Kvotregeln

För att bevisa kvotregeln börjar man med att skriva om uttrycket så att det inte längre är en kvot.

\frac{f ( x )}{g ( x )} = f (x) \cdot \frac{1}{g ( x )} = f (x) (g (x))^{- 1}

Om man nu ser

(g (x))^{- 1}

som en ny funktion som multipliceras med

f (x)

kan man använda produktregeln för att börja derivera.

\frac{f ( x )}{g ( x )} = f (x) (g (x))^{- 1}

Derivera funktion

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x) (g (x))^{- 1})

$D (f \cdot g) = D (f) \cdot g + f \cdot D (g)$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} + f (x) \cdot D ((g (x))^{- 1})

Nu kan man använda kedjeregeln på den sista derivatan, där man ser

u^{- 1}

u = g (x)

som den inre.

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} + f (x) \cdot D ((g (x))^{- 1})

$D (u^{n}) = n u^{n - 1} \cdot D (u)$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} + f (x) \cdot (- 1 \cdot (g (x))^{- 2}) \cdot D (g (x))

Multiplicera faktorer

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} - f (x) \cdot (g (x))^{- 2} \cdot D (g (x))

$D (y) = y^{'}$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = f^{'} (x) \cdot (g (x))^{- 1} - f (x) \cdot (g (x))^{- 2} \cdot g^{'} (x)

För att få derivatan på en mer lättläst form skriver man sedan om de negativa exponenterna som bråk och sätter dem på gemensam nämnare.

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = f^{'} (x) \cdot (g (x))^{- 1} - f (x) \cdot (g (x))^{- 2} \cdot g^{'} (x)

$a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = f^{'} (x) \cdot \frac{1}{g ( x )} - f (x) \cdot \frac{1}{( g ( x ) ) ^{2}} \cdot g^{'} (x)

Multiplicera faktorer

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x )}{g ( x )} - \frac{f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

Förläng $\frac{f ^{'} ( x )}{g ( x )}$ med $g (x)$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}} - \frac{f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

Subtrahera bråk

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

Nu står kvotregeln på den form man brukar presentera den:

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}} .