Metod

Bestäm en sned asymptot

När en funktion har en sned asymptot, antingen när x går mot

\infty

eller

- \infty,

kan denna beskrivas med räta linjens ekvation: y=kx+m. För att bestämma asymptoten börjar man med att bestämma k-värdet, följt av m-värdet och till sist sätter man in dessa i ekvationen. Man kan t.ex. bestämma asymptoten till funktionen

när x går mot

\infty .

1

Bestäm

k = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x}

Om det finns en sned asymptot bestämmer man k-värdet genom att dividera f(x) med x och låta kvoten gå mot

\infty

eller

- \infty,

beroende på var man söker asymptoten.

Först bestämmer man

\frac{f ( x )}{x} .

\frac{f ( x )}{x}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} + 1} / x

DivFracSL

$\frac{a}{b} / c = \frac{a}{b \cdot c}$

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{( x ^{2} + 1 ) \cdot x}

Distr

Multiplicera in x

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{3} + x}

Sedan beräknar man gränsvärdet när x går mot

\infty

.

x \to \infty lim \frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{3} + x}

Beräkna gränsvärde

ReduceFrac

Förkorta med x3

x \to \infty lim \frac{( 3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2 ) / x ^{3}}{( x ^{3} + x ) / x ^{3}}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

x \to \infty lim \frac{\frac{3 x ^{3}}{x ^{3}} + \frac{x ^{2}}{x ^{3}} - \frac{3 x}{x ^{3}} + \frac{2}{x ^{3}}}{\frac{x ^{3}}{x ^{3}} + \frac{x}{x ^{3}}}

SimpQuot

Förenkla kvot

x \to \infty lim \frac{3 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x ^{2}} + \frac{2}{x ^{3}}}{1 + \frac{1}{x ^{2}}}

To

$x \to \infty$

\frac{3 + 0 - 0 + 0}{1 + 0}

SimpTerms

Förenkla termer

\frac{3}{1}

CalcQuot

Beräkna kvot

3

Man får alltså att k=3.

2

Bestäm

m = x \to \infty lim (f (x) - k x)

Med hjälp av k-värdet kan man sedan bestämma m-värdet. Det gör man med gränsvärdet

På samma sätt som tidigare bestämmer man först uttrycket inne i gränsvärdet, alltså f(x)−kx, och förenklar det.

f(x)−kx

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} + 1} - 3 x

Förenkla

NumberToFrac

$a = \frac{( x ^{2} + 1 ) \cdot a}{( x ^{2} + 1 )}$

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} + 1} - \frac{( x ^{2} + 1 ) 3 x}{x ^{2} + 1}

Distr

Multiplicera in 3x

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} + 1} - \frac{3 x ^{3} + 3 x}{x ^{2} + 1}

SubFrac

Subtrahera bråk

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2 - ( 3 x ^{3} + 3 x )}{x ^{2} + 1}

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2 - 3 x ^{3} - 3 x}{x ^{2} + 1}

AddSubTerms

Förenkla termer

\frac{x ^{2} - 6 x + 2}{x ^{2} + 1}

Sedan beräknar man gränsvärdet när x går mot

\infty

för att bestämma m.

x \to \infty lim \frac{x ^{2} - 6 x + 2}{x ^{2} + 1}

Beräkna gränsvärde

ReduceFrac

Förkorta med x2

x \to \infty lim \frac{( x ^{2} - 6 x + 2 ) / x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) / x ^{2}}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

x \to \infty lim \frac{\frac{x ^{2}}{x ^{2}} - \frac{6 x}{x ^{2}} + \frac{2}{x ^{2}}}{\frac{x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{2}}}

SimpQuot

Förenkla kvot

x \to \infty lim \frac{1 - \frac{6}{x} + \frac{2}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x ^{2}}}

To

$x \to \infty$

\frac{1 - 0 + 0}{1 + 0}

SimpTerms

Förenkla termer

\frac{1}{1}

CalcQuot

Beräkna kvot

1

Asymptoten har alltså m-värdet 1.

3

Bestäm asymptoten

För att till sist bestämma asymptoten är det bara att sätta in k- och m-värdena i ekvationen för en rät linje.

y=kx+m

Här får man alltså asymptoten

y=3x+1.