Skissa grafer med hjälp av asymptoter

$x$	$1.1$	$1.01$	$1.001$	$1.0001$	$\to 1^{+}$
$\frac{x ^{2} + x}{x - 1}$	$23.1$	$203.01$	$2003.001$	$20003.0001$	$\to \infty$

x

1.1

1.01

1.001

1.0001

\to 1^{+}

\frac{x ^{2} + x}{x - 1}

23.1

203.01

2003.001

20003.0001

\to \infty

$x$	$\frac{x ^{2} + x}{x - 1}$	$f (x)$
$- 2$	$\frac{( - 2 ) ^{2} + ( - 2 )}{- 2 - 1}$	$\sim - 0.67$
$0.5$	$\frac{0 . 5 ^{2} + 0 . 5}{0 . 5 - 1}$	$- 1.5$
$1.5$	$\frac{1 . 5 ^{2} + 1 . 5}{1 . 5 - 1}$	$7.5$
$4$	$\frac{4 ^{2} + 4}{4 - 1}$	$\sim 6.67$

x

\frac{x ^{2} + x}{x - 1}

f (x)

- 2

\frac{( - 2 ) ^{2} + ( - 2 )}{- 2 - 1}

\sim - 0.67

0.5

\frac{0 . 5 ^{2} + 0 . 5}{0 . 5 - 1}

- 1.5

1.5

\frac{1 . 5 ^{2} + 1 . 5}{1 . 5 - 1}

7.5

4

\frac{4 ^{2} + 4}{4 - 1}

\sim 6.67

För att skissa grafen till h(x) använder vi en kombination av funktionens derivata och asymptoter. Vi kan börja med att bestämma eventuella asymptoter till funktionen.

Vertikala asymptoter

För att avgöra om funktionen har några vertikala asymptoter undersöker vi om funktionsuttrycket 1/(x^3-x^2)(x^2-3x)+1 går mot ∞ eller -∞ när funktionen närmar sig något x-värde. Detta kommer att ske om kvoten i uttrycket går mot ∞ eller -∞, vilket i sig inträffar om nämnaren går mot 0. Vi bestämmer för vilka x nämnaren är lika med 0 genom att lösa ekvationen (x^3-x^2)(x^2-3x)=0. Från dessa faktorer kan vi bryta ut x^2 respektive x och sedan multiplicera ihop dem till x^3. &x^2(x-1)* x(x-3)=0 & ⇕ & x^3(x-1)(x-3)=0 Denna ekvation kan vi lösa med nollproduktmetoden.

När x går mot något av dessa tre x-värden går nämnaren mot 0 och funktionen mot ∞ eller -∞. Detta innebär att funktionen har de tre vertikala asymptoterna x=0, x=1 och x=3. Vi ritar in dessa i ett koordinatsystem. Asymptoten x=0 motsvarar y-axeln, så den behöver vi inte rita eftersom den redan finns där.

Sneda asymptoter

Vi bestämmer eventuella sneda asymptoter genom att beräkna gränsvärdet lim _(x→∞)h(x)/x. Om gränsvärdet existerar så motsvarar det den sneda asymptotens k-värde. Vi sätter in vår funktion, förenklar och bestämmer gränsvärdet.

Funktionen har alltså en sned asymptot med k-värdet 0. Detta innebär att asymptoten är horisontell, och vi bestämmer dess y-värde genom att bestämma gränsvärdet lim _(x→∞)h(x). Vi sätter in funktionsuttrycket och beräknar.

Den horisontella asymptoten har alltså ekvationen y=1. Vi ritar denna linje i koordinatsystemet.

Stationära punkter

Nu bestämmer vi funktionens stationära punkter genom att derivera funktionen och lösa ekvationen h'(x)=0. Vi multiplicerar först ihop parenteserna i nämnaren på den första termen och använder sedan kvotregeln för att derivera.

Nu sätter vi derivatan lika med 0 och löser ekvationen. Då börjar vi med att multiplicera med nämnaren så att den försvinner. Det finns en risk att vi introducerar falska rötter när vi multiplicerar med 0, men vi vet redan att nämnaren har nollställena x = 0, x = 1 och x = 3, så skulle dessa dyka upp som lösningar vet vi att de är falska.

Eftersom vi bara ska skissa funktionen kan vi räkna ut mer ungefärliga x-värden genom att slå in dessa uttryck på räknaren. Då får vi att x_1≈0.7 och x_2≈2.5. Funktionen har alltså stationära punkter för dessa x-värden. Vi sätter in dem i funktionen för att bestämma motsvarande y-värden.

Funktionens ena stationära punkt är alltså ungefär (0.7,5.2). Nu sätter vi in x≈2.5 istället.

Funktionens andra stationära punkt har de ungefärliga koordinaterna (2.5,0.9).

Stationära punkters karaktär

För att avgöra de stationära punkternas karaktär brukar vi använda andraderivatan. I det här fallet betyder det dock att vi måste göra en ganska jobbig derivering, så vi gör en teckentabell istället. Vi inkluderar inte bara de stationära punkterna och intervallen mellan dessa i tabellen, utan även asymptoter. Det är nämligen viktigt att hålla koll på var dessa finns när vi ska avgöra hur funktionen beter sig till höger och vänster om de stationära punkterna. Vi börjar med att fylla i det vi vet.

x		0		0.7		1		2.5		3
h'(x)		odef.		0		odef.		0		odef.
h(x)		odef.				odef.				odef.

Nu tar vi reda på om h(x) är växande eller avtagande på intervallen mellan punkterna och asymptoterna. Vi väljer därför något x-värde på respektive intervall och sätter in det i h'(x). Vi väljer x-värdena -1, 0.5, 0.8, 2, 2.8 och 4.

x	-5x^2+16x-9/(x^4-4x^3+3x^2)^2	h'(x)	+/-
-1	-5( -1)^2+16( -1)-9/(( -1)^4-4( -1)^3+3*( -1)^2)^2	~-0.5	-
0.5	-5* 0.5^2+16* 0.5-9/( 0.5^4-4* 0.5^3+3* 0.5^2)^2	~-23	-
0.8	-5* 0.8^2+16* 0.8-9/( 0.8^4-4* 0.8^3+3* 0.8^2)^2	~8	+
2	-5* 2^2+16* 2-9/( 2^4-4* 2^3+3* 2^2)^2	~0.2	+
2.8	-5* 2.8^2+16* 2.8-9/( 2.8^4-4* 2.8^3+3* 2.8^2)^2	~-0.4	-
4	-5* 4^2+16* 4-9/( 4^4-4* 4^3+3* 4^2)^2	~-0.01	-

Nu fyller vi i derivatans tecken på teckentabellens andra rad. Samtidigt fyller vi i grafens utseende på tredje raden med hjälp av detta. En positiv derivata ger en växande funktion (↗) och en negativ derivata ger en avtagande funktion (↘).

x		0		0.7		1		2.5		3
h'(x)	-	odef.	-	0	+	odef.	+	0	-	odef.	-
h(x)	↘	odef.	↘	Minimum	↗	odef.	↗	Maximum	↘	odef.	↘

Från denna tabell kan vi bl.a. läsa av att den stationära punkten i x≈0.7 är en minimipunkt och att den stationära punkten i x≈2.5 är en maximipunkt. Vi markerar detta.

Skissa grafen

Nu återstår bara att rita själva kurvan och till vår hjälp har vi teckentabellen och asymptoterna. Vi kan börja med att rita ut grafen omkring minimipunkten, där kurvan kommer att gå mot positiva oändligheten när den närmar sig de vertikala asymptoterna x=0 och x=1. Till vänster och höger om maximipunkten kommer grafen istället att gå mot negativa oändligheten när den närmar sig x=1 respektive x=3.

Nu undersöker vi hur grafen ser ut för x<0. I teckentabellen ser vi att funktionen är avtagande för dessa x-värden. Det måste innebära att grafen går mot negativa oändligheten när den närmar sig asymptoten x=0. Vi vet också att kurvan närmar sig y=1 när x går mot -∞.

Från tabellen får vi också att grafen är avtagande för x-värden större än 3. Det innebär att kurvan kommer ner längs asymptoten x=3 för att sedan vika av åt höger längs y=1.

Nu har vi skissat grafen till h(x)= 1(x^3-x^2)(x^2-3x)+1.

Skissa grafer med hjälp av asymptoter

Skissa en graf med derivata och asymptoter

Vertikala asymptoter

Sneda asymptoter

Stationära punkter

Stationära punkters karaktär

Skissa grafen

Skissa grafer med hjälp av asymptoter

Rekommenderade uppgifter

	2 sidor teori
	6 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.