body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

{{ toc.name }}

{{ toc.signature }}

{{ toc.name }} {{ 'ml-btn-view-details' | message }}

{{ stepNode.name }}

{{ 'ml-toc-proceed' | message }}

Ett fel uppstod, försök igen senare!

Kapitel {{ article.chapter.number }}

{{ article.number }}.

{{ article.displayTitle }}

{{ article.intro.summary }}

{{ 'ml-btn-show-less' | message }} {{ 'ml-btn-show-more' | message }}

{{ 'ml-heading-abilities-covered' | message }}

{{ ability.displayTitle }}

{{ 'ml-heading-lesson-settings' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-solutions' | message }}

{{ 'ml-lesson-show-hints' | message }}

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount}}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount}}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

Kreditlista Bilder

{{ item.file.title }}
{{ presentation }}

Inga inlägg om filrättigheter hittades

Bevis

Kvotregeln

Ibland kan en funktion delas upp i två andra funktioner, där den ena divideras med den andra.

h (x) = \frac{f ( x )}{g ( x )}

För att derivera funktioner som är kvoter av andra funktioner kan man använda kvotregeln.

Bevis

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

För att bevisa kvotregeln börjar man med att skriva om uttrycket så att det inte längre är en kvot.

\frac{f ( x )}{g ( x )} = f (x) \cdot \frac{1}{g ( x )} = f (x) (g (x))^{- 1}

Om man nu ser

(g (x))^{- 1}

som en ny funktion som multipliceras med

f (x)

kan man använda produktregeln för att börja derivera.

\frac{f ( x )}{g ( x )} = f (x) (g (x))^{- 1}

Derivera funktion

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x) (g (x))^{- 1})

$D (f \cdot g) = D (f) \cdot g + f \cdot D (g)$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} + f (x) \cdot D ((g (x))^{- 1})

Nu kan man använda kedjeregeln på den sista derivatan, där man ser

u^{- 1}

som den yttre funktionen och

u = g (x)

som den inre.

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} + f (x) \cdot D ((g (x))^{- 1})

DeriveMonomChain

$D (u^{n}) = n u^{n - 1} \cdot D (u)$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} + f (x) \cdot (- 1 \cdot (g (x))^{- 2}) \cdot D (g (x))

Multiplicera faktorer

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = D (f (x)) \cdot (g (x))^{- 1} - f (x) \cdot (g (x))^{- 2} \cdot D (g (x))

NotationDtoPrim

$D (y) = y^{'}$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = f^{'} (x) \cdot (g (x))^{- 1} - f (x) \cdot (g (x))^{- 2} \cdot g^{'} (x)

För att få derivatan på en mer lättläst form skriver man sedan om de negativa exponenterna som bråk och sätter dem på gemensam nämnare.

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = f^{'} (x) \cdot (g (x))^{- 1} - f (x) \cdot (g (x))^{- 2} \cdot g^{'} (x)

NegExponentToFrac

$a^{- b} = \frac{1}{a ^{b}}$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = f^{'} (x) \cdot \frac{1}{g ( x )} - f (x) \cdot \frac{1}{( g ( x ) ) ^{2}} \cdot g^{'} (x)

Multiplicera faktorer

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x )}{g ( x )} - \frac{f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

Förläng $\frac{f ^{'} ( x )}{g ( x )}$ med $g (x)$

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}} - \frac{f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

Subtrahera bråk

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}}

Nu står kvotregeln på den form man brukar presentera den:

D (\frac{f ( x )}{g ( x )}) = \frac{f ^{'} ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{( g ( x ) ) ^{2}} .

{{ grade.displayTitle }}