Skissa grafer med hjälp av asymptoter

$x$	$1.1$	$1.01$	$1.001$	$1.0001$	$\to 1^{+}$
$\frac{x ^{2} + x}{x - 1}$	$23.1$	$203.01$	$2003.001$	$20003.0001$	$\to \infty$

x

1.1

1.01

1.001

1.0001

\to 1^{+}

\frac{x ^{2} + x}{x - 1}

23.1

203.01

2003.001

20003.0001

\to \infty

$x$	$\frac{x ^{2} + x}{x - 1}$	$f (x)$
$- 2$	$\frac{( - 2 ) ^{2} + ( - 2 )}{- 2 - 1}$	$\sim - 0.67$
$0.5$	$\frac{0 . 5 ^{2} + 0 . 5}{0 . 5 - 1}$	$- 1.5$
$1.5$	$\frac{1 . 5 ^{2} + 1 . 5}{1 . 5 - 1}$	$7.5$
$4$	$\frac{4 ^{2} + 4}{4 - 1}$	$\sim 6.67$

x

\frac{x ^{2} + x}{x - 1}

f (x)

- 2

\frac{( - 2 ) ^{2} + ( - 2 )}{- 2 - 1}

\sim - 0.67

0.5

\frac{0 . 5 ^{2} + 0 . 5}{0 . 5 - 1}

- 1.5

1.5

\frac{1 . 5 ^{2} + 1 . 5}{1 . 5 - 1}

7.5

4

\frac{4 ^{2} + 4}{4 - 1}

\sim 6.67

Skissa grafen till funktionen

f (x) = \frac{x ^{2}}{x - 4} .

Vi ska skissa grafen till funktionen f(x) = x^2/x-4, och då är det lämpligt att använda derivata och asymptoter.

Stationära punkter

Vi börjar med att bestämma funktionens stationära punkter. För att hitta dem måste vi först derivera funktionen. Det gör vi med kvotregeln.

De stationära punkterna finns där derivatan är lika med 0. För att bestämma dessa ställer vi upp ekvationen f'(x) = 0 och löser den.

Eftersom det står (x-4)^2 i nämnaren kan inte x=4 vara en lösning eftersom det skulle leda till nolldivision. Nu fick vi inte det så vi kan gå vidare. Det finns alltså stationära punkter när x = 0 och x = 8. Vi sätter in dessa värden i f(x) för att beräkna motsvarande y-värden för punkterna. Vi börjar med x = 0.

Origo är tydligen en av punkterna. Vi fortsätter med den andra genom att sätta in x = 8.

De två stationära punkterna är alltså (0,0) och (8,16), och vi börjar vår skiss med att markera dessa i ett koordinatsystem.

För att avgöra om det är frågan om maximi-, minimi eller terrasspunkter undersöker vi andraderivatan i punkterna. Då måste vi först derivera f'(x) en gång till.

Vi sätter sedan in x = 0 för att bestämma andraderivatan i punkten (0,0).

Andraderivatan är negativ, vilket innebär att (0,0) är ett maximum. Vi sätter sedan in x = 8 och bestämmer punktens karaktär i (8,16).

Eftersom andraderivatan är positiv är punkten (8,16) ett minimum. Vi markerar punkternas karaktär i vår figur.

Vertikal asymptot

Nästa steg är att undersöka om grafen till funktionen har några vertikala asymptoter. Om vi tittar på funktionsuttrycket f(x) = x^2x-4 ser vi att det är odefinierat när x = 4 eftersom nämnaren i bråket då bli 0. Vi bekräftar att detta faktiskt leder till en asymptot genom att beräkna funktionsvärdet för x-värden närmare och närmare 4.

x	3.9	3.99	3.999	3.9999	→ 4^-
x^2/x-4	-152.1	-1592.01	-15 992.001	-159 992.0001	→ -∞

När vi närmar oss x = 4 från vänster går alltså funktionsvärdet mot -∞. Skulle vi göra samma sak från andra hållet skulle den gå mot ∞. Vi har alltså en vertikal asymptot i x = 4. Vi markerar den.

Sned asymptot

Det kan även finnas sneda asymptoter som grafen går mot när x går mot ∞ eller -∞. För att hitta dessa undersöker vi om gränsvärdet k = lim _(x→∞) f(x)/x existerar. Om det gör det kommer vi att få k-värdet för den sneda asymptoten. Vi ställer upp och beräknar gränsvärdet.

Det finns tydligen en sned asymptot när x→∞, och man kan se att det blir samma k-värde om man låter x→-∞. För att beräkna asymptotens m-värde använder man gränsvärdet m = lim _(x→∞) (f(x) - kx ). Vi ställer upp och beräknar detta.

Sätter vi in vårt k- och m-värde i räta linjens ekvation får vi får den sneda asymptoten y = x + 4. Vi markerar även den i vårt koordinatsystem

Extra punkter

I princip har vi nu allt som behövs för att göra en grov skiss av grafen, men det kan vara bekvämt med några extra punkter som ger en bättre känsla av dess form. Vi sätter in några x-värden i f(x) och beräknar motsvarande y-värden.

x	x^2/x - 4	f(x)
-4	( -4)^2/-4 - 4	-2
2	2^2/2 - 4	-2
6	6^2/6 - 4	18
12	12^2/12 - 4	18

Sätter vi ut dessa punkter blir det tydligare hur grafen kommer att se ut.

Rita grafen

Nu är vi till slut redo att rita grafen. Då kopplar vi samman punkterna och låter grafen gå mot asymptoterna. Vi får då något liknande följande graf.

Givet att

f (x) = \frac{x}{( x - 5 ) ( x ^{2} + 4 x )},

vilka av följande påståenden om funktionen är sanna?

A : Grafen n \ddot{a} rmar sig en vertikal asymptot n \ddot{a} r x g \overset{˚}{a} r mot - 5 . B : Funktionen \ddot{a} r inte definierad i x = 0 . C : Funktionen har den vertikala asymptoten x = 0 . D : f (x) \to \infty d \overset{˚}{a} x \to 5^{+} . E : x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x} = 1 .

Vi undersöker ett påstående i taget.

Påstående A

För att grafen ska närma sig en vertikal asymptot när x går mot -5 måste funktionen gå mot ∞ eller -∞ när den närmar sig x=-5. Men eftersom funktionen är definierad för detta x finns det inget som hindrar oss från att sätta in x=-5 i funktionen och beräkna själva funktionsvärdet.

Vi ser att funktionen alltså inte går mot ∞ eller -∞ när x går mot -5, utan antar värdet 110 för detta x. Påstående A är alltså falskt.

Påstående B

Nu ska vi avgöra om funktionen är odefinierad för x=0. En vanlig orsak till att funktioner blir odefinierade är nolldivision, vilket är precis vad man får om man sätter in x=0 i f(x) eftersom faktorn (x^2+4x) blir 0 då. f(0)=0/(0-5)(0^2+4*0)=0/-5*0=0/0 Det stämmer alltså att f(x) är odefinierad för x=0, så påstående B är sant.

Påstående C

Många funktioner är odefinierade där de har vertikala asymptoter, och eftersom vi vet att funktionen är odefinierad i x=0 kan man lätt tro att den har en vertikal asymptot där. Vi måste dock undersöka detta genom att bestämma vad funktionen går mot när x går mot 0, dvs. genom att beräkna gränsvärdet lim _(x → 0) x/(x-5)(x^2+4x). Sätter vi in x=0 direkt i detta funktionsuttryck får vi nolldivision, så vi måste skriva om uttrycket först. Vi kan t.ex. bryta ut x ur (x^2+4x) och förkorta bort det.

Nu beräknar vi gränsvärdet då x går mot 0 för detta uttryck istället.

Funktionen går mot - 120 när x går mot 0, vilket innebär att funktionen alltså inte har den vertikala asymptoten x=0. För att det skulle vara fallet hade funktionen behövt gå mot ∞ eller -∞ när x närmar sig 0. Påstående C är alltså falskt.

Påstående D

Uttrycket f(x)→∞dåx→5^+ säger att funktionsvärdet går mot ∞ när x går mot 5 från höger, dvs. när man närmar sig x=5 från större värden än 5. Vi kan undersöka om detta stämmer genom att sätta in värden som är större än 5, men kommer närmare och närmare 5, i funktionen.

x	5.1	5.01	5.001	5.0001	→ 5^+
x/(x-5)(x^2+4x)	~1	~11	~111	~1111	→ ∞

Det verkar som att funktionen går mot ∞ när x går mot 5 från höger så påstående D är sant.

Påstående E

Gränsvärdet lim _(x → ∞) f(x)/x=1 säger att funktionen har en sned asymptot med k-värdet 1. För att avgöra om det stämmer beräknar vi helt enkelt gränsvärdet lim _(x → ∞) f(x)x.

Eftersom gränsvärdet existerar har funktionen en sned asymptot, men den har inte k-värdet 1, utan 0. Påstående E är alltså falskt.

Skissa grafer med hjälp av asymptoter

Skissa en graf med derivata och asymptoter

Stationära punkter

Vertikal asymptot

Sned asymptot

Extra punkter

Rita grafen

Påstående A

Påstående B

Påstående C

Påstående D

Påstående E

Skissa grafer med hjälp av asymptoter

Rekommenderade uppgifter

	2 sidor teori
	6 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.