Bevis

Kvotregeln

Ibland kan en funktion delas upp i två andra funktioner, där den ena divideras med den andra. h(x)=f(x)g(x) h(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} För att derivera funktioner som är kvoter av andra funktioner kan man använda kvotregeln.

Bevis

D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2D\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left(g(x) \right)^2}
För att bevisa kvotregeln börjar man med att skriva om uttrycket så att det inte längre är en kvot. f(x)g(x)=f(x)1g(x)=f(x)(g(x))-1 \dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)} = f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1} Om man nu ser (g(x))-1\left( g(x) \right)^{\text{-}1} som en ny funktion som multipliceras med f(x)f(x) kan man använda produktregeln för att börja derivera.
f(x)g(x)=f(x)(g(x))-1\dfrac{f(x)}{g(x)} = f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1}
D(f(x)g(x))=D(f(x)(g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left( f(x) \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1+f(x)D((g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot D\left( \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
Nu kan man använda kedjeregeln på den sista derivatan, där man ser u-1u^{\text{-}1} som den yttre funktionen och u=g(x)u = g(x) som den inre.
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1+f(x)D((g(x))-1)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot D\left( \left( g(x) \right)^{\text{-}1} \right)
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1+f(x)(-1(g(x))-2)D(g(x))D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} + f(x) \cdot \left( \text{-}1 \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \right) \cdot D\left( g(x) \right)
D(f(x)g(x))=D(f(x))(g(x))-1f(x)(g(x))-2D(g(x))D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = D\left(f(x)\right) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot D\left( g(x) \right)
D(f(x)g(x))=f(x)(g(x))-1f(x)(g(x))-2g(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot g'(x)
För att få derivatan på en mer lättläst form skriver man sedan om de negativa exponenterna som bråk och sätter dem på gemensam nämnare.
D(f(x)g(x))=f(x)(g(x))-1f(x)(g(x))-2g(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}1} - f(x) \cdot \left( g(x) \right)^{\text{-}2} \cdot g'(x)
D(f(x)g(x))=f(x)1g(x)f(x)1(g(x))2g(x)D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = f'(x) \cdot \dfrac{1}{g(x)} - f(x) \cdot \dfrac{1}{\left( g(x) \right)^2} \cdot g'(x)
D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x)}{g(x)} - \dfrac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
D(f(x)g(x))=f(x)g(x)(g(x))2f(x)g(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x)}{\left( g(x) \right)^2} - \dfrac{f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}
Nu står kvotregeln på den form man brukar presentera den: D(f(x)g(x))=f(x)g(x)f(x)g(x)(g(x))2. D\left( \dfrac{f(x)}{g(x)} \right) = \dfrac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{\left( g(x) \right)^2}.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}