Polynom

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Polynom

Polynom är algebraiska uttryck som är summor av en viss sorts variabel- och konstanttermer. Ett exempel på ett polynom är 4x5+x39x84. 4x^5 + x^3 - 9x - 84. Detta polynom är skrivet på allmän form, alltså som en summa på så förenklad form som möjligt. För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste

En annan viktig egenskap är att uttrycket är definierat för alla reella x.x. Den största exponenten på en variabel anger polynomets grad, så exemplet ovan är ett femtegradspolynom eftersom den största exponenten är 5.5. Ordet polynom kommer från grekiskans poly, som betyder många, och latinets nomen, som betyder namn.
Uppgift

Vilka av följande algebraiska uttryck är polynom och vilken grad har dessa? A: x4.5+x3B: x5+2x2xC: 1x3+5D: 2x4xE: x8+5x+12    F: 6x310\begin{aligned} &\text{A: }x^{4.5}+x^3 \qquad \text{B: }x^5+2x^2-\sqrt{x}\qquad \text{C: }\dfrac{1}{x^3}+5 \\ &\text{D: }\dfrac{2x^4}{x} \qquad \qquad \text{E: }\dfrac{x^8+5x+1}{2} \qquad \ \ \ \ \, \text{F: }6x-3^{10} \end{aligned}

Visa lösning Visa lösning
Regel

Multiplicera och faktorisera polynom

Om två eller flera polynom multipliceras med varandra kan man använda parentesmultiplikation för att skriva om det till allmän form. Om man exempelvis multiplicerar polynomen x3+4x^3+4 och 2x212x^2-1 får man (x3+4)(2x21)=2x5x3+8x24. \left(x^3+4\right)\left(2x^2-1\right)=2x^5-x^3+8x^2-4. Graden på resultatet bestäms av räknelagarna för polynom. Att faktorisera polynom till faktorform är lite mer omständligt. För detta finns flera olika metoder.

Regel

Bryta ut

Ett sätt att faktorisera är att identifiera en faktor som finns gemensam i alla termer och bryta ut denna, t.ex. termen 2x2x i följande uttryck 2x3+6x24x=2x(x2+3x2). 2x^3+6x^2-4x=2x\left(x^2+3x-2\right). Detta kan bl.a. användas i samband med nollproduktmetoden.

Regel

Faktorisera med konjugat- och kvadreringsregelerna

Genom att använda konjugatregeln baklänges går det ibland att skriva om ett andragradspolynom som en produkt av två förstagradspolynom.

a2b2=(a+b)(ab)a^2-b^2=(a+b)(a-b)

På motsvarande sätt kan man använda första och andra kvadreringsregeln baklänges för att faktorisera vissa andragradspolynom.

a2+2ab+b2=(a+b)2a^2+2ab+b^2=(a+b)^2

a22ab+b2=(ab)2a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

Uppgift

Skriv polynomet x3+2x2+xx^3+2x^2+x på faktorform.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Beräkna värdet på polynomet x32x29x+10x^3-2x^2-9x+10 när


a

x=2.x=2.

b

x=-1.x=\text{-}1.

c

x=4.x=4.

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Följande algebraiska uttryck är givna. A: x3+2x-4    B: 8xx+x2C: 9x6x5    D: 2x3.57x3E: 1x7+5        F: 17x8\begin{aligned} &\text{A: }x^3+2x^{\text{-}4}\qquad \ \ \ \ \text{B: }\dfrac{8x}{x+x^2}\\ \\ &\text{C: }9x-6x^5 \qquad \ \, \ \ \ \text{D: }2x^{3.5}-7x^3\\ \\ &\text{E: }\dfrac{1}{x^7}+5 \qquad \ \ \ \ \ \ \ \ \text{F: }17x^8 \end{aligned}

a

Avgör vilka av uttrycken som är polynom.

b

Avgör polynomens grad.

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Gandalf hittar ett polynom i en gammal dammig bok, och kallar det urpolynomet: 10x8+x4+5x14. 10x^8+x^4+5x-14. Han blir räknesugen och funderar på hur det nya polynomet kommer se ut och vad dess grad blir om man utgår från urpolynomet och

a

ökar den andra termens koefficient med 3?3?

b

minskar den första termens exponent med 4?4?

c

ökar den tredje termens exponent med 8?8?

d

minskar konstanttermen med 1?1?

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Förenkla uttrycken och ange polynomets grad.


a

(3x34x2)+(3x29)\left(3x^3-4x^2\right)+\left(3x^2-9\right)

b

(5x4x)(5x42x+1)\left(5x^4-x\right)-\left(5x^4-2x+1\right)

c

-(5x2x+4)(3x2+2x5)\text{-}\left(5x^2-x+4\right)-\left(3x^2+2x-5\right)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Utveckla så långt som möjligt och avgör polynomets grad.


a

(8y+5)(8y5)+y3(8y+5)(8y-5)+y^3

b

(3x+1)23x2(3x+1)^2-3x^2

c

4x2(72x)24x^2-(7-2x)^2

d

(3a)(a26)2(3-a)(a^2-6)^2

1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Faktorisera polynomen så långt som möjligt.

a

x36x2+2xx^3-6x^2+2x


b

3x6+x47x23x^6+x^4-7x^2


c

5x+15x95x+15x^9

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Faktorisera polynomen så långt som möjligt.

a

x2+8x+16x^2+8x+16

b

x249x^2-49

c

3612x+x236-12x+x^2

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange ett tal i rutan eller rutorna som gör att likheten stämmer.


a

x2+10x+25=(x+)2 x^2+10x+25=\left(x+\Large{\Box}\right)^2

b

x212x+36=(x)2 x^2-12x+36=\left(x-\Large{\Box}\right)^2

c

x264=(x+)(x) x^2-64=\left(x+\Large{\Box}\right)\left(x-\Large{\Box}\right)

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ange grad till följande polynom.


a

(x64)+(x+4)\left(x^6-4\right)+\left(x+4\right)

b

(x3x2)(93x2)\left(x-3x^2\right)-\left(9-3x^2\right)

c

(2x)(22x2)\left(2-x\right)\left(2-2x^2\right)

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ta fram uttryck för figurernas areor och förenkla så långt det går.


a
triangel


b
Parallelltrapets
1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilket av alternativen A-E visar ett polynom?
A.4x3+4x3\quad \dfrac{4}{x^3}+4x^3
B.x2+x2.5\quad x^2+x^{2.5}
C.(2+1x)3\quad \left(2+\dfrac{1}{x}\right)^3
D.4x2+2x2\quad 4x^2+2x^2
E.5x12xx2\quad \dfrac{5x}{12x-x^2}

Nationella provet HT12 3b/3c
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Polynomet p(x)p(x) har grad 4.4. Vilken grad får det nya polynomet om p(x)p(x)


a

multipliceras med polynomet q(x)q(x) som har grad 6?6?

b

multipliceras med q(x)=5x3?q(x)=5x^3?

c

adderas med polynomet q(x)q(x) som har grad 6?6?

d

subtraheras med q(x)=5x3?q(x)=5x^3?

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Faktorisera följande polynom så långt som möjligt.

a

x464x^4-64

b

2x2+20x+502x^2+20x+50

c

x416x3+64x2x^4-16x^3+64x^2

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Arean för en viss triangel kan skrivas A=x2+6x2, A=\dfrac{x^2+6x}{2}, där xx är triangelns höjd i cm. Hur många cm längre är basen jämfört med höjden?

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Andgradspolynomet 63x22863x^2-28 kan skrivas om som en produkt av tre faktorer. En av dessa faktorer är 3x2.3x-2. Vilka är de två övriga faktorerna?

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Låt polynomet p(x)=x26x+5.p(x)=x^2-6x+5. Ställ upp och förenkla p(a+3)p(a+3) så långt som möjligt. Svara på faktorform.

2.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ge ett exempel på ett polynom p(x)p(x) av grad två som har tre termer och som uppfyller att p(-2)=15.p(\text{-} 2)=15.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Du har ekvationen x2y2=11x^2-y^2=11. Beräkna summan x+yx+y om du vet att xx och yy är positiva heltal.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ge ett exempel på vad polynomet axn+bxn3ax^n+bx^{n-3} kan multipliceras med för att bli ett polynom av grad 5.5. Utför också multiplikationen.

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Vilka värden är möjliga för aa och nn i följande polynom? (axn)1undefined2 \left(ax^n\right)^{\left.1\middle/2\right.}

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Polynomet P(x)P(x) har grad 44 och polynomet Q(x)Q(x) har grad q.q. Visa att om P(x)P(x) och Q(x)Q(x) adderas så kommer det nya polynomets grad nn vara något heltalsvärde n0n \geq 0.

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan
a

Skriv ett godtyckligt femtegradspolynom på allmän form.

b

Om samtliga koefficienter till ett polynom som är skrivet på allmän form,

anxn+an1xn1++a2x2+a1x+a0, a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0, är nollskilda kommer polynomet ha en term av varje grad, från grad 00 (konstant) upp till och med polynomets högsta grad n.n. Denna typ av polynom kallas ibland för fullständiga polynom. Skriv ett uttryck för differensen mellan ett fullständigt 99-gradspolynom och ett fullständigt 98-gradspolynom och förenkla det så långt som möjligt.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}