Polynom

Om man multiplicerar ett polynom med ett annat kommer graden för produkten vara summan av gradtalen. Polynomet ax^n+bx^(n-3) har gradtalet n. Om vi låter gradtalet för det man multiplicerar med vara k måste alltså n+k=5 gälla, eftersom vi vill att graden ska bli 5. Genom att subtrahera båda sidor med n får vi k=5-n. Man ska alltså mutliplicera polynomet med ett annat polynom med gradtalet 5-n. Det enklaste fallet är x^(5-n). Vi utför multiplikationen.

Man måste alltså multiplicera med ett polynom av grad 5-n, t.ex. x^(5-n).

För att enklare kunna undersöka a och n skriver vi först om uttrycket som en produkt av två potenser med hjälp av potenslagarna.

Vi fortsätter skriva om a, som är upphöjd till 1/2. Kom ihåg att det betyder samma sak som kvadratroten ur a.

Nu kan vi bestämma vilka värden som är möjliga för a och n.

Värdet på a

Koefficienten till ett polynom måste vara ett reellt tal, vilket vi får om a är positivt. Om a är 0 får vi nollpolynomet, vilket också är okej. Men eftersom kvadratroten ur ett negativt tal är icke-reellt kan a inte vara negativt. Vi får alltså villkoret

a≥ 0.

Värdet på n

Exponenten i ett polynom måste vara ett positivt heltal så vi kan därför konstatera att n inte kan vara negativt. n kan dock vara 0, då får vi ett nolltegradspolynom vilket är detsamma som en konstant. Det ger oss n≥ 0. Men n ska som sagt även vara ett heltal. För att kvoten n/2 ska bli ett heltal måste n vara delbart med 2, vilket är detsamma som att det är ett jämnt. Vi får alltså villkoret:

n≥ 0 där n är jämnt.

Enligt definitionen för polynom är q ett positivt heltal eller 0. På samma sätt vill vi visa att graden på det nya polynomet, n, kan vara vilket heltal som helst från 0 och uppåt. Det vi vill visa är alltså att de möjliga värdena på n ligger i intervallet n ≥ 0, där n är ett heltal. För att visa detta delar vi upp lösningen i tre fall: då graden q är mindre än, större än och lika med 4, och undersöker om dessa täcker in alla dessa värden på n.

Fall 1: q < 4

Enligt räknelagarna för polynom kommer graden att bli som mest det högsta gradtalet för P(x) eller Q(x). Om gradtalet q är mindre än gradtalet för P(x) kommer graden för P(x) vara högst och därmed avgörande. Det nya polynomet skulle därför ha grad 4. Alltså är det möjligt att n=4, dvs. att det nya polynomets grad är precis 4.

Fall 2: q > 4

Här är gradtalet för Q(x) större än det för P(x). Då kommer graden för Q(x) avgöra det nya polynomets grad. Det finns ingen övre gräns för hur stora exponenterna i ett polynom kan bli. Alltså kan polynomet anta alla gradtal större än 4, dvs. n ≥ 5, där n är ett heltal.

Fall 3: q=4

Här kan två situationer uppkomma.

• Fjärdegradstermerna tar inte ut varandra: Om fjärdegradstermnerna inte tar ut varandra vid additionen kommer det nya polynomets gradtal vara lika med gradtalet hos polynomen själva, dvs. n=4.
• Fjärdegradstermerna tar ut varandra: Om fjärdegradstermerna tar ut varandra vid additionen kommer graden för det nya polynomet bestämmas av den kvarvarande variabeltermen med högst exponent. Om högsta exponenten som blir kvar efter additionen är 3 blir graden 3, är den 2 blir graden 2, är den 1 blir det ett förstagradspolynom och är graden 0 får vi bara en konstant kvar. Det vill säga, graden hamnar i intervallet

0 ≤ n ≤ 3, där n är ett heltal.

Sammanfattning

Det nya polynomets grad kan är alltså ett heltal som uppfyller något av följande: 0 ≤ n ≤ 3, n=4, n ≥ 5. Detta är alla heltal större än eller lika med 0, dvs. n≥ 0.

Vi ska skriva ett godtyckligt femtegradspolynom på allmän form, dvs. på formen a_n x^n + a_(n-1)x^(n-1) + ... + a_2 x^2 + a_1 x + a_0. Indexet och exponenten n representerar polynomets högsta grad, så n=5 i detta fall. Ett femtegradspolynom kommer alltså se ut på följande sätt när det skrivs på allmän form: a_5 x^5 + a_4x^4 + a_3x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0.

Vi börjar med att ställa upp uttryck för ett 99-gradspolynom och ett 98-gradspolynom. Vi låter det ena ha koefficienter på formen a_(99), a_(98) osv. och det andra på formen b_(98), b_(97) osv. 99-gradspolynomet kan då skrivas a_(99) x^(99) + a_(98)x^(98) +... + a_1 x + a_0 och 98-gradspolynomet b_(98) x^(98) + b_(97)x^(97) +... + b_1 x + b_0. Nu ska vi bestämma differensen mellan dem.

Vi kan bryta ut variabeltermen på alla ställen utom för x^(99), precis som vi gjorde ovan med x^(98). Här visar vi dock bara utbrytningen för de termer som är utskrivna, det är underförstått att samma sak sker överallt.

Differensen mellan polynomen kan alltså skrivas som a_(99)x^(99) + (a_(98)-b_(98))x^(98) + ... + (a_1-b_1) x + a_0-b_0.