Förklaring

Nolldivision

Nolldivision innebär att man försöker dividera ett tal med $0,$ t.ex. $\frac{5}{0}.$ Denna division är inte definierad och därmed förbjuden. Exempelvis kan inte divisionen $\frac{5}{a}$ utföras om $a=0.$ Därför brukar man ange detta som ett villkor då man har en variabel i nämnaren: $\dfrac{5}{a} \quad \quad \text{om } a \neq 0.$ En division visar hur många gånger nämnaren "får plats" i täljaren. Om man beräknar divisionen $\frac{5}{0}$ ska man alltså bestämma hur många gånger $0$ får plats i $5.$ Men oavsett hur många nollor man "adderar" kommer man aldrig att nå $5$: $0+0+0+\ldots+0 \neq 5.$ Att dela med $0$ blir alltså en omöjlighet.

Extra		expand_more
Grafisk motivering

Ett annat sätt att motivera varför division med $0$ är odefinierat är att studera grafen till $y=\frac{1}{x}.$ Genom att göra en värdetabell kan man bestämma några punkter på grafen.

$x$	$\dfrac{1}{x}$	$=$
$\text{-}0.5$	$\dfrac{1}{\text{-}0.5}$	${\color{#FF0000}{\text{-}2}}$
$\text{-}0.25$	$\dfrac{1}{\text{-}0.25}$	${\color{#FF0000}{\text{-}4}}$
$\text{-}0.1$	$\dfrac{1}{\text{-}0.1}$	${\color{#FF0000}{\text{-}10}}$
$0.1$	$\dfrac{1}{0.1}$	${\color{#009600}{10}}$
$0.25$	$\dfrac{1}{0.25}$	${\color{#009600}{4}}$
$0.5$	$\dfrac{1}{0.5}$	${\color{#009600}{2}}$

Därefter sätts punkterna in i ett koordinatsystem tillsammans med grafen till funktionen $y=\frac{1}{x}.$ De röda punkterna visar vad som händer om man sätter in mindre och mindre positiva tal, och de gröna punkterna visar vad som händer med små negativa tal.

Ju närmare $0$ som $x$ kommer, desto mer extrema blir funktionsvärdena. Kvoten visar sig gå mot oändligheten ($\infty$) om man närmar sig från höger, men mot minus oändligheten ($\text{-} \infty$) om man närmar sig noll från vänster. Men man kan inte få två olika svar på samma fråga (vilket värde går $\frac{1}{x}$ mot då $x=0$?). Det är därför division med $0$ inte är odefinierat.

Extra		expand_more
Konsekvenser av att dela med noll

Vilka konsekvenser kan man få av att dividera med $0?$ Ett klassiskt exempel är följande förenkling som "bevisar" att $1=0.$

$a=b$

$\text{VL}-b=\text{HL}-b$

$a-b=0$

$\left.\text{VL}\middle/(a-b)\right.=\left.\text{HL}\middle/(a-b)\right.$

$\dfrac{a-b}{a-b}=\dfrac{0}{a-b}$

Förenkla kvot

$1=0$

Eftersom $a-b=0$ dividerades båda led med $0$ i andra steget och gav en likhet som inte gäller. Det var för att man bröt mot regeln om nolldivision.