Polynom är algebraiska uttryck som är summor av en viss sorts variabel- och konstanttermer. Ett exempel på ett polynom är 4x5+x3−9x−84. Detta polynom är skrivet på allmän form, alltså som en summa på så förenklad form som möjligt. För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste
Vilka av följande algebraiska uttryck är polynom och vilken grad har dessa? A: x4.5+x3B: x5+2x2−xC: x31+5D: x2x4E: 2x8+5x+1 F: 6x−310
För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste alla exponenter på variablerna vara positiva heltal, alla koefficienter vara reella och uttrycket måste vara definierat för alla x.
A-C är inte polynom, eftersom de har variabler vars exponenter inte är positiva heltal. A har termen x4.5 och B har termen x som enligt potenslagarna kan skrivas om till en potens med exponenten 1/2: x5+2x2−x = x5+2x2−x1/2. Enligt potenslagarna kan den första termen i uttryck C skrivas om som x31= x-3 och har alltså den negativa exponenten -3.
D är inte heller ett polynom. Det går visserligen att förenkla till 2x3, vilket är ett polynom, men då har man inte tagit hänsyn till att x=0. Om x=0 får man nämligen nolldivision vilket innebär att uttrycket blir odefinierat. Uttrycket är då inte definierat för alla x och är därför inte ett polynom.
E-F är båda polynom eftersom alla variabler har positiva heltalsexponenter. Nämnaren i E är bara en konstant, vilket gör att det är definierat för alla x. Om man vill kan man skriva om E på allmän form: 2x8+5x+1 = 0.5x8+2.5x+0.5. F är ett polynom eftersom variabeln har en heltalsexponent: tänk på att x=x1. Gradtalet bestäms av variabeltermen med högst exponent, vilket är x8 i E och x1 i F. Termen 310 är en konstant och påverkar därför inte gradtalet. Det ger oss följande.
Polynom | Uttryck | Grad |
---|---|---|
E | 2x8+5x+1 | 8 |
F | 6x−310 | 1 |
När två polynom p(x) och q(x) adderas, subtraheras eller multipliceras blir resultatet ett nytt polynom h(x) med ett gradtal som beror på ursprungspolynomen.
Om man adderar eller subtraherar polynom kan inga nya termer av högre grad skapas eftersom termer av samma grad slås ihop. Däremot är det möjligt att termer tar ut varandra så att graden sänks, t.ex. om polynomen p(x)=2x2+x+3ochq(x)=-2x2+4x−10, som båda är av grad 2, summeras.
Man får ett tredjegradspolynom som resultat, vilket stämmer med regeln eftersom 1+2=3.
Om två eller flera polynom multipliceras med varandra kan man använda parentesmultiplikation för att skriva om det till allmän form. Om man exempelvis multiplicerar polynomen x3+4 och 2x2−1 får man (x3+4)(2x2−1)=2x5−x3+8x2−4. Graden på resultatet bestäms av räknelagarna för polynom. Att faktorisera polynom till faktorform är lite mer omständligt. För detta finns flera olika metoder.
Ett sätt att faktorisera är att identifiera en faktor som finns gemensam i alla termer och bryta ut denna, t.ex. termen 2x i följande uttryck 2x3+6x2−4x=2x(x2+3x−2). Detta kan bl.a. användas i samband med nollproduktmetoden.
Genom att använda konjugatregeln baklänges går det ibland att skriva om ett andragradspolynom som en produkt av två förstagradspolynom.
a2−b2=(a+b)(a−b)
På motsvarande sätt kan man använda första och andra kvadreringsregeln baklänges för att faktorisera vissa andragradspolynom.
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2
Skriv polynomet x3+2x2+x på faktorform.
På faktorform kan alltså polynomet skrivas som x(x+1)2.