Förklaring

Nolldivision

Nolldivision innebär att man försöker dividera ett tal med

0,

t.ex.

\frac{5}{0} .

Denna division är inte definierad och därmed förbjuden. Exempelvis kan inte divisionen

\frac{5}{a}

utföras om

a = 0 .

Därför brukar man ange detta som ett villkor då man har en variabel i nämnaren:

\frac{5}{a} om a \neq = 0 .

En division visar hur många gånger nämnaren "får plats" i täljaren. Om man beräknar divisionen

\frac{5}{0}

ska man alltså bestämma hur många gånger

0

får plats i

5 .

Men oavsett hur många nollor man "adderar" kommer man aldrig att nå

5

:

0 + 0 + 0 + \dots + 0 \neq = 5 .

Att dela med

0

blir alltså en omöjlighet.

Extra

Grafisk motivering

Ett annat sätt att motivera varför division med $0$ är odefinierat är att studera grafen till $y = \frac{1}{x} .$ Genom att göra en värdetabell kan man bestämma några punkter på grafen.

$x$	$\frac{1}{x}$	$=$
$- 0.5$	$\frac{1}{- 0 . 5}$	$- 2$
$- 0.25$	$\frac{1}{- 0 . 2 5}$	$- 4$
$- 0.1$	$\frac{1}{- 0 . 1}$	$- 10$
$0.1$	$\frac{1}{0 . 1}$	$10$
$0.25$	$\frac{1}{0 . 2 5}$	$4$
$0.5$	$\frac{1}{0 . 5}$	$2$

Därefter sätts punkterna in i ett koordinatsystem tillsammans med grafen till funktionen $y = \frac{1}{x} .$ De röda punkterna visar vad som händer om man sätter in mindre och mindre positiva tal, och de gröna punkterna visar vad som händer med små negativa tal.

Ju närmare $0$ som $x$ kommer, desto mer extrema blir funktionsvärdena. Kvoten visar sig gå mot oändligheten ( $\infty$ ) om man närmar sig från höger, men mot minus oändligheten ( $- \infty$ ) om man närmar sig noll från vänster. Men man kan inte få två olika svar på samma fråga (vilket värde går $\frac{1}{x}$ mot då $x = 0$ ?). Det är därför division med $0$ inte är odefinierat.

Extra

Konsekvenser av att dela med noll

Vilka konsekvenser kan man få av att dividera med $0 ?$ Ett klassiskt exempel är följande förenkling som "bevisar" att $1 = 0 .$

a = b

SubEqn

$VL - b = HL - b$

a - b = 0

DivEqn

$VL / (a - b) = HL / (a - b)$

\frac{a - b}{a - b} = \frac{0}{a - b}

SimpQuot

Förenkla kvot

1 = 0

Eftersom $a - b = 0$ dividerades båda led med $0$ i andra steget och gav en likhet som inte gäller. Det var för att man bröt mot regeln om nolldivision.