DashboardNyheterInställningarHjälp
Premium
Dashboard
3b
Kurs 3b Visa detaljer
1. Polynom
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Uppgifter
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 3b , Ma 3c ) /
Kapitel 1
1. 

Polynom

Polynom är algebraiska uttryck som består av summor av variabler och konstanttermer. Dessa uttryck kan ha olika grader, vilket bestäms av den högsta exponenten av; en variabel i polynomet. Polynom kan vara av första graden, andra graden, eller högre, och varje grad har specifika egenskaper och regler. Faktorisering av polynom är en viktig process inom algebra, och det finns flera metoder för att utföra detta. Polynom används i många olika matematiska och vetenskapliga sammanhang, från grundläggande algebra till mer komplicerade områden som kalkyl och fysik.

Visa mer expand_more
9 sidor teori
22 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Polynom
Sida av 9

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Polynom
  • Räknelagar för polynom
  • Multiplicera och faktorisera polynom

Rekommenderat att repetera innan du börjar med det här avsnittet:
Koncept

Polynom

Polynom är algebraiska uttryck som är summor av en viss sorts variabel- och konstanttermer. Ett exempel på ett polynom är 4x^5 + x^3 - 9x - 84. Detta polynom är skrivet på allmän form, alltså som en summa på så förenklad form som möjligt. För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste

En annan viktig egenskap är att uttrycket är definierat för alla reella x. Den största exponenten på en variabel anger polynomets grad, så exemplet ovan är ett femtegradspolynom eftersom den största exponenten är 5.

Ordet polynom kommer från grekiskans poly, som betyder många, och latinets nomen, som betyder namn.
Exempel

Vilka uttryck är polynom?

Vilka av följande algebraiska uttryck är polynom och vilken grad har dessa? A. & x^(4,5)+x^3 & D. & 2x^4/x [0.7em] B. & x^5+2x^2-sqrt(x) & E. & x^8+5x+1/2 [0.7em] C. & 1/x^3+5 & F. & 6x-3^(10)

Svar
Alternativ Polynom? Grad
A * -
B * -
C * -
D * -
E ✓ 8
F ✓ 1

Ledtråd
För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste alla exponenter på variablerna vara positiva heltal, alla koefficienter vara reella och uttrycket måste vara definierat för alla x.

Lösning
För att ett algebraiskt uttryck ska vara ett polynom måste alla exponenter på variablerna vara positiva heltal, alla koefficienter vara reella och uttrycket måste vara definierat för alla x.

Uttryck A-C

A-C är inte polynom, eftersom de har variabler vars exponenter inte är positiva heltal. A har termen x^(4,5) och B har termen sqrt(x) som enligt potenslagarna kan skrivas om till en potens med exponenten .1 /2.: x^5+2x^2-sqrt(x) = x^5+2x^2-x^(1/2). Enligt potenslagarna kan den första termen i uttryck C skrivas om som 1/x^3 = x^(-3) och har alltså den negativa exponenten -3.

Uttryck D

D är inte heller ett polynom. Det går visserligen att förenkla till 2x^3, vilket är ett polynom, men då har man inte tagit hänsyn till att x ≠ 0. Om x=0 får man nämligen nolldivision vilket innebär att uttrycket blir odefinierat. Uttrycket är då inte definierat för alla x och är därför inte ett polynom.

Uttryck E-F

E-F är båda polynom eftersom alla variabler har positiva heltalsexponenter. Nämnaren i E är bara en konstant, vilket gör att det är definierat för alla x. Om man vill kan man skriva om E på allmän form: x^8+5x+1/2 = 0,5x^8+2,5x+0,5. F är ett polynom eftersom variabeln har en heltalsexponent: tänk på att x=x^1. Gradtalet bestäms av variabeltermen med högst exponent, vilket är x^8 i E och x^1 i F. Termen 3^(10) är en konstant och påverkar därför inte gradtalet. Det ger oss följande.

Alternativ Polynom? Grad
A * -
B * -
C * -
D * -
E ✓ 8
F ✓ 1
Regel

Räknelagar för polynom

När två polynom p(x) och q(x) adderas, subtraheras eller multipliceras blir resultatet ett nytt polynom h(x) med ett gradtal som beror på ursprungspolynomen.

Regel

 Addition och subtraktion: Graden för h(x) blir som mest högsta gradtalet för p(x) eller q(x)
Om man adderar eller subtraherar polynom kan inga nya termer av högre grad skapas eftersom termer av samma grad slås ihop. Däremot är det möjligt att termer tar ut varandra så att graden sänks, t.ex. om polynomen p(x) &= 2x^2 + x + 3 q(x) &= -2x^2 + 4x - 10, som båda är av grad 2, summeras.

p(x) + q(x)
SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

2x^2 + x + 3 - 2x^2 + 4x - 10
RearrangeTerms

Omarrangera termer

2x^2 - 2x^2 + x + 4x + 3 - 10
SimpTerms

Förenkla termerna

5x - 7

Det nya polynomet h(x) får graden 1. Om x^2-termerna inte tagit ut varandra hade graden blivit 2.

Regel

 Multiplikation: Graden för h(x) är summan av gradtalen för p(x) och q(x)
Vid multiplikation av polynom multipliceras varje term i det första polynomet med alla termer i det andra. Det innebär att även potenserna med högst exponent i båda polynomen kommer att multipliceras, och enligt potenslagen a^x * a^y=a^(x+y) kommer det nya gradtalet att bli summan av deras exponenter. Man kan visa detta genom att multiplicera första- och andragradspolynomen p(x) = x + 4 och q(x) = x^2 + 2.

p(x) * q(x)
SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

(x + 4)(x^2 + 2)
ExpandPar

Multiplicera parenteser

x * x^2 + x * 2 + 4 * x^2 + 4 * 2
Multiply

Multiplicera faktorer

x * x^2 + 2x + 4x^2 + 8
MultPow

a^b*a^c=a^(b+c)

x^(1 + 2) + 2x + 4x^2 + 8
AddTerms

Addera termerna

x^3 + 2x + 4x^2 + 8
RearrangeTerms

Omarrangera termer

x^3 + 4x^2 + 2x + 8

Man får ett tredjegradspolynom som resultat, vilket stämmer med regeln eftersom 1 + 2 = 3.

Regel

Multiplicera och faktorisera polynom

Om två eller flera polynom multipliceras med varandra kan man använda parentesmultiplikation för att skriva om det till allmän form. Om man exempelvis multiplicerar polynomen x^3+4 och 2x^2-1 får man (x^3+4)(2x^2-1)=2x^5-x^3+8x^2-4. Graden på resultatet bestäms av räknelagarna för polynom. Att faktorisera polynom till faktorform är lite mer omständligt. För detta finns flera olika metoder.

Regel

 Bryta ut
Ett sätt att faktorisera är att identifiera en faktor som finns gemensam i alla termer och bryta ut denna, t.ex. termen 2x i följande uttryck 2x^3+6x^2-4x=2x(x^2+3x-2). Detta kan bl.a. användas i samband med nollproduktmetoden.

Regel

 Faktorisera med konjugat- och kvadreringsregelerna
Genom att använda konjugatregeln baklänges går det ibland att skriva om ett andragradspolynom som en produkt av två förstagradspolynom.

a^2-b^2=(a+b)(a-b)

På motsvarande sätt kan man använda första och andra kvadreringsregeln baklänges för att faktorisera vissa andragradspolynom.

a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2

Koncept

Faktorform - polynom

Polynom måste inte vara skrivna på allmän form, dvs. som en summa, utan kan också skrivas på faktorform. Då representeras polynomet av en multiplikation av två eller flera polynom av lägre grad. Exempelvis kan ett andragradspolynom skrivas på faktorform genom multiplikation av två förstagradspolynom, x^2 + x - 6_(allmän form) = (x + 3)(x - 2)_(faktorform), eftersom man får tillbaka den allmänna formen om man multiplicerar ihop parenteserna. Om vi känner till nollställena kan vi använda dem för att faktorisera polynomet — en rot (eller ett nollställe) till ett polynom p(x) är ett tal a sådant att p(a) = 0. För att hitta nollställena till andragradspolynomet p(x) = x^2 - 2x - 8, löser vi ekvationen x^2 - 2x - 8 = 0. x^2 - 2x - 8 = 0 ⇒ x_1 = -2 x_2 = 4 Det innebär att vi kan skriva om polynomet som:

p(x) &= x^2 - 2x - 8 &= (x - ( -2))(x - 4) &= (x + 2)(x - 4).
Exempel

Faktorisering av ett andragradspolynom

Faktorisera vart och ett av följande polynom.

a

p(x)=x^2-3x-10

b

q(x)=3x^2+6x-9

Ledtråd
a

Hitta nollställena till andragradsekvationen p(x)=0.

b

Först, faktorisera ut 3. Hitta sedan nollställena till uttrycket inuti parenteserna.

Lösning
a

Att känna till nollställena för ett andragradspolynom hjälper vid faktorisering. Nollställena kan hittas genom att lösa ekvationen p(x)=0.

p(x) = 0 ⇓ x^2-3x-10=0 Andragradsekvationen kan lösas med hjälp av pq-formeln.

x^2-3x-10=0
▼
Skriv på pq-form
UsePQ

Använd pq-formeln: p = -3, q= -10

x=- -3/2± sqrt((-3/2)^2-( -10))
SubNeg

a-(- b)=a+b

x = --3/2± sqrt((-3/2)^2 + 10)
PowQuot

(a/b)^c=a^c/b^c

x = --3/2± sqrt(9/4 + 10)
Rewrite

Skriv 10 som 40/4

x = --3/2± sqrt(9/4 + 40/4)
AddFrac

Addera bråk

x = --3/2± sqrt(49/4)
SqrtQuot

sqrt(a/b)=sqrt(a)/sqrt(b)

x = --3/2± sqrt(49)/sqrt(4)
CalcRoot

Beräkna rot

x = --3/2± 7/2
MoveNegNumToFrac

Skriv minustecken framför bråk

x = -(-3/2)± 7/2
NegNeg

- (- a)=a

x = 3/2 ± 7/2
AddSubFrac

Lägg ihop bråk

x = 3± 7/2
▼
Ange lösningar
StateSol

Ange lösningar

lcx_1 = 3+7/2 & (I) x_2 = 3-7/2 & (II)

(I), (II): Addera och subtrahera termerna

lx_1 = 10/2 x_2 = -4/2

(I), (II): Beräkna kvot

lx_1 = 5 x_2 = -2

Nollställena för det givna polynomet är x= 5 och x= -2. Då kan polynomet skrivas på faktorform enligt följande. p(x) = x^2-3x-10 = (x- 5)(x-( -2)) ⇓ p(x) = (x-5)(x+2)

b

Polynomet q(x) kan faktoriseras med en process liknande den som användes i föregående del. Men observera först att 3 kan faktoriseras ut ur hela uttrycket.

q(x) = 3x^2+6x-9 ⇓ q(x) = 3(x^2+2x-3) Nästa steg är att hitta nollställena till uttrycket inom parenteserna genom att sätta det lika med noll.

x^2+2x-3 = 0
▼
Skriv på pq-form
UsePQ

Använd pq-formeln: p = 2, q= -3

x=- 2/2± sqrt((2/2)^2-( -3))
CalcQuot

Beräkna kvot

x = -1 ± sqrt(1^2-(-3))
CalcPow

Beräkna potens

x = -1 ± sqrt(1-(-3))
SubNeg

a-(- b)=a+b

x = -1 ± sqrt(1+3)
AddTerms

Addera termerna

x = -1 ± sqrt(4)
CalcRoot

Beräkna rot

x = -1 ± 2
StateSol

Ange lösningar

lcx_1 = -1 + 2 & (I) x_2 = -1 - 2 & (II)

(I), (II): Addera och subtrahera termerna

lx_1 = 1 x_2 = -3

Nollställena till uttrycket inom parenteserna är x= 1 och -3. Då kan polynomet q(x) skrivas på faktorform enligt följande. q(x) = 3(x^2+2x-3) = 3(x- 1)(x-( -3)) ⇓ q(x) = 3(x-1)(x+3)

Exempel

Faktorisera polynomet

Skriv polynomet x^3+2x^2+x på faktorform.

Ledtråd
Faktorn x finns i alla termer. Tillämpa sedan kvadreringsregeln.

Lösning
Faktorn x finns i alla termer, så vi börjar med att bryta ut den: x^3+2x^2+x=x(x^2+2x+1). Det som står innanför parentesen kan skrivas på formen a^2+2ab+b^2 och sedan faktoriseras med första kvadreringsregeln.

x(x^2+2x+1)
SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x(x^2+2* 1 * x+1)
WritePow

Skriv som potens

x(x^2+2* 1 * x+1^2)
FacPosPerfectSquare

Faktorisera med första kvadreringsregeln

x(x+1)^2



På faktorform kan alltså polynomet skrivas som x(x+1)^2.
Exempel

Faktorisera med konjugat- och kvadreringsregelerna

Faktorisera varje polynom.

a

p(x) = x^3 + x^2 - 9x - 9

b

q(x) = x^4 - 8x^3 + 16x^2

Ledtråd
a

Faktorisera ut x^2 ur de två första termerna och -9 ur de två sista. En ny gemensam faktor kommer att framträda. Faktorisera ut den! Använd sedan regeln för produkten av ett konjugatpar av binom.

b

Faktorisera ut x^2. Använd regeln för kvadraten av ett binom.

Lösning
a

Det finns ingen gemensam faktor i det givna uttrycket. Däremot kan x^2 faktoriseras ut ur de två första termerna och -9 ur de två sista.

p(x) = x^3 + x^2 - 9x - 9 ⇓ p(x) = x^2(x+1) - 9(x+1) Observera att (x+1) är en gemensam faktor i det resulterande uttrycket. Faktorisera sedan ut den! p(x) = x^2(x+1) - 9(x+1) ⇓ p(x) = (x+1)(x^2-9) Andragradsuttrycket inom den andra parentesen kan faktoriseras med hjälp av produkten av ett konjugatpar av binom. a^2-b^2 = (a+b)(a-b) Innan denna formel används, skriv om 9 som 3^2.

p(x) = (x+1)(x^2-9)
Rewrite

Skriv 9 som 3^2

p(x) = (x+1)(x^2-3^2)
FacDiffSquares

Faktorisera med konjugatregeln

p(x) = (x+1)(x+3)(x-3)

b

Observera att x^2 är en gemensam faktor. Börja sedan med att faktorisera ut den.

q(x) = x^4 - 8x^3 + 16x^2 ⇓ q(x) = x^2(x^2-8x+16) Nästa steg är att analysera andragradsuttrycket inom parenteserna. Mellanledet kan skrivas som 2* x* 4 och den tredje termen kan skrivas som 4^2. q(x) = x^2(x^2-2* x* 4+ 4^2) Uttrycket inom parenteserna har formen av kvadraten av ett binom. (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 I detta fall är a=x och b=4.

q(x) = x^2(x^2-2* x* 4+ 4^2)
FacNegPerfectSquare

Faktorisera med andra kvadreringsregeln

q(x) = x^2(x-4)^2


Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Polynom
Uppgift 2.1
Polynomet p(x) har grad 4. Vilken grad får det nya polynomet om p(x) multipliceras med polynomet q(x) som har grad 6?

multipliceras med q(x)=5x^3?

adderas med polynomet q(x) som har grad 6?

subtraheras med q(x)=5x^3?

Här ska vi alltså multiplicera polynomen p(x) av grad 4 och q(x) av grad 6. Enligt räknelagarna för polynom kommer gradtalet vara summan av gradtalen för de två ingående polynomen: 4+6=10. Nya polynomets grad kommer alltså vara 10.


Den enda förändringen från föregående deluppgift är att q(x) har grad 3 istället. Vi adderar gradtalen 4 och 3, så det nya polynomet kommer ha gradtalet 7.


Vi ska addera två polynom av grad 4 respektive 6. När man adderar polynom kommer graden att bli samma som för polynomet med högst grad, eller mindre. För att det ska kunna minska måste dock polynomen ha samma grad, t.ex. x^3+x^2 och - x^3: x^3+x^2 + (- x^3)=x^2. Men om graden inte är samma finns det inga termer av samma sort som kan ta ut den högsta exponenten. Det nya polynomet kommer därför i vårt fall ha samma grad som det med högst grad, dvs 6.


Här har vi subtraktion, men samma regler gäller som i föregående deluppgift. Eftersom gradtalen hos polynomen är olika även nu, 4 respektive 3, kommer gradtalet på nya polynomet bestämmas av polynomet med högst grad. Det nya polynomet får alltså grad 4.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Faktorisera polynomet så långt som möjligt. x^4-64

2x^2+20x+50

x^4-16x^3+64x^2

Vi kan inte bryta ut en gemensam faktor. Vi ser dock att 64 kan skrivas som 8^2. Om vi även skriver om x^4 som en potens med exponenten 2 så kan vi därefter faktorisera med konjugatregeln.

Nu har vi ett uttryck på formen a^2-b^2, där a=x^2 och b=8, och kan använda konjugatregeln för att faktorisera.


Koefficienterna 2 och 20 samt konstanten 50 är alla jämna tal vilket betyder att vi kan bryta ut 2 ur dem. Vi börjar med att göra detta.

Sedan ser vi att uttrycket innanför parentesen kan faktoriseras med första kvadreringsregeln.


I samtliga termer kan man bryta ut x^2 så vi börjar med att göra detta.

Uttrycket innanför parentesen kan faktoriseras med andra kvadreringsregeln.


U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Arean för en viss triangel kan skrivas A=x^2+6x/2, där x är triangelns höjd i cm. Hur många cm längre är basen jämfört med höjden?

Formeln för triangels area är A= bh2, där b är basen och h är höjden. I vår triangel är arean x^2+6x/2, vilket ger likheten bh/2=x^2+6x/2. Genom att skriva om täljarna på samma form genom faktorisering kan vi identifiera uttrycket för basen och jämföra. Vi vet att x är triangelns höjd, så vi bryter ut den åt höger.

Nu ser vi att basen är b=x+6. Eftersom höjden är x så är basen 6 cm längre än höjden.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Andgradspolynomet 63x^2-28 kan skrivas om som en produkt av tre faktorer. En av dessa faktorer är 3x-2 en annan 7. Vilken är den sista faktorern?

Vi börjar med att bryta ut största möjliga konstant ur termerna. Faktoriseras koefficienterna får man 63 &= 7* 9 28 &= 7* 4. Båda koefficienterna innehåller faktorn 7 så vi kan alltså bryta ut denna.

Nu har vi brytit ut ena faktorn. Vi fortsätter faktoriseringen genom att skriva om uttrycket innanför parenteserna med konjugatregeln.

Vi ser att det stämmer att en faktor blev 3x-2. Den sista faktorn är 3x+2.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Låt polynomet p(x)=x^2-6x+5. Ställ upp och förenkla p(a+3) så långt som möjligt. Svara på faktorform.

Skrivsättet p(a+3) betyder att vi ska sätta in a+3 på alla ställen där det står x. Vi gör det och förenklar.

Det som blir kvar efter förenklingen kan skrivas på faktorform med hjälp av konjugatregeln.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Ge ett exempel på ett polynom p(x) av grad två som har tre termer och som uppfyller att p(- 2)=15.

Eftersom polynomet ska vara av grad 2 och ha 3 termer måste vi ha en andragradsterm, en förstagradsterm och en konstantterm. Vi vet ännu inte om vi vill ha plus- eller minustecken mellan termerna eller vad koefficienterna kan vara. p(x)= x^2 x C Villkoret p(-2)=15 betyder att om vi sätter in -2 istället för x ska värdet bli 15. Vi kan börja med att se vad vi får om vi sätter in x=-2 samt plustecken mellan termerna. p(-2)=(-2)^2+(-2)+C Förenklar vi detta får vi följande. p(-2)=4+(-2)+C=2+C För att denna summa ska bli 15 måste vi sätta C till 13 eftersom p(-2)=2+13=15. Ett polynom som uppfyller villkoren är alltså p(x)= x^2 + x +13.

U
Ledtråd & Svar
L
Lösning

Polynom

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1​
=
=
√▢​
▢​√
∫▢▢​
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢​
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y