Metod

Bestämma gränsvärde när $x$ går mot oändligheten

Ett sätt att beräkna gränsvärden för rationella funktioner bygger på principen att division med en stor nämnare ger en kvot som ligger väldigt nära

0

. T.ex. är

\frac{1}{1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0} = 0.00000000000001 .

När ett bråks nämnare går mot oändligheten kommer därför bråkets värde att gå mot

0 .

Man kan t.ex. använda detta för att bestämma gränsvärdet

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x} .

Förkorta med termen av högst grad

Syftet med detta steg är att skriva om termerna med högst grad till konstanter och övriga termer på formen

\frac{a}{x}, \frac{a}{x ^{2}}, \frac{a}{x ^{3}}, osv .

Dessa termer kommer då, enligt principen ovan, närma sig

0

när

x

går mot oändligheten. Ett sätt att få till detta är att förkorta med termen som har högst grad. Här är polynomen i både täljare och nämnare andragradspolynom, så det är

x^{2}

man ska förkorta med.

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x}

ReduceFrac

Förkorta med $x^{2}$

x \to \infty lim \frac{( x ^{2} + 5 ) / x ^{2}}{( 2 x ^{2} - 3 x ) / x ^{2}}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

x \to \infty lim \frac{\frac{x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{5}{x ^{2}}}{\frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} - \frac{3 x}{x ^{2}}}

SimpQuot

Förenkla kvot

x \to \infty lim \frac{1 + \frac{5}{x ^{2}}}{2 - \frac{3}{x}}

Låt

x

gå mot oändligheten

När $x$ går mot oändligheten kommer nämnarna $x^{2}$ och $x$ att bli mycket stora, dvs. värdet på $\frac{5}{x ^{2}}$ och $\frac{3}{x}$ kommer hamna nära $0$ precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot $0$ då $x \to \infty .$

 $x \to \infty lim \frac{1 + \frac{5}{x ^{2}}}{2 - \frac{3}{x}}$ 
To $x \to \infty$ 
 $\frac{1 + 0}{2 - 0}$ 
AddSubTermsAddera och subtrahera termer
 $\frac{1}{2}$

Gränsvärdet för $\frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x}$ då $x \to \infty$ är alltså $\frac{1}{2} .$

Rekommenderade uppgifter