollproduktmetoden

Nu kan man använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i flera delekvationer av lägre grad.

x (x^{2} + 8 x - 20) = 0

ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

{x = 0 x^{2} + 8 x - 20 = 0

Lös ekvationerna

I det här fallet får man ut en lösning direkt, $x = 0,$ samt en andragradsekvation som kan lösas med $p q$ -formeln.

x^{2} + 8 x - 20 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 8, q = - 20$

x = - \frac{8}{2} \pm (\frac{8}{2})^{2} - (- 20)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 4 \pm 4^{2} - (- 20)

CalcPow

Beräkna potens

x = - 4 \pm 16 - (- 20)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - 4 \pm 36

CalcRoot

Beräkna rot

x = - 4 \pm 6

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 10 x_{2} = 2

Ekvationen har alltså lösningarna $x = 0,$ $x = - 10$ och $x = 2 .$

Metod

Variabelsubstitution

Den här metoden är lämplig för fjärdegradsekvationer på formen

a x^{4} + b x^{2} + c = 0,

alltså de som saknar tredje- och förstagradstermer. Idén är att med hjälp av variabelsubstitution skriva om fjärdegradsekvationen till en andragradsekvation för att sedan lösa den med

p q

-formeln. Ekvationen

2 x^{4} - 36 x^{2} + 160 = 0

kan exempelvis lösas med denna metod.

Skriv på formen

x^{4} + p x^{2} + q = 0

Man börjar med att skriva ekvationen på något som liknar

p q

-form, dvs. så att koefficienten framför

x^{4}

är

1

och högerledet är lika med

0 .

I detta fall divideras ekvationen med

2,

vilket ger

x^{4} - 18 x^{2} + 80 = 0 .

Substituera

x^{2}

med

t

Låt $x^{2} = t .$ Mittentermen blir då $- 18 t$ och genom att skriva om $x^{4}$ -termen som $(x^{2})^{2}$ ser man också att $x^{4} = t^{2} .$

x^{4} - 18 x^{2} + 80 = 0

ProdInExponent

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

(x^{2})^{2} - 18 x^{2} + 80 = 0

Substitute

$x^{2} = t$

t^{2} - 18 t + 80 = 0

Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.

Lös andragradsekvationen

För att lösa denna andragradsekvation kan man använda $p q$ -formeln.

t^{2} - 18 t + 80 = 0

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 18, q = 80$

t = - \frac{- 1 8}{2} \pm (\frac{- 1 8}{2})^{2} - 80

CalcQuot

Beräkna kvot

t = - (- 9) \pm (- 9)^{2} - 80

NegNeg

$- (- a) = a$

t = 9 \pm (- 9)^{2} - 80

CalcPow

Beräkna potens

t = 9 \pm 81 - 80

SubTerm

Förenkla termer

t = 9 \pm 1

CalcRoot

Beräkna rot

t = 9 \pm 1

StateSol

Ange lösningar

t_{1} = 8 t_{2} = 10

Byt tillbaka till

x^{2}

Nu måste man byta tillbaka variabeln eftersom det är värden på

x,

inte

t,

som löser ursprungsekvationen. I början gjordes variabelbytet

x^{2} = t,

och för lösningarna

t = 8

och

t = 10

ger det att

x^{2} = 8 och x^{2} = 10 .

Lös ekvationerna och ange rötterna till ursprungsekvationen

Slutligen måste dessa andragradsekvationer lösas, en i taget.

x^{2} = 8

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 8

Två av lösningarna är alltså $x = 8$ och $x = - 8 .$

x^{2} = 10

SqrtEqn

$VL = HL$

x = \pm 10

De fyra lösningarna till ursprungsekvationen är alltså $x = \pm 8$ och $x = \pm 10 .$

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Metod

Lösa polynomekvationer algebraiskt

Metod

Nollproduktmetoden

Metod

Variabelsubstitution

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

Se även