Utforska Polynom: Grad, Faktorisering, och Algebraiska Regler

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

Polynom
Räknelagar för polynom
Multiplicera och faktorisera polynom

Förkunskaper

Koncept

Polynom

Polynom är algebraiska uttryck som är summor av en viss sorts variabel- och konstanttermer. Ett exempel på ett polynom är

4 x^{5} + x^{3} - 9 x - 84 .

Detta polynom är skrivet på allmän form, alltså som en summa på så förenklad form som möjligt. För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste

variablernas exponenter vara heltal större än eller lika med $0$ och
koefficienterna vara reella.

En annan viktig egenskap är att uttrycket är definierat för alla reella $x .$ Den största exponenten på en variabel anger polynomets grad, så exemplet ovan är ett femtegradspolynom eftersom den största exponenten är $5 .$

Ordet polynom kommer från grekiskans poly, som betyder många, och latinets nomen, som betyder namn.

Exempel

Vilka uttryck är polynom?

Vilka av följande algebraiska uttryck är polynom och vilken grad har dessa?

A . B . C . x^{4, 5} + x^{3} x^{5} + 2 x^{2} - x \frac{1}{x ^{3}} + 5 D . E . F . \frac{2 x ^{4}}{x} \frac{x ^{8} + 5 x + 1}{2} 6 x - 3^{10}

Svar

Alternativ	Polynom?	Grad
A	$\times$	-
B	$\times$	-
C	$\times$	-
D	$\times$	-
E	$✓$	$8$
F	$✓$	$1$

Ledtråd

För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste alla exponenter på variablerna vara positiva heltal, alla koefficienter vara reella och uttrycket måste vara definierat för alla $x .$

Lösning

För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste alla exponenter på variablerna vara positiva heltal, alla koefficienter vara reella och uttrycket måste vara definierat för alla $x .$

Uttryck A-C

A-C är inte polynom, eftersom de har variabler vars exponenter inte är positiva heltal. A har termen

x^{4, 5}

och B har termen

x

som enligt potenslagarna kan skrivas om till en potens med exponenten

1 / 2 :

x^{5} + 2 x^{2} - x = x^{5} + 2 x^{2} - x^{1 / 2} .

Enligt potenslagarna kan den första termen i uttryck C skrivas om som

\frac{1}{x ^{3}} = x^{- 3}

och har alltså den negativa exponenten

- 3 .

Uttryck D

D är inte heller ett polynom. Det går visserligen att förenkla till $2 x^{3},$ vilket är ett polynom, men då har man inte tagit hänsyn till att $x \neq = 0 .$ Om $x = 0$ får man nämligen nolldivision vilket innebär att uttrycket blir odefinierat. Uttrycket är då inte definierat för alla $x$ och är därför inte ett polynom.

Uttryck E-F

E-F är båda polynom eftersom alla variabler har positiva heltalsexponenter. Nämnaren i E är bara en konstant, vilket gör att det är definierat för alla

x .

Om man vill kan man skriva om E på allmän form:

\frac{x ^{8} + 5 x + 1}{2} = 0, 5 x^{8} + 2, 5 x + 0, 5 .

F är ett polynom eftersom variabeln har en heltalsexponent: tänk på att

x = x^{1} .

Gradtalet bestäms av variabeltermen med högst exponent, vilket är

x^{8}

i E och

x^{1}

i F. Termen

3^{10}

är en konstant och påverkar därför inte gradtalet. Det ger oss följande.

Alternativ	Polynom?	Grad
A	$\times$	-
B	$\times$	-
C	$\times$	-
D	$\times$	-
E	$✓$	$8$
F	$✓$	$1$

Regel

Räknelagar för polynom

När två polynom

p (x)

och

q (x)

adderas, subtraheras eller multipliceras blir resultatet ett nytt polynom

h (x)

med ett gradtal som beror på ursprungspolynomen.

Regel

Addition och subtraktion: Graden för

h (x)

blir som mest högsta gradtalet för

p (x)

eller

q (x)

Om man adderar eller subtraherar polynom kan inga nya termer av högre grad skapas eftersom termer av samma grad slås ihop. Däremot är det möjligt att termer tar ut varandra så att graden sänks, t.ex. om polynomen

p (x) q (x) = 2 x^{2} + x + 3 = - 2 x^{2} + 4 x - 10,

som båda är av grad

2,

summeras.

p (x) + q (x)

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

2 x^{2} + x + 3 - 2 x^{2} + 4 x - 10

RearrangeTerms

Omarrangera termer

2 x^{2} - 2 x^{2} + x + 4 x + 3 - 10

SimpTerms

Förenkla termer

5 x - 7

Det nya polynomet

h (x)

får graden

1 .

x^{2} -

termerna inte tagit ut varandra hade graden blivit

2 .

Regel

Multiplikation: Graden för

h (x)

är summan av gradtalen för

p (x)

och

q (x)

Vid multiplikation av polynom multipliceras varje term i det första polynomet med alla termer i det andra. Det innebär att även potenserna med högst exponent i båda polynomen kommer att multipliceras, och enligt potenslagen

a^{x} \cdot a^{y} = a^{x + y}

kommer det nya gradtalet att bli summan av deras exponenter. Man kan visa detta genom att multiplicera första- och andragradspolynomen

p (x) = x + 4

och

q (x) = x^{2} + 2 .

p (x) \cdot q (x)

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

(x + 4) (x^{2} + 2)

ExpandPar

Multiplicera parenteser

x \cdot x^{2} + x \cdot 2 + 4 \cdot x^{2} + 4 \cdot 2

Multiply

Multiplicera faktorer

x \cdot x^{2} + 2 x + 4 x^{2} + 8

MultPow

$a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}$

x^{1 + 2} + 2 x + 4 x^{2} + 8

AddTerms

Addera termer

x^{3} + 2 x + 4 x^{2} + 8

RearrangeTerms

Omarrangera termer

x^{3} + 4 x^{2} + 2 x + 8

Man får ett tredjegradspolynom som resultat, vilket stämmer med regeln eftersom

1 + 2 = 3 .

Regel

Multiplicera och faktorisera polynom

Om två eller flera polynom multipliceras med varandra kan man använda parentesmultiplikation för att skriva om det till allmän form. Om man exempelvis multiplicerar polynomen

x^{3} + 4

och

2 x^{2} - 1

får man

(x^{3} + 4) (2 x^{2} - 1) = 2 x^{5} - x^{3} + 8 x^{2} - 4 .

Graden på resultatet bestäms av räknelagarna för polynom. Att faktorisera polynom till faktorform är lite mer omständligt. För detta finns flera olika metoder.

Regel

Bryta ut

Ett sätt att faktorisera är att identifiera en faktor som finns gemensam i alla termer och bryta ut denna, t.ex. termen

2 x

i följande uttryck

2 x^{3} + 6 x^{2} - 4 x = 2 x (x^{2} + 3 x - 2) .

Detta kan bl.a. användas i samband med nollproduktmetoden.

Regel

Faktorisera med konjugat- och kvadreringsregelerna

Genom att använda konjugatregeln baklänges går det ibland att skriva om ett andragradspolynom som en produkt av två förstagradspolynom.

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

På motsvarande sätt kan man använda första och andra kvadreringsregeln baklänges för att faktorisera vissa andragradspolynom.

$a^{2} + 2 a b + b^{2} = (a + b)^{2}$
$a^{2} - 2 a b + b^{2} = (a - b)^{2}$

Koncept

Faktorform - polynom

Polynom måste inte vara skrivna på allmän form, dvs. som en summa, utan kan också skrivas på faktorform. Då representeras polynomet av en multiplikation av två eller flera polynom av lägre grad. Exempelvis kan ett andragradspolynom skrivas på faktorform genom multiplikation av två förstagradspolynom,

allm \ddot{a} n form x^{2} + x - 6 = faktorform (x + 3) (x - 2),

eftersom man får tillbaka den allmänna formen om man multiplicerar ihop parenteserna. Om vi känner till nollställena kan vi använda dem för att faktorisera polynomet — en rot (eller ett nollställe) till ett polynom

p (x)

är ett tal

a

sådant att

p (a) = 0 .

För att hitta nollställena till andragradspolynomet

p (x) = x^{2} - 2 x - 8,

löser vi ekvationen

x^{2} - 2 x - 8 = 0 .

x^{2} - 2 x - 8 = 0 \Rightarrow {x_{1} = - 2 x_{2} = 4

Det innebär att vi kan skriva om polynomet som:

p (x) = x^{2} - 2 x - 8 = (x - (- 2)) (x - 4) = (x + 2) (x - 4) .

Exempel

Faktorisering av ett andragradspolynom

Factor each of the following polynomials.

p (x) = x^{2} - 3 x - 10

q (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9

Ledtråd

a Find the zeros of the quadratic equation

p (x) = 0 .

b First, factor out

3 .

Then, find the zeros of the expression inside the parentheses.

Lösning

a Knowing the zeros of a quadratic polynomial helps in factoring it. The zeros can be found by solving the equation

p (x) = 0 .

p (x) = 0 ⇓ x^{2} - 3 x - 10 = 0

The quadratic equation can be solved by using the

p q -

formula.

x^{2} - 3 x - 10 = 0

▼

Skriv på

p q

-form

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = - 3, q = - 10$

x = - \frac{- 3}{2} \pm (\frac{- 3}{2})^{2} - (- 10)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - \frac{- 3}{2} \pm (\frac{- 3}{2})^{2} + 10

PowQuot

$(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}$

x = - \frac{- 3}{2} \pm \frac{9}{4} + 10

Rewrite

Skriv $10$ som $\frac{4 0}{4}$

x = - \frac{- 3}{2} \pm \frac{9}{4} + \frac{4 0}{4}

AddFrac

Addera bråk

x = - \frac{- 3}{2} \pm \frac{4 9}{4}

SqrtQuot

$\frac{a}{b} = \frac{a}{b}$

x = - \frac{- 3}{2} \pm \frac{4 9}{4}

CalcRoot

Beräkna rot

x = - \frac{- 3}{2} \pm \frac{7}{2}

MoveNegNumToFrac

Skriv minustecken framför bråk

x = - (- \frac{3}{2}) \pm \frac{7}{2}

NegNeg

$- (- a) = a$

x = \frac{3}{2} \pm \frac{7}{2}

AddSubFrac

Lägg ihop bråk

x = \frac{3 \pm 7}{2}

▼

Ange lösningar

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = \frac{3 + 7}{2} x_{2} = \frac{3 - 7}{2} (I) (II)

$(I), (II):$ Addera och subtrahera termer

x_{1} = \frac{1 0}{2} x_{2} = \frac{- 4}{2}

$(I), (II):$ Beräkna kvot

x_{1} = 5 x_{2} = - 2

The zeros of the given polynomial are

x = 5

and

x = - 2 .

Then, the polynomial can be written in factored form as follows.

p (x) = x^{2} - 3 x - 10 = (x - 5) (x - (- 2)) ⇓ p (x) = (x - 5) (x + 2)

b The polynomial

q (x)

can be factored using a process similar to the one used in the previous part. But first, notice that

3

can be factored out from the whole expression.

q (x) = 3 x^{2} + 6 x - 9 ⇓ q (x) = 3 (x^{2} + 2 x - 3)

Next, find the zeros of the expression within the parentheses by equating it to zero.

x^{2} + 2 x - 3 = 0

▼

Skriv på

p q

-form

UsePQ

Använd $p q$ -formeln: $p = 2, q = - 3$

x = - \frac{2}{2} \pm (\frac{2}{2})^{2} - (- 3)

CalcQuot

Beräkna kvot

x = - 1 \pm 1^{2} - (- 3)

CalcPow

Beräkna potens

x = - 1 \pm 1 - (- 3)

SubNeg

$a - (- b) = a + b$

x = - 1 \pm 1 + 3

AddTerms

Addera termer

x = - 1 \pm 4

CalcRoot

Beräkna rot

x = - 1 \pm 2

StateSol

Ange lösningar

x_{1} = - 1 + 2 x_{1} = - 1 - 2 (I) (II)

$(I), (II):$ Addera och subtrahera termer

x_{1} = 1 x_{1} = - 3

The zeros of the expression inside the parentheses are

x = 1

and

- 3 .

Then, the polynomial

q (x)

can be written in factored form as follows.

q (x) = 3 (x^{2} + 2 x - 3) = 3 (x - 1) (x - (- 3)) ⇓ q (x) = 3 (x - 1) (x + 3)

Exempel

Faktorisera polynomet

Skriv polynomet

x^{3} + 2 x^{2} + x

på faktorform.

Ledtråd

Faktorn $x$ finns i alla termer. Tillämpa sedan kvadreringsregeln.

Lösning

Faktorn

x

finns i alla termer, så vi börjar med att bryta ut den:

x^{3} + 2 x^{2} + x = x (x^{2} + 2 x + 1) .

Det som står innanför parentesen kan skrivas på formen

a^{2} + 2 a b + b^{2}

och sedan faktoriseras med första kvadreringsregeln.

x (x^{2} + 2 x + 1)

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x (x^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + 1)

WritePow

Skriv som potens

x (x^{2} + 2 \cdot 1 \cdot x + 1^{2})

FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

x (x + 1)^{2}

På faktorform kan alltså polynomet skrivas som $x (x + 1)^{2} .$

Exempel

Faktorisera med konjugat- och kvadreringsregelerna

Factor each polynomial.

p (x) = x^{3} + x^{2} - 9 x - 9

q (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2}

Ledtråd

a Factor out

x^{2}

from the first two terms and

- 9

from the last two. A new common factor will appear. Factor it out! Then, use the product of a conjugate pair of binomials rule.

b Factor out

x^{2} .

Use the square of a binomial rule.

Lösning

a There is not a common factor in the given expression. However,

x^{2}

can be factored from the first two terms and

- 9

from the last two.

p (x) = x^{3} + x^{2} - 9 x - 9 ⇓ p (x) = x^{2} (x + 1) - 9 (x + 1)

Notice that

(x + 1)

is a common factor in the resulting expression. Then, factor it out!

p (x) = x^{2} (x + 1) - 9 (x + 1) ⇓ p (x) = (x + 1) (x^{2} - 9)

The quadratic expression inside the second set of parentheses can be factored by using the product of a conjugate pair of binomials.

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Before applying this formula, rewrite

9

3^{2} .

p (x) = (x + 1) (x^{2} - 9)

Rewrite

Skriv $9$ som $3^{2}$

p (x) = (x + 1) (x^{2} - 3^{2})

FacDiffSquares

Faktorisera med konjugatregeln

p (x) = (x + 1) (x + 3) (x - 3)

b Notice that

x^{2}

is a common factor. Then, start by factoring it out.

q (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 16 x^{2} ⇓ q (x) = x^{2} (x^{2} - 8 x + 16)

Next, analyze the quadratic expression within the parentheses. The middle term can be written as

2 \cdot x \cdot 4

and the third term can be written as

4^{2} .

q (x) = x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})

The expression within the parentheses has the shape of the square of a binomial.

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

In this case,

a = x

and

b = 4 .

q (x) = x^{2} (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2})

FacNegPerfectSquare

Faktorisera med andra kvadreringsregeln

q (x) = x^{2} (x - 4)^{2}

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}

Förkunskaper

Svar

Ledtråd

Lösning

Uttryck A-C

Uttryck D

Uttryck E-F

Regel

Regel

Regel

Regel

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning

Ledtråd

Lösning