1. Polynom
Logga in
| | 5 sidor teori |
| | 22 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste alla exponenter på variablerna vara positiva heltal, alla koefficienter vara reella och uttrycket måste vara definierat för alla x.
D är inte heller ett polynom. Det går visserligen att förenkla till 2x3, vilket är ett polynom, men då har man inte tagit hänsyn till att x=0. Om x=0 får man nämligen nolldivision vilket innebär att uttrycket blir odefinierat. Uttrycket är då inte definierat för alla x och är därför inte ett polynom.
| Polynom | Uttryck | Grad |
|---|---|---|
| E | 2x8+5x+1 | 8 |
| F | 6x−310 | 1 |
När två polynom p(x) och q(x) adderas, subtraheras eller multipliceras blir resultatet ett nytt polynom h(x) med ett gradtal som beror på ursprungspolynomen.
Sätt in uttryck
Omarrangera termer
Förenkla termer
Sätt in uttryck
Multiplicera parenteser
Multiplicera faktorer
ab⋅ac=ab+c
Addera termer
Omarrangera termer
Man får ett tredjegradspolynom som resultat, vilket stämmer med regeln eftersom 1+2=3.
a2−b2=(a+b)(a−b)
På motsvarande sätt kan man använda första och andra kvadreringsregeln baklänges för att faktorisera vissa andragradspolynom.
a2+2ab+b2=(a+b)2
a2−2ab+b2=(a−b)2
Skriv polynomet x3+2x2+x på faktorform.
Dela upp i faktorer
Skriv som potens
Faktorisera med första kvadreringsregeln
På faktorform kan alltså polynomet skrivas som x(x+1)2.
Polynomet p(x) har grad 4. Vilken grad får det nya polynomet om p(x)
Här ska vi alltså multiplicera polynomen p(x) av grad 4 och q(x) av grad 6. Enligt räknelagarna för polynom kommer gradtalet vara summan av gradtalen för de två ingående polynomen: 4+6=10. Nya polynomets grad kommer alltså vara 10.
Den enda förändringen från föregående deluppgift är att q(x) har grad 3 istället. Vi adderar gradtalen 4 och 3, så det nya polynomet kommer ha gradtalet 7.
Vi ska addera två polynom av grad 4 respektive 6. När man adderar polynom kommer graden att bli samma som för polynomet med högst grad, eller mindre. För att det ska kunna minska måste dock polynomen ha samma grad, t.ex. x^3+x^2 och - x^3:
x^3+x^2 + (- x^3)=x^2.
Men om graden inte är samma finns det inga termer av samma sort som kan "ta ut" den högsta exponenten. Det nya polynomet kommer därför i vårt fall ha samma grad som det med högst grad, dvs 6.
Här har vi subtraktion, men samma regler gäller som i föregående deluppgift. Eftersom gradtalen hos polynomen är olika även nu, 4 respektive 3, kommer gradtalet på nya polynomet bestämmas av polynomet med högst grad. Det nya polynomet får alltså grad 4.
Faktorisera polynomet så långt som möjligt.
Vi kan inte bryta ut en gemensam faktor. Vi ser dock att 64 kan skrivas som 8^2. Om vi även skriver om x^4 som en potens med exponenten 2 så kan vi därefter faktorisera med konjugatregeln.
Nu har vi ett uttryck på formen a^2-b^2, där a=x^2 och b=8, och kan använda konjugatregeln för att faktorisera.
Koefficienterna 2 och 20 samt konstanten 50 är alla jämna tal vilket betyder att vi kan bryta ut 2 ur dem. Vi börjar med att göra detta.
Sedan ser vi att uttrycket innanför parentesen kan faktoriseras med första kvadreringsregeln.
I samtliga termer kan man bryta ut x^2 så vi börjar med att göra detta.
Uttrycket innanför parentesen kan faktoriseras med andra kvadreringsregeln.
Formeln för triangels area är A= bh2, där b är basen och h är höjden. I vår triangel är arean x^2+6x2, vilket ger likheten bh/2=x^2+6x/2. Genom att skriva om täljarna på samma form genom faktorisering kan vi identifiera uttrycket för basen och jämföra. Vi vet att x är triangelns höjd, så vi bryter ut den åt höger.
Nu ser vi att basen är b=x+6. Eftersom höjden är x så är basen 6 cm längre än höjden.
Vi börjar med att bryta ut största möjliga konstant ur termerna. Faktoriseras koefficienterna får man &63=7* 9 &28=7* 4. Båda koefficienterna innehåller faktorn 7 så vi kan alltså bryta ut denna.
Nu har vi brytit ut ena faktorn. Vi fortsätter faktoriseringen genom att skriva om uttrycket innanför parenteserna med konjugatregeln.
Vi ser att det stämmer att en faktor blev 3x-2. Den sista faktorn är 3x+2.
Skrivsättet p(a+3) betyder att vi ska sätta in a+3 på alla ställen där det står x. Vi gör det och förenklar.
Det som blir kvar efter förenklingen kan skrivas på faktorform med hjälp av konjugatregeln.
Ge ett exempel på ett polynom p(x) av grad två som har tre termer och som uppfyller att p(−2)=15.
Eftersom polynomet ska vara av grad 2 och ha 3 termer måste vi ha en andragradsterm, en förstagradsterm och en konstantterm. Vi vet ännu inte om vi vill ha plus- eller minustecken mellan termerna eller vad koefficienterna kan vara. p(x)= x^2 x C Villkoret p(-2)=15 betyder att om vi sätter in -2 istället för x ska värdet bli 15. Vi kan börja med att se vad vi får om vi sätter in x=-2 samt plustecken mellan termerna. p(-2)=(-2)^2+(-2)+C Förenklar vi detta får vi följande. p(-2)=4+(-2)+C=2+C För att denna summa ska bli 15 måste vi sätta C till 13 eftersom p(-2)=2+13=15. Ett polynom som uppfyller villkoren är alltså p(x)= x^2 + x +13.