Metod

Bestämma gränsvärde när $x$ går mot oändligheten

Ett sätt att beräkna gränsvärden för rationella funktioner bygger på principen att division med en stor nämnare ger en kvot som ligger väldigt nära $0$. T.ex. är $\frac{1}{100\,000\,000\,000\,000}=0.00000000000001.$ När ett bråks nämnare går mot oändligheten kommer därför bråkets värde att gå mot $0.$ Man kan t.ex. använda detta för att bestämma gränsvärdet $\lim\limits_{x\to \infty} \ \frac{x^2+5}{2x^2-3x}.$

1

Förkorta med termen av högst grad

Syftet med detta steg är att skriva om termerna med högst grad till konstanter och övriga termer på formen $\dfrac{a}{x}, \quad \dfrac{a}{x^2}, \quad \dfrac{a}{x^3}, \quad \text{osv.}$ Dessa termer kommer då, enligt principen ovan, närma sig $0$ när $x$ går mot oändligheten. Ett sätt att få till detta är att förkorta med termen som har högst grad. Här är polynomen i både täljare och nämnare andragradspolynom, så det är $x^2$ man ska förkorta med.

$\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{x^2+5}{2x^2-3x}$

Förkorta med $x^2$

$\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{\left(x^2+5\right)/x^2}{\left(2x^2-3x\right)/x^2}$

Dela upp bråk

$\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{\frac{x^2}{x^2}+\frac{5}{x^2}}{\frac{2x^2}{x^2}-\frac{3x}{x^2}}$

Förenkla kvot

$\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{1+\frac{5}{x^2}}{2-\frac{3}{x}}$

2

Låt $x$ gå mot oändligheten

När $x$ går mot oändligheten kommer nämnarna $x^2$ och $x$ att bli mycket stora, dvs. värdet på $\frac{5}{x^2}$ och $\frac{3}{x}$ kommer hamna nära $0$ precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot $0$ då $x \to \infty.$

$\lim\limits_{x\to \infty} \ \dfrac{1 +\frac{5}{x^2}}{2-\frac{3}{x}}$
$x \to \infty$
$\dfrac{1+0}{2-0}$
Förenkla termer
$\dfrac{1}{2}$

Gränsvärdet för $\frac{x^2+5}{2x^2-3x}$ då $x \to \infty$ är alltså $\frac{1}{2}.$