Polynom

Ekvationens vänsterled innehåller en differens mellan två kvadrater och ett sådant uttryck kan faktoriseras med konjugatregeln.

Summan x+y är alltså en faktor i ekvationens vänsterled. Om vi multiplicerar x+y med x-y ska produkten bli 11. Eftersom 11 är ett primtal kan vi endast få denna produkt genom att multiplicera heltalen 1 och 11: 11 * 1 = 11 eller 1 * 11 = 11.

Vi vet från uppgiften att både x och y är positiva heltal så x+y måste vara större än x-y. Detta betyder att x+y=11.

Om man multiplicerar ett polynom med ett annat kommer graden för produkten vara summan av gradtalen. Polynomet ax^n+bx^(n-3) har gradtalet n. Om vi låter gradtalet för det man multiplicerar med vara k måste alltså n+k=5 gälla, eftersom vi vill att graden ska bli 5. Genom att subtrahera båda sidor med n får vi k=5-n. Man ska alltså mutliplicera polynomet med ett annat polynom med gradtalet 5-n. Det enklaste fallet är x^(5-n). Vi utför multiplikationen.

Man måste alltså multiplicera med ett polynom av grad 5-n, t.ex. x^(5-n).

För att enklare kunna undersöka a och n skriver vi först om uttrycket som en produkt av två potenser med hjälp av potenslagarna.

Vi fortsätter skriva om a, som är upphöjd till 12. Kom ihåg att det betyder samma sak som kvadratroten ur a.

Nu kan vi bestämma vilka värden som är möjliga för a och och n.

Värdet på a

Koefficienten till ett polynom måste vara ett reellt tal, vilket vi får om a är positivt. Om a är 0 får vi nollpolynomet, vilket också är okej. Men eftersom kvadratroten ur ett negativt tal är icke-reellt kan a inte vara negativt. Vi får alltså villkoret a≥ 0.

Värdet på n

Exponenten i ett polynom måste vara ett positivt heltal så vi kan därför konstatera att n inte kan vara negativt. n kan dock vara 0, då får vi ett nolltegradspolynom vilket är detsamma som en konstant. Det ger oss n≥ 0.

Men n ska som sagt även vara ett heltal. För att kvoten n2 ska bli ett heltal måste n vara delbart med 2, vilket är detsamma som att det är ett jämnt. Vi får alltså villkoret: n≥ 0 där n är jämnt.

Enligt definitionen för polynom är q ett positivt heltal eller 0. På samma sätt vill vi visa att graden på det nya polynomet, n, kan vara vilket heltal som helst från 0 och uppåt. Det vi vill visa är alltså att de möjliga värdena på n ligger i intervallet n ≥ 0, där n är ett heltal. För att visa detta delar vi upp lösningen i tre fall: då graden q är mindre än, större än och lika med 4, och undersöker om dessa täcker in alla dessa värden på n.

Fall 1: q<4

Enligt räknelagarna för polynom kommer graden att bli som mest det högsta gradtalet för P(x) eller Q(x). Om gradtalet q är mindre än gradtalet för P(x) kommer graden för P(x) vara högst och därmed avgörande. Det nya polynomet skulle därför ha grad 4. Alltså är det möjligt att n=4, dvs. att det nya polynomets grad är precis 4.

Fall 2: q>4

Här är gradtalet för Q(x) större än det för P(x). Då kommer graden för Q(x) avgöra det nya polynomets grad. Det finns ingen övre gräns för hur stora exponenterna i ett polynom kan bli. Alltså kan polynomet anta alla gradtal större än 4, dvs. n ≥ 5, där n är ett heltal.

Fall 3: q=4

Här kan två situationer uppkomma.

• Fjärdegradstermerna tar inte ut varandra: Om fjärdegradstermnerna inte "tar ut" varandra vid additionen kommer det nya polynomets gradtal vara lika med gradtalet hos polynomen själva, dvs. n=4.
• Fjärdegradstermerna tar ut varandra: Om fjärdegradstermerna tar ut varandra vid additionen kommer graden för det nya polynomet bestämmas av den kvarvarande variabeltermen med högst exponent. Om högsta exponenten som blir kvar efter additionen är 3 blir graden 3, är den 2 blir graden 2, är den 1 blir det ett förstagradspolynom och är graden 0 får vi bara en konstant kvar. Det vill säga, graden hamnar i intervallet

0 ≤ n ≤ 3, där n är ett heltal.

Sammanfattning

Det nya polynomets grad kan är alltså ett heltal som uppfyller något av följande: 0 ≤ n ≤ 3, n=4, n ≥ 5. Detta är alla heltal större än eller lika med 0, dvs. n≥ 0.

Vi ska skriva ett godtyckligt femtegradspolynom på allmän form, dvs. på formen a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0. Indexet och exponenten n representerar polynomets högsta grad, så n=5 i detta fall. Ett femtegradspolynom kommer alltså se ut på följande sätt när det skrivs på allmän form: a_5 x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0.

Vi börjar med att ställa upp uttryck för ett 99-gradspolynom och ett 98-gradspolynom. Vi låter det ena ha koefficienter på formen a_(99), a_(98) osv. och det andra på formen b_(98), b_(97) osv. 99-gradspolynomet kan då skrivas a_(99) x^(99) + a_(98)x^(98) +... + a_1 x + a_0 och 98-gradspolynomet b_(98) x^(98) + b_(97)x^(97) +... + b_1 x + b_0. Nu ska vi bestämma differensen mellan dem.

Vi kan bryta ut variabeltermen på alla ställen utom för x^(99), precis som vi gjorde ovan med x^(98). Här visar vi dock bara utbrytningen för de termer som är utskrivna, det är underförstått att samma sak sker överallt.

Differensen mellan polynomen kan alltså skrivas som a_(99)x^(99) + (a_(98)-b_(98))x^(98) + ... + (a_1-b_1) x + a_0-b_0.