Metod

Bestämma gränsvärde när $x$ går mot oändligheten

Ett sätt att beräkna gränsvärden för rationella funktioner bygger på principen att division med en stor nämnare ger en kvot som ligger väldigt nära

0 .

T.ex. är

\frac{1}{1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0} = 0, 00000000000001 .

När ett bråks nämnare går mot oändligheten kommer därför bråkets värde att gå mot

0 .

Man kan t.ex. använda detta för att bestämma gränsvärdet

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x} .

Förkorta med termen av högst grad

Syftet med detta steg är att skriva om termerna med högst grad till konstanter och övriga termer på formen

\frac{a}{x}, \frac{a}{x ^{2}}, \frac{a}{x ^{3}}, osv .

Dessa termer kommer då, enligt principen ovan, närma sig

0

när

x

går mot oändligheten. Ett sätt att få till detta är att förkorta med termen som har högst grad. Här är polynomen i både täljare och nämnare andragradspolynom, så det är

x^{2}

man ska förkorta med.

x \to \infty lim \frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x}

ReduceFrac

Förkorta med $x^{2}$

x \to \infty lim \frac{( x ^{2} + 5 ) / x ^{2}}{( 2 x ^{2} - 3 x ) / x ^{2}}

WriteSumFrac

Dela upp bråk

x \to \infty lim \frac{\frac{x ^{2}}{x ^{2}} + \frac{5}{x ^{2}}}{\frac{2 x ^{2}}{x ^{2}} - \frac{3 x}{x ^{2}}}

SimpQuot

Förenkla kvot

x \to \infty lim \frac{1 + \frac{5}{x ^{2}}}{2 - \frac{3}{x}}

Låt

x

gå mot oändligheten

När

x

går mot oändligheten kommer nämnarna

x^{2}

och

x

att bli mycket stora, dvs. värdet på

\frac{5}{x ^{2}}

och

\frac{3}{x}

kommer hamna nära

0

precis som i det inledande exemplet. Båda bråken går alltså mot

0

då

x \to \infty .

x \to \infty lim \frac{1 + \frac{5}{x ^{2}}}{2 - \frac{3}{x}}

$x \to \infty$

\frac{1 + 0}{2 - 0}

AddSubTerms

Addera och subtrahera termer

\frac{1}{2}

Gränsvärdet för

\frac{x ^{2} + 5}{2 x ^{2} - 3 x}

då

x \to \infty

är alltså

\frac{1}{2} .

	{{ 'ml-lesson-number-slides' \| message : article.intro.bblockCount }}
	{{ 'ml-lesson-number-exercises' \| message : article.intro.exerciseCount }}
	{{ 'ml-lesson-time-estimation' \| message }}

{{ article.displayTitle }}