Polynom

Begrepp

Polynom

Polynom är algebraiska uttryck som är summor av en viss sorts variabel- och konstanttermer. Ett exempel på ett polynom är $4x^5 + x^3 - 9x - 84.$ Detta polynom är skrivet på allmän form, alltså som en summa på så förenklad form som möjligt. För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste

variablernas exponenter vara heltal större än eller lika med $0$ och
koefficienterna vara reella.

En annan viktig egenskap är att uttrycket är definierat för alla reella

x.

Den största exponenten på en variabel anger polynomets grad, så exemplet ovan är ett femtegradspolynom eftersom den största exponenten är

5.

Ordet polynom kommer från grekiskans poly, som betyder många, och latinets nomen, som betyder namn.

Vilka uttryck är polynom?

fullscreen

Uppgift

Vilka av följande algebraiska uttryck är polynom och vilken grad har dessa? $\begin{aligned} &\text{A: }x^{4.5}+x^3 \qquad \text{B: }x^5+2x^2-\sqrt{x}\qquad \text{C: }\dfrac{1}{x^3}+5 \\ &\text{D: }\dfrac{2x^4}{x} \qquad \qquad \text{E: }\dfrac{x^8+5x+1}{2} \qquad \ \ \ \ \, \text{F: }6x-3^{10} \end{aligned}$

Visa Lösning

Lösning

För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste alla exponenter på variablerna vara positiva heltal, alla koefficienter vara reella och uttrycket måste vara definierat för alla $x.$

Uttryck A-C

A-C är inte polynom, eftersom de har variabler vars exponenter inte är positiva heltal. A har termen $x^{4.5}$ och B har termen $\sqrt{x}$ som enligt potenslagarna kan skrivas om till en potens med exponenten $1/2$ : $\begin{aligned} x^5+2x^2-\sqrt{x} \ = \ x^5+2x^2-x^{1/2}. \end{aligned}$ Enligt potenslagarna kan den första termen i uttryck C skrivas om som $\begin{aligned} \dfrac{1}{x^3} = \ x^{\text{-}3} \end{aligned}$ och har alltså den negativa exponenten $\text{-}3.$

Uttryck D

D är inte heller ett polynom. Det går visserligen att förenkla till $2x^3,$ vilket är ett polynom, men då har man inte tagit hänsyn till att $x \neq 0.$ Om $x=0$ får man nämligen nolldivision vilket innebär att uttrycket blir odefinierat. Uttrycket är då inte definierat för alla $x$ och är därför inte ett polynom.

Uttryck E-F

E-F är båda polynom eftersom alla variabler har positiva heltalsexponenter. Nämnaren i E är bara en konstant, vilket gör att det är definierat för alla $x.$ Om man vill kan man skriva om E på allmän form: $\begin{aligned} \dfrac{x^8+5x+1}{2} \ = \ 0.5x^8+2.5x+0.5. \end{aligned}$ F är ett polynom eftersom variabeln har en heltalsexponent: tänk på att $x=x^1.$ Gradtalet bestäms av variabeltermen med högst exponent, vilket är $x^8$ i E och $x^1$ i F. Termen $3^{10}$ är en konstant och påverkar därför inte gradtalet. Det ger oss följande.

Polynom	Uttryck	Grad
E	$\frac{x^8+5x+1}{2}$	$8$
F	$6x-3^{10}$	$1$

Regel

Räknelagar för polynom

När två polynom $p(x)$ och $q(x)$ adderas, subtraheras eller multipliceras blir resultatet ett nytt polynom $h(x)$ med ett gradtal som beror på ursprungspolynomen.

Regel

Addition och subtraktion: Graden för

h(x)

blir som mest högsta gradtalet för

p(x)

eller

q(x)

Om man adderar eller subtraherar polynom kan inga nya termer av högre grad skapas eftersom termer av samma grad slås ihop. Däremot är det möjligt att termer tar ut varandra så att graden sänks, t.ex. om polynomen $p(x) = 2x^2 + x + 3 \quad \text{och} \quad q(x) = \text{-}2x^2 + 4x - 10,$ som båda är av grad $2,$ summeras.

p(x) + q(x)

SubstituteExpressionsSätt in uttryck

2x^2 + x + 3 - 2x^2 + 4x - 10

RearrangeTermsOmarrangera termer

2x^2 - 2x^2 + x + 4x + 3 - 10

SimpTermsFörenkla termer

5x - 7

Det nya polynomet

h(x)

får graden

1.

Om

x^2

-termerna inte tagit ut varandra hade graden blivit

2.

Regel

Multiplikation: Graden för

h(x)

är summan av gradtalen för

p(x)

och

q(x)

Vid multiplikation av polynom multipliceras varje term i det första polynomet med alla termer i det andra. Det innebär att även potenserna med högst exponent i båda polynomen kommer att multipliceras, och enligt potenslagen

a^{x} \cdot a^{y}=a^{x+y}

kommer det nya gradtalet att bli summan av deras exponenter. Man kan visa detta genom att multiplicera första- och andragradspolynomen

p(x) = x + 4

och

q(x) = x^2 + 2.

p(x) \cdot q(x)

SubstituteExpressionsSätt in uttryck

(x + 4)\left(x^2 + 2\right)

ExpandParMultiplicera parenteser

x \cdot x^2 + x \cdot 2 + 4 \cdot x^2 + 4 \cdot 2

MultiplyMultiplicera faktorer

x \cdot x^2 + 2x + 4x^2 + 8

MultPow

a^{b}\cdot{a}^{c}=a^{b+c}

x^{1 + 2} + 2x + 4x^2 + 8

AddTermsFörenkla termer

x^3 + 2x + 4x^2 + 8

RearrangeTermsOmarrangera termer

x^3 + 4x^2 + 2x + 8

Man får ett tredjegradspolynom som resultat, vilket stämmer med regeln eftersom $1 + 2 = 3.$

Regel

Multiplicera och faktorisera polynom

Om två eller flera polynom multipliceras med varandra kan man använda parentesmultiplikation för att skriva om det till allmän form. Om man exempelvis multiplicerar polynomen $x^3+4$ och $2x^2-1$ får man $\left(x^3+4\right)\left(2x^2-1\right)=2x^5-x^3+8x^2-4.$ Graden på resultatet bestäms av räknelagarna för polynom. Att faktorisera polynom till faktorform är lite mer omständligt. För detta finns flera olika metoder.

Regel

Bryta ut

Ett sätt att faktorisera är att identifiera en faktor som finns gemensam i alla termer och bryta ut denna, t.ex. termen $2x$ i följande uttryck $2x^3+6x^2-4x=2x\left(x^2+3x-2\right).$ Detta kan bl.a. användas i samband med nollproduktmetoden.

Regel

Faktorisera med konjugat- och kvadreringsregelerna

Genom att använda konjugatregeln baklänges går det ibland att skriva om ett andragradspolynom som en produkt av två förstagradspolynom.

$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

På motsvarande sätt kan man använda första och andra kvadreringsregeln baklänges för att faktorisera vissa andragradspolynom.

$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$

$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$

Faktorisera polynomet

fullscreen

Uppgift

Skriv polynomet $x^3+2x^2+x$ på faktorform.

Visa Lösning

Lösning

Faktorn

x

finns i alla termer, så vi börjar med att bryta ut den:

x^3+2x^2+x=x\left(x^2+2x+1\right).

Det som står innanför parentesen kan skrivas på formen

a^2+2ab+b^2

och sedan faktoriseras med första kvadreringsregeln.

x\left(x^2+2x+1\right)

SplitIntoFactorsDela upp i faktorer

x\left(x^2+2\cdot 1 \cdot x+1\right)

WritePowSkriv som potens

x\left(x^2+2\cdot 1 \cdot x+1^2\right)

FacPosPerfectSquareFaktorisera med första kvadreringsregeln

x(x+1)^2

På faktorform kan alltså polynomet skrivas som $x(x+1)^2.$

Polynom

Polynom

Exempel

Vilka uttryck är polynom?

Uttryck A-C

Uttryck D

Uttryck E-F

Räknelagar för polynom

Regel

Regel

Multiplicera och faktorisera polynom

Bryta ut

Faktorisera med konjugat- och kvadreringsregelerna

Exempel

Faktorisera polynomet