Metod

Bestäm en sned asymptot

När en funktion har en sned asymptot, antingen när $x$ går mot $\infty$ eller $\text{-} \infty,$ kan denna beskrivas med räta linjens ekvation: $y = kx + m.$ För att bestämma asymptoten börjar man med att bestämma $k$-värdet, följt av $m$-värdet och till sist sätter man in dessa i ekvationen. Man kan t.ex. bestämma asymptoten till funktionen $f(x) = \dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}$ när $x$ går mot $\infty.$

1

Bestäm $k= \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$

Om det finns en sned asymptot bestämmer man $k$-värdet genom att dividera $f(x)$ med $x$ och låta kvoten gå mot $\infty$ eller $\text{-} \infty,$ beroende på var man söker asymptoten. $k = \lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ Först bestämmer man $\frac{f(x)}{x}.$

$\dfrac{f(x)}{x}$

Sätt in uttryck

$\left.\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1}\middle/x\right.$

$\left.\dfrac{a}{b}\middle/c\right.= \dfrac{a}{b\cdot c}$

$\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{\left(x^2 + 1 \right) \cdot x}$

Multiplicera in $x$

$\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^3 + x}$

Sedan beräknar man gränsvärdet när $x$ går mot $\infty$.

$\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^3 + x}$

Beräkna gränsvärde

Förkorta med $x^3$

$\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\left.\left( 3x^3 + x^2 - 3x + 2 \right)\middle/x^3\right.}{\left.\left( x^3 + x \right)\middle/x^3\right.}$

Dela upp bråk

$\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{3x^3}{x^3} + \frac{x^2}{x^3} - \frac{3x}{x^3} + \frac{2}{x^3}}{\frac{x^3}{x^3} + \frac{x}{x^3}}$

Förenkla kvot

$\lim \limits_{x \to \infty} \frac{3 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x^2} + \frac{2}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$

$\dfrac{3 + 0 - 0 + 0}{1 + 0}$

Förenkla termer

$\dfrac{3}{1}$

Beräkna kvot

$3$

Man får alltså att $k = 3.$

2

Bestäm $m = \lim \limits_{x \to \infty} \left( f(x) - kx \right)$

Med hjälp av $k$-värdet kan man sedan bestämma $m$-värdet. Det gör man med gränsvärdet $m = \lim \limits_{x \to \infty} \left( f(x) - kx \right).$ På samma sätt som tidigare bestämmer man först uttrycket inne i gränsvärdet, alltså $f(x) - kx,$ och förenklar det.

$f(x) - kx$

Sätt in uttryck

$\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1} - 3x$

Förenkla

$a = \dfrac{\left(x^2 + 1 \right)\cdot a}{\left(x^2 + 1 \right)}$

$\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1} - \dfrac{\left(x^2 + 1\right) 3x}{x^2 + 1}$

Multiplicera in $3x$

$\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2}{x^2 + 1} - \dfrac{3x^3 + 3x}{x^2 + 1}$

Subtrahera bråk

$\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2 - \left( 3x^3 + 3x \right)}{x^2 + 1}$

Ta bort parentes & byt tecken

$\dfrac{3x^3 + x^2 - 3x + 2 - 3x^3 - 3x}{x^2 + 1}$

Förenkla termer

$\dfrac{x^2 - 6x + 2}{x^2 + 1}$

Sedan beräknar man gränsvärdet när $x$ går mot $\infty$ för att bestämma $m.$

$\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{x^2 - 6x + 2}{x^2 + 1}$

Beräkna gränsvärde

Förkorta med $x^2$

$\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\left.\left( x^2 - 6x + 2 \right)\middle/x^2\right.}{\left.\left( x^2 + 1 \right)\middle/x^2\right.}$

Dela upp bråk

$\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{\frac{x^2}{x^2} - \frac{6x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{1}{x^2}}$

Förenkla kvot

$\lim \limits_{x \to \infty} \dfrac{1 - \frac{6}{x} + \frac{2}{x^2}}{1 + \frac{1}{x^2}}$

$x \to \infty$

$\dfrac{1 - 0 + 0}{1 + 0}$

Förenkla termer

$\dfrac{1}{1}$

Beräkna kvot

$1$

Asymptoten har alltså $m$-värdet $1.$

3

Bestäm asymptoten

För att till sist bestämma asymptoten är det bara att sätta in $k$- och $m$-värdena i ekvationen för en rät linje. $y = kx + m$ Här får man alltså asymptoten $y = 3x + 1.$