När en funktion har en sned asymptot, antingen när
x går mot
∞ eller
-∞, kan denna beskrivas med räta linjens ekvation:
y=kx+m. För att bestämma asymptoten börjar man med att bestämma
k-värdet, följt av
m-värdet och till sist sätter man in dessa i ekvationen. Man kan t.ex. bestämma asymptoten till funktionen
f(x)=x2+13x3+x2−3x+2
när
x går mot
∞.
Bestäm k=x→∞limxf(x)
expand_more Om det finns en sned asymptot bestämmer man
k-värdet genom att dividera
f(x) med
x och låta kvoten gå mot
∞ eller
-∞, beroende på var man söker asymptoten.
k=x→∞limxf(x)
Först bestämmer man
xf(x).
xf(x)
x2+13x3+x2−3x+2/x
(x2+1)⋅x3x3+x2−3x+2
x3+x3x3+x2−3x+2
Sedan beräknar man .
x→∞limx3+x3x3+x2−3x+2
x→∞lim(x3+x)/x3(3x3+x2−3x+2)/x3
x→∞limx3x3+x3xx33x3+x3x2−x33x+x32
x→∞lim1+x213+x1−x23+x32
1+03+0−0+0
13
3
Man får alltså att
k=3.
Bestäm m=x→∞lim(f(x)−kx)
expand_more Med hjälp av
k-värdet kan man sedan bestämma
m-värdet. Det gör man med gränsvärdet
m=x→∞lim(f(x)−kx).
På samma sätt som tidigare bestämmer man först uttrycket inne i gränsvärdet, alltså
f(x)−kx, och förenklar det.
f(x)−kx
x2+13x3+x2−3x+2−3x
x2+13x3+x2−3x+2−x2+1(x2+1)3x
x2+13x3+x2−3x+2−x2+13x3+3x
x2+13x3+x2−3x+2−(3x3+3x)
x2+13x3+x2−3x+2−3x3−3x
x2+1x2−6x+2
Sedan beräknar man gränsvärdet när
x går mot
∞ för att bestämma
m.
x→∞limx2+1x2−6x+2
x→∞lim(x2+1)/x2(x2−6x+2)/x2
x→∞limx2x2+x21x2x2−x26x+x22
x→∞lim1+x211−x6+x22
1+01−0+0
11
1
Asymptoten har alltså
m-värdet
1.
Bestäm asymptoten
expand_more För att till sist bestämma asymptoten är det bara att sätta in
k- och
m-värdena i ekvationen för en rät linje.
y=kx+m
Här får man alltså asymptoten
y=3x+1.