Metod

Bestäm en sned asymptot

När en funktion har en sned asymptot, antingen när $x$ går mot $\infty$ eller $- \infty,$ kan denna beskrivas med räta linjens ekvation: $y = k x + m .$ För att bestämma asymptoten börjar man med att bestämma $k$ -värdet, följt av $m$ -värdet och till sist sätter man in dessa i ekvationen. Man kan t.ex. bestämma asymptoten till funktionen $f (x) = \frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} + 1}$ när $x$ går mot $\infty .$

1

Bestäm

k = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x}

Om det finns en sned asymptot bestämmer man

k

-värdet genom att dividera

f (x)

med

x

och låta kvoten gå mot

\infty

eller

- \infty,

beroende på var man söker asymptoten.

k = x \to \infty lim \frac{f ( x )}{x}

Först bestämmer man

\frac{f ( x )}{x} .

\frac{f ( x )}{x}

SubstituteExpressionsSätt in uttryck

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} + 1} / x

DivFracSL

\frac{a}{b} / c = \frac{a}{b \cdot c}

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{( x ^{2} + 1 ) \cdot x}

DistrMultiplicera in

x

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{3} + x}

Sedan beräknar man gränsvärdet när

x

går mot

\infty

.

x \to \infty lim \frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{3} + x}

Beräkna gränsvärde

ReduceFracFörkorta med

x^{3}

x \to \infty lim \frac{( 3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2 ) / x ^{3}}{( x ^{3} + x ) / x ^{3}}

WriteSumFracDela upp bråk

x \to \infty lim \frac{\frac{3 x ^{3}}{x ^{3}} + \frac{x ^{2}}{x ^{3}} - \frac{3 x}{x ^{3}} + \frac{2}{x ^{3}}}{\frac{x ^{3}}{x ^{3}} + \frac{x}{x ^{3}}}

SimpQuotFörenkla kvot

x \to \infty lim \frac{3 + \frac{1}{x} - \frac{3}{x ^{2}} + \frac{2}{x ^{3}}}{1 + \frac{1}{x ^{2}}}

To

x \to \infty

\frac{3 + 0 - 0 + 0}{1 + 0}

SimpTermsFörenkla termer

\frac{3}{1}

CalcQuotBeräkna kvot

3

Man får alltså att

k = 3 .

2

Bestäm

m = x \to \infty lim (f (x) - k x)

Med hjälp av

k

-värdet kan man sedan bestämma

m

-värdet. Det gör man med gränsvärdet

m = x \to \infty lim (f (x) - k x) .

På samma sätt som tidigare bestämmer man först uttrycket inne i gränsvärdet, alltså

f (x) - k x,

och förenklar det.

f (x) - k x

SubstituteExpressionsSätt in uttryck

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} + 1} - 3 x

Förenkla

NumberToFrac

a = \frac{( x ^{2} + 1 ) \cdot a}{( x ^{2} + 1 )}

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} + 1} - \frac{( x ^{2} + 1 ) 3 x}{x ^{2} + 1}

DistrMultiplicera in

3 x

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2}{x ^{2} + 1} - \frac{3 x ^{3} + 3 x}{x ^{2} + 1}

SubFracSubtrahera bråk

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2 - ( 3 x ^{3} + 3 x )}{x ^{2} + 1}

RemoveParSignsTa bort parentes & byt tecken

\frac{3 x ^{3} + x ^{2} - 3 x + 2 - 3 x ^{3} - 3 x}{x ^{2} + 1}

AddSubTermsFörenkla termer

\frac{x ^{2} - 6 x + 2}{x ^{2} + 1}

Sedan beräknar man gränsvärdet när

x

går mot

\infty

för att bestämma

m .

x \to \infty lim \frac{x ^{2} - 6 x + 2}{x ^{2} + 1}

Beräkna gränsvärde

ReduceFracFörkorta med

x^{2}

x \to \infty lim \frac{( x ^{2} - 6 x + 2 ) / x ^{2}}{( x ^{2} + 1 ) / x ^{2}}

WriteSumFracDela upp bråk

x \to \infty lim \frac{\frac{x ^{2}}{x ^{2}} - \frac{6 x}{x ^{2}} + \frac{2}{x ^{2}}}{\frac{x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{1}{x ^{2}}}

SimpQuotFörenkla kvot

x \to \infty lim \frac{1 - \frac{6}{x} + \frac{2}{x ^{2}}}{1 + \frac{1}{x ^{2}}}

To

x \to \infty

\frac{1 - 0 + 0}{1 + 0}

SimpTermsFörenkla termer

\frac{1}{1}

CalcQuotBeräkna kvot

1

Asymptoten har alltså

m

-värdet

1 .

3

Bestäm asymptoten

För att till sist bestämma asymptoten är det bara att sätta in $k$ - och $m$ -värdena i ekvationen för en rät linje. $y = k x + m$ Här får man alltså asymptoten $y = 3 x + 1 .$