3. Skissa grafer med hjälp av asymptoter
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 6
3.
Skissa grafer med hjälp av asymptoter
Lektionen fokuserar på att skissa grafer med hjälp av asymptoter. Den förklarar hur man bestämmer stationära punkter till en funktion och avgör deras karaktär. Sidan tar upp hur man löser ekvationer och markerar punkter i ett koordinatsystem, samt hur man använder första- och andraderivatan för att avgöra punkternas karaktär. Det finns detaljerade exempel och förklaringar som gör det möjligt för användaren att förstå och tillämpa dessa metoder. Asymptoter används som ett användbart skissverktyg eftersom de ger information om hur grafen till en funktion beter sig när avståndet till origo blir väldigt stort. Mathleaks erbjuder en digital plattform som gör det enkelt att studera matematik online.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 2 sidor teori |
| | 6 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Skissa grafer med hjälp av asymptoter
Sida av 2
Asymptoter är ett användbart skissverktyg eftersom de ger information om hur grafen till en funktion beter sig när avståndet till origo blir väldigt stort, vilket t.ex. derivatans nollställen inte gör.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Skissa en graf med derivata och asymptoter
Med hjälp av en funktions derivata samt eventuella asymptoter kan man få en relativt tydlig bild av hur grafen till en funktion ser ut. Man kan t.ex. skissa grafen till funktionen f(x)=x^2 + x/x - 1 med dessa verktyg.
1
Derivera funktionen och bestäm dess stationära punkter
expand_more Till att börja med avgör man var funktionen har stationära punkter. Dessa finns där derivatan är 0 så funktionen deriveras.
f(x)=x^2 + x/x - 1
Derive
Derivera funktion
f'(x) = D( x^2 + x/x - 1 )
DeriveQuot
D(f/g) = D(f)* g - f* D(g)/g^2
f'(x) = D( x^2 + x ) * (x - 1) - ( x^2 + x ) * D(x - 1)/(x - 1)^2
▼
Derivera
DeriveSum
Derivera term för term
f'(x) = ( D( x^2 )+ D(x) ) * (x - 1) - ( x^2 + x ) * (D(x) - D(1))/(x - 1)^2
DeriveX
D(x) = 1, D(a) = 0
f'(x) = ( D( x^2 ) + 1 ) * (x - 1) - ( x^2 + x )/(x - 1)^2
DeriveMonom
D(x^n) = nx^(n-1)
f'(x) = ( 2x + 1 ) * (x - 1) - ( x^2 + x )/(x - 1)^2
▼
Förenkla
ExpandPar
Multiplicera parenteser
f'(x) = 2x^2 - 2x + x - 1 - ( x^2 + x )/(x - 1)^2
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
f'(x) = 2x^2 - 2x + x - 1 - x^2 - x/(x - 1)^2
SimpTerms
Förenkla termerna
f'(x) = x^2 - 2x - 1/(x - 1)^2
För att hitta x-värdena i de stationära punkterna sätter man derivatan lika med 0 och löser ekvationen. I exemplet sker detta bara då täljaren antar värdet 0 .
x^2 - 2x - 1 = 0
x=1±sqrt(2)
Funktionen har alltså stationära punkter där x = 1 - sqrt(2)≈-0.4 och x = 1 + sqrt(2)≈2.4. Punkternas y-värden hittar man genom att sätta in x-värdena i funktionsuttrycket. Eftersom man bara ska skissa grafen behöver koordinaterna inte vara exakta, utan det går bra att använda de avrundade värdena -0.4 respektive 2.4.
f(x) = x^2 + x/x - 1
x ≈ -0,4
f( -0,4) ≈ ( -0,4 )^2 + ( -0,4)/-0,4 - 1
UseCalc
Slå in på räknare
f(-0,4) ≈ 0,17142...
RoundDec
Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar
f(-0,4) ≈ 0,2
Koordinaterna för funktionens ena stationära punkt är alltså ungefär (-0.4, 0.2).
f(x) = x^2 + x/x - 1
x ≈ 2,4
f( 2,4) ≈ ( 2,4 )^2 + 2,4/2,4 - 1
UseCalc
Slå in på räknare
f(2,4) ≈ 5,82857...
RoundDec
Avrunda till 11tiondelar 12hundradelar 13tusendelar 14tiotusendelar 15hundratusendelar 16miljontedelar 17hundramiljontedelar 18miljardtedelar
f(2,4) ≈ 5,8
Koordinaterna för den andra stationära punkten är ungefär (2.4,5.8).
2
Bestäm de stationära punkternas karaktär och markera dem i ett koordinatsystem
expand_more För att avgöra vilken karaktär de stationära punkterna har kan man undersöka andraderivatans tecken i punkterna. Då måste man först bestämma funktionens andraderivata genom att derivera ytterligare en gång.
f'(x) = x^2 - 2x - 1/(x - 1)^2
Derive
Derivera funktion
f''(x) = D( x^2 - 2x - 1/(x - 1)^2 )
DeriveQuot
D(f/g) = D(f)* g - f* D(g)/g^2
f''(x) = D( x^2 - 2x - 1 ) * (x - 1)^2 - ( x^2 - 2x - 1 ) * D((x - 1)^2)/((x - 1)^2)^2
▼
Derivera
DeriveSum
Derivera term för term
f''(x) = ( D( x^2 ) - D(2x) - D(1) ) * (x - 1)^2 - ( x^2 - 2x - 1 ) * D((x - 1)^2)/((x - 1)^2)^2
DeriveXCo
D(ax) = a, D(a) = 0
f''(x) = ( D( x^2 ) - 2) * (x - 1)^2 - ( x^2 - 2x - 1 ) * D((x - 1)^2)/((x - 1)^2)^2
DeriveMonom
D(x^n) = nx^(n-1)
f''(x) = ( 2x - 2) * (x - 1)^2 - ( x^2 - 2x - 1 ) * D((x - 1)^2)/((x - 1)^2)^2
DeriveMonomChain
D(u^n) = n u^(n-1)* D(u)
f''(x) = ( 2x - 2) * (x - 1)^2 - ( x^2 - 2x - 1 ) * 2(x - 1) * D(x - 1)/((x - 1)^2)^2
DeriveSum
Derivera term för term
f''(x) = ( 2x - 2) * (x - 1)^2 - ( x^2 - 2x - 1 ) * 2(x - 1) * ( D(x) - D(1) ))/((x - 1)^2)^2
DeriveX
D(x) = 1, D(a) = 0
f''(x) = ( 2x - 2) * (x - 1)^2 - ( x^2 - 2x - 1 ) * 2(x - 1) * 1/((x - 1)^2)^2
▼
Förenkla
PowPow
(a^b)^c=a^(b* c)
f''(x) = ( 2x - 2) * (x - 1)^2 - ( x^2 - 2x - 1 ) * 2(x - 1) * 1/(x - 1)^4
ReduceFrac
Förkorta med (x - 1)
f''(x) = ( 2x - 2) * (x - 1) - ( x^2 - 2x - 1 ) * 2 * 1/(x - 1)^3
Multiply
Multiplicera faktorer
f''(x) = ( 2x - 2) * (x - 1) - 2( x^2 - 2x - 1 )/(x - 1)^3
FactorOut
Bryt ut 2
f''(x) = 2 ( x - 1) * (x - 1) - 2( x^2 - 2x - 1 )/(x - 1)^3
ProdToPowTwoFac
a* a=a^2
f''(x) = 2 ( x - 1)^2 - 2( x^2 - 2x - 1 )/(x - 1)^3
När man nu har andraderivatan sätter man in de stationära punkternas x-värden och beräknar. I det här fallet är det endast tecknet som är intressant. Därav får inte avrundade x-värden stoppas in i uttrycket eftersom felmarginalen skulle kunna leda till fel klassificering.
f''(x) = 2 ( x - 1)^2 - 2( x^2 - 2x - 1 )/(x - 1)^3
Substitute
x= 1 - sqrt(2)
f''( 1 - sqrt(2)) = 2 ( 1 - sqrt(2) - 1)^2 - 2( ( 1 - sqrt(2) )^2 - 2( 1 - sqrt(2) ) - 1 )/( 1 - sqrt(2) - 1)^3
UseCalc
Slå in på räknare
f''(1 - sqrt(2)) = - 1,41421...
Andraderivatan då x = 1 - sqrt(2) är negativ, så det finns en maximipunkt där.
f''(x) = 2 ( x - 1)^2 - 2( x^2 - 2x - 1 )/(x - 1)^3
Substitute
x= 1 - sqrt(2)
f''( 1 + sqrt(2)) = 2 ( 1 + sqrt(2) - 1)^2 - 2( ( 1 + sqrt(2) )^2 - 2( 1 + sqrt(2) ) - 1 )/( 1 + sqrt(2) - 1)^3
UseCalc
Slå in på räknare
f''(1 + sqrt(2)) = 1,41421...
När x = 1 + sqrt(2) är andraderivatan istället positiv, så där finns en minimipunkt. Man kan nu markera de ungefärliga stationära punkterna (-0.4, 0.2) och (2.4, 5.8) som en maximi- respektive minimipunkt i ett koordinatsystem.
3
Bestäm och markera eventuella vertikala asymptoter
expand_more Nu fortsätter man med att söka efter vertikala asymptoter. I det här fallet är f(x) en rationell funktion — då är det lämpligt att leta där den är odefinierad, dvs. då x = 1. När x går mot 1 går hela kvoten mot oändligheten, så funktionen har den vertikala asymptoten x = 1. Detta kan man bekräfta numeriskt genom att sätta in x-värden närmare och närmare 1 i funktionsuttrycket.
| x | 1,1 | 1,01 | 1,001 | 1,0001 | → 1^+ |
|---|---|---|---|---|---|
| x^2+x/x-1 | 23,1 | 203,01 | 2003,001 | 20 003,0001 | → ∞ |
Nu kan denna asymptot markeras i koordinatsystemet.
4
Bestäm och markera eventuella sneda asymptoter
expand_more Man avgör om en funktion har en sned asymptot genom att först beräkna gränsvärdet
lim _(x→∞)f(x)/x.
Om gränsvärdet existerar motsvarar det en eventuell asymptots k-värde.
lim _(x→∞)f(x)/x
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
lim _(x→∞).x^2+x/x-1 /x.
DivFracSL
.a/b /c.= a/b* c
lim _(x→∞)x^2+x/x(x-1)
ReduceFrac
Förkorta med x
lim _(x→∞)x+1/x-1
Man undersökar ofta vad som händer med en gränsvärdeskvot när x går mot oändligheten genom att förkorta med termen av högst grad. Här ska alltså bråket förkortas med x.
lim _(x→∞)x+1/x-1
ReduceFrac
Förkorta med x
lim _(x→∞)(x+1)/x/(x-1)/x
WriteSumFrac
Dela upp bråk
lim _(x→∞)xx + 1x/xx - 1x
SimpQuot
Förenkla kvot
lim _(x→∞)1 + 1x/1 - 1x
När x nu går mot oändligheten kommer bråken med x i nämnaren gå mot 0.
lim _(x→∞)1 + 1x/1 - 1x
To
x → ∞
1 + 0/1 - 0
AddSubTerms
Addera och subtrahera termerna
1/1
CalcQuot
Beräkna kvot
1
Om funktionen har en sned asymptot är dess k-värde 1. Man beräknar nu gränsvärdet lim _(x→∞)(f(x) - kx). Om det existerar är det asymptotens m-värde.
lim _(x→∞)(f(x) - kx)
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
lim _(x→∞)(x^2+x/x-1 - 1 * x)
▼
Beräkna gränsvärde
MultByOne
a * 1=a
lim _(x→∞)(x^2+x/x-1 - x)
NumberToFrac
a = (x - 1)* a/(x - 1)
lim _(x→∞)(x^2+x/x-1 - x(x-1)/x-1)
SubFrac
Subtrahera bråk
lim _(x→∞) x^2 + x - x(x-1)/x-1
Distr
Multiplicera in x
lim _(x→∞) x^2 + x - (x^2-x)/x-1
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
lim _(x→∞) x^2 + x - x^2 + x/x-1
SimpTerms
Förenkla termerna
lim _(x→∞) 2x/x-1
ReduceFrac
Förkorta med x
lim _(x→∞) 2x/x/(1-x)/x
WriteSumFrac
Dela upp bråk
lim _(x→∞) 2x/x/xx- 1x
SimpQuot
Förenkla kvot
lim _(x→∞) 2/1- 1x
ToInfty
x → ∞
2/1 - 0
SubTerm
Subtrahera term
2/1
CalcQuot
Beräkna kvot
2
Funktionens sneda asymptot är alltså den räta linjen y = x + 2. Även denna markeras i koordinatsystemet.
5
Bestäm eventuellt fler punkter på grafen
expand_more För att få en ännu bättre idé om grafens utseende kan man bestämma några ytterligare punkter på grafen. I det här fallet är det inte helt uppenbart hur snabbt grafen närmar sig asymptoterna så det kan vara intressant att undersöka några x-värden omkring extrempunkterna.
| x | x^2 + x/x - 1 | f(x) |
|---|---|---|
| - 2 | ( - 2)^2 + ( - 2)/- 2 - 1 | ~ - 0,67 |
| 0,5 | 0,5^2 + 0,5/0,5 - 1 | - 1,5 |
| 1,5 | 1,5^2 + 1,5/1,5 - 1 | 7,5 |
| 4 | 4^2 + 4/4 - 1 | ~ 6,67 |
När dessa punkter placeras ut blir det ännu tydligare hur grafen ser ut.
6
Skissa grafen
expand_more Nu finns det tillräckligt med information för att skissa grafen. När avståndet till origo ökar ska grafen närma sig asymptoterna. Grafen till f(x)= x^2 + xx - 1 ser alltså ut på följande vis.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Skissa grafer med hjälp av asymptoter
Uppgift 1.1
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"valueTypes":["Maximipunkt","Minimipunkt"],"point":true},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["-1","-2"]},{"type":1,"text":["1,","2"]}]}}
{"type":"text","form":{"type":"extrema","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["y"]},"rendered":false,"valueTypes":["Vertikal asymptot","Horisontell asymptot","Sned asymptot"],"point":false},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text":[{"type":0,"text":["x=0"]},{"type":2,"text":["y=x"]}]}}
security
report
code
security
report
code
I stationära punkter är derivatan 0 så vi deriverar f(x)=x^2+1/x och löser ekvationen f'(x)=0. Eftersom funktionsuttrycket är en kvot av två funktioner använder vi kvotregeln.
Nu sätter vi derivatan lika med 0 och löser ekvationen.
Funktionen har alltså stationära punkter för x=-1 och x=1. Vi sätter in dessa x-värden i funktionen för att bestämma motsvarande y-värden.
Funktionens ena stationära punkt är alltså (-1,-2). Nu sätter vi in x=1.
Funktionens andra stationära punkt är (1,2). För att bestämma de stationära punkternas karaktär kan vi t.ex. avgöra andraderivatans tecken i dessa punkter. Vi börjar därför med att derivera f'(x)=1- 1x^2, och för att det ska vara lite lättare skriver vi först om bråket som en potens: f'(x)=1- 1x^2=1-x^(-2). Nu deriverar vi.
Nu sätter vi in x-värdet från respektive stationär punkt i andraderivatan och avgör tecknet.
Andraderivatan är negativ då x=-1 så den stationära punkten (-1,-2) är en maximipunkt. Nu sätter vi istället in x=1 i andraderivatan.
Vi får att andraderivatan är positiv för x=1, så den stationära punkten (1,2) är en minimipunkt. Vi markerar dessa punkter i ett koordinatsystem.
Vi undersöker olika sorters asymptoter separat.
Vertikala asymptoter
För att avgöra om funktionen har några vertikala asymptoter undersöker vi om funktionsuttrycket x^2+1/x går mot ∞ eller -∞ när funktionen närmar sig något x-värde. Detta sker om nämnaren i kvoten går mot 0, dvs. då x går mot 0. Visserligen går även x^2-termen i täljaren mot 0 då, men 1:an står kvar oförändrad. Om x går mot 0 från vänster kommer funktionen gå mot -∞ och om x går mot 0 från höger kommer funktionen gå mot ∞. Funktionen har alltså den vertikala asymptoten x=0. Eftersom denna linje motsvarar y-axeln kan vi strunta i att markera den i koordinatsystemet — den finns ju redan där.
Horisontella asymptoter
Vi undersöker gränsvärdet av f(x) då x går mot oändligheten. Om denna konvergerar mot ett konstant värde har vi en horisontell asymptot. lim_(x→∞)f(x)=lim_(x→∞)x^2+1/x. Både täljaren och nämnaren går mot oändligheten när x går mot 0. Hur gör vi? Jo, vi dividerar täljare och nämnare med den term som går snabbast mot ∞, vilket i det här fallet är x^2.
Nu har vi något som vi kan bearbeta lite enklare. Täljaren kommer att gå mot 1, eftersom lim_(x→∞)1/x^2→ 0. Detta gäller även för 1x. Alltså kommer nämnaren att gå mot 0, vilket betyder att vi dividerar talet 1 med en mindre och mindre nämnare ju större x blir, vilket innebär att gränsvärdet går mot ∞. Alltså finns det inga horisontella asymptoter.
Sneda asymptoter
Vi bestämmer eventuella sneda asymptoter genom att beräkna gränsvärdet lim _(x→∞)f(x)/x. Om gränsvärdet existerar så motsvarar det den sneda asymptotens k-värde.
Funktionen har alltså en sned asymptot med k-värdet 1. Vi beräknar asymptotens m-värde med gränsvärdet lim _(x→∞)(f(x) - kx).
Den sneda asymptoten har alltså m-värdet 0, och går därför genom origo. Eftersom k-värdet är 1 är asymptotens ekvation y=x. Vi ritar denna linje i koordinatsystemet.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skissa grafen till funktionen g(x) givet följande teckentabell samt att funktionen har den vertikala asymptoten x=-1 och den sneda asymptoten y=x-1.
| x | -2 | -1 | 0 | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| g'(x) | + | 0 | - | odef. | - | 0 | + |
| g(x) | ↗ | -4 | ↘ | odef. | ↘ | 0 | ↗ |
security
report
code
security
report
code
I teckentabellen ser vi att funktionen har stationära punkter i (-2,-4) och (0,0), eftersom derivatan är 0 i dessa punkter. Vi kan också läsa av hur funktionen växer och avtar kring punkterna:
- Funktionen växer till vänster om (-2,-4) samt avtar till höger, vilket innebär att denna stationära punkt är en maximipunkt.
- Funktionen avtar till vänster om (0,0) samt växer till höger, så denna stationära punkt är en minimipunkt.
Vi markerar dessa extrempunkter samt de givna asymptoterna x=-1 och y=x-1 i ett koordinatsystem.
Vi avslutar med att rita ut själva grafen. Den ska närma sig den sneda asymptoten när x går mot -∞ och ∞, samt närma sig den vertikala asymptoten då x går mot -1.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Funktionen f(x) har de vertikala asymptoterna x=-3 och x=3 samt den horisontella asymptoten y=-2. För funktionen gäller bl.a. att &f(-sqrt(10))=f(sqrt(10))=0, [0.45em] &f(-2)=f(2)=-12/5 och [0.85em] &f(-5)=f(5)=-15/8. Dessutom gäller följande för funktionens enda stationära punkt. f(0)=-20/9, f''(0) < 0 Skissa grafen till f(x) med hjälp av detta.
security
report
code
security
report
code
Vi kan börja med att rita funktionens tre asymptoter i ett koordinatsystem.
Nu fortsätter vi med att markera följande punkter, som vi fått från uppgiften. (-sqrt(10),0)&, (sqrt(10),0) [0.45em] (-2,- 125)&, (2,- 125) [0.85em] (-5,- 158)&, (5,- 158) För att markera dessa punkter behöver vi avgöra ungefär hur mycket sqrt(10), - 125 och - 158 är. Vi gör det genom att slå in talen på räknare eller resonera oss fram: sqrt(10)≈3,2, - 125=-2,4, - 158≈-1,9. Nu kan vi sätta ut de sex punkterna.
Vi vet också att funktionen har en stationär punkt i (0,-20/9) och att denna är en maximipunkt eftersom det är angivet att andraderivatan är negativ i x=0. Vi markerar även denna punkt i koordinatsystemet.
Nu kan vi skissa själva kurvan, och börjar med att sammanfoga maximipunkten med de intilliggande punkterna samt låter kurvan gå nedåt mot -∞, mot de vertikala asymptoterna.
Nu sammanfogar vi de andra punkterna parvis och låter kurvan komma närmare och närmare den horisontella asymptoten när x går mot ±∞ respektive de vertikala asymptoterna för stora värden på y.
Till sist snyggar vi upp bilden lite så att själva grafen syns bättre.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skissa grafer med hjälp av asymptoter
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll