Logga in
| 8 sidor teori |
| 23 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad 3 eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.
För att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationenFlytta över alla termer till vänsterledet
expand_more
Dela upp vänsterledet i faktorer
expand_more
Använd nollproduktmetoden
expand_more
Lös ekvationerna
expand_more
Använd pq-formeln: p=8,q=−20
Beräkna kvot
Beräkna potens
a−(−b)=a+b
Beräkna rot
Ange lösningar
Ekvationen har alltså lösningarna x=0, x=−10 och x=2.
Skriv på formen x4+px2+q=0
expand_more
Substituera x2 med t
expand_more
Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.
Lös andragradsekvationen
expand_more
Byt tillbaka till x2
expand_more
Lös ekvationerna och ange rötterna till ursprungsekvationen
expand_more
Lös ut x2
expand_more
Dra kvadratroten ur båda led
expand_more
Sätt varje faktor lika med noll och lös de resulterande ekvationerna.
Använd nollproduktmetoden
(I): VL/2=HL/2
(II): VL−5=HL−5
(II): VL/3=HL/3
(III): VL+7=HL+7
Skriv om ekvationen så att koefficienten framför x4 är 1. Använd variabelsubstitution för att bilda en andragradsekvation och lös den med pq-formeln.
Använd pq-formeln: p=−5,q=4
−b-a=ba
Ta bort parentes
(ba)c=bcac
Beräkna potens
a=44⋅a
Subtrahera bråk
ba=ba
Beräkna rot
Ange lösningar
(I), (II): Lägg ihop bråk
Rita funktionens graf, exempelvis med hjälp av grafritare. Det kan vara nödvändigt att ändra på koordinatsystemets inställningar för att kunna se hela grafen.
För att hitta nollställena kan man använda räknarens verktyg för detta. I det här fallet kan man läsa av dem direkt i figuren.
Nollställena är x=−4, x=−1, x=1 och x=2, och dessa löser även ursprungsekvationen.
Räknaren har ett inbyggt verktyg för att hitta nollställen till en funktion. För att använda det måste man först rita ut grafen, så man börjar med att skriva in funktionsuttrycket.
Trycker man sedan på GRAPH visas grafen.
Genom att trycka på CALC (2nd+TRACE) visas en meny med olika beräkningar som kan göras.
För att bestämma nollställen väljer man det andra alternativet, zero
. Den utritade grafen visas nu igen med en markör som man kan röra med vänster- och högerknapparna.
Man anger den vänstra och högra gränsen för området där räknaren ska leta efter ett nollställe samt en gissning. Det gör man genom att flytta på markören och trycka på ENTER för att välja punkter. Det går också att skriva in ett x-värde och trycka på ENTER.
Sätt högerledet i ekvationen lika med 0, och grafritar sedan vänsterledet som en funktion på en grafräknare. Identifiera funktionens nollställen — dessa är lösningarna till ekvationen.
Ekvationen kommer att lösas med hjälp av en grafräknare. Eftersom högerledet i ekvationen är 0, kan vänsterledet grafritas som en funktion, och funktionens nollställen kan identifieras för att hitta rötterna. Börja med att trycka på Y= och mata in ekvationens vänsterled.
Tryck sedan på GRAPH för att visa grafen. Det kan vara nödvändigt att justera fönsterinställningarna för att se alla nollställen.
Tryck nu på 2nd och därefter TRACE för att komma åt menyn CALC. Denna meny innehåller olika beräkningsalternativ.
Tryck på 2 för att välja alternativet zero
. Grafen visas igen med en markör som kan flyttas med vänster- och högerpilarna.
Ange det vänstra och högra gränsvärdet för det område där räknaren ska söka efter ett nollställe, samt en gissning. Gör detta genom att flytta markören och trycka på ENTER för att välja punkter. Alternativt kan du skriva in ett x-värde och trycka på ENTER.
Upprepa denna process för varje nollställe i funktionen tills alla tre nollställen har hittats. I detta fall är nollställena x=−2, x=1 och x=3. Dessa är också lösningarna till ekvationen.
Ekvationen kan också lösas med ett ekvationslösningsverktyg som GeoGebra. I GeoGebra används kommandot NLös(ekvation)
, där ekvationen skrivs inom parentesen.
NLös(x3−2x2−5x+6=0)
={x=−2,x=1,x=3}
Lösningen stämmer överens med resultatet som erhölls tidigare. Detta innebär att lösningarna till polynomekvationen är x=−2, x=1 och x=3.
Lös ekvationen.
Vi använder nollproduktmetoden. Det betyder att någon av faktorerna måste vara 0. Det ger oss tre delekvationer.
Vi använder nollproduktmetoden ännu en gång. Det finns fyra faktorer. I det här fallet betyder det att det finns fyra lösningar.
Inget nytt. Vi fortsätter på samma sätt.
Lös ekvationen.
Vi har en produkt som är lika med 0. Det betyder att någon av faktorerna måste vara 0 och att vi kan använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen.
Vi använder nollproduktmetoden igen.
Inget nytt. Vi gör på samma sätt.
Lös ekvationen.
Vi har en produkt som är lika med 0. Det betyder att vi kan använda nollproduktmetoden.
Vi gör på samma sätt och använder nollproduktmetoden.
Vi fortsätter på samma sätt.
I koordinatsystemet syns graferna till polynomfunktionerna y=f(x) och y=g(x).
Lös ekvationen med hjälp av graferna.
Att lösa ekvationen f(x)=2 innebär att vi ska bestämma de x-värden som ger funktionsvärdet 2. Om vi ritar linjen y=2 kan vi se vid vilka x-värden det gäller.
Genom att läsa av skärningspunkten mellan den blå andragradskurvan och den vågräta svarta linjen ser vi att f(x)=2 vid x=- 6 och x=0.
Att lösa ekvationen f(x)=g(x) betyder att vi ska bestämma de x-värden som gör att funktionsvärdet för f(x) och g(x) är lika stora. De kommer vara det när graferna skär varandra, och i figuren ser vi att det sker vid x=- 6 och x=2.
Lös ekvationen och svara exakt.
Detta är en andragradsekvation som vi kan lösa med pq-formeln.
Ekvationens lösningar är alltså x=-3-sqrt(21) och x=-3+sqrt(21).
Detta är också en andragradsekvation så vi kan använda pq-formeln, men först måste vi dividera båda led med 3.
Vi får alltså lösningarna x=4±sqrt(28). Om man vill kan man också skriva dem som x=4±2sqrt(7) eftersom sqrt(28) är lika med 2sqrt(7). Vi visar hur man gör den omskrivningen.
Återigen har vi en andragradsekvation så vi använder pq-formeln igen.
Eftersom polynomekvationen består av faktorer som multiplicerat med varandra är lika med 0 passar det bra att använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen.
En av lösningarna är x=5. Andragradsekvationen löser vi med pq-formeln.
Sammanfattningsvis får vi alltså följande tre lösningar på ekvationen (x-5)(x^2-x-6)=0: x_1=-2, x_2=3 och x_3=5.
Eftersom polynomekvationen består av faktorer som multiplicerat med varandra är lika med 0 passar det bra att använda nollproduktmetoden.
En av lösningarna är x=2. Andragradsekvationen löser vi med pq-formeln.
Ekvationen har alltså de tre lösningarna x=-1, x=2 och x=5.
Lös ekvationen.
Det är tredjegradsekvationen x^3 - 9x = 0 som ska lösas, men eftersom det finns minst ett x i varje term kan vi göra den enklare genom att bryta ut x. Det ger ekvationen x * (x^2 - 9) = 0. Vi kan nu använda nollproduktmetoden för att dela upp den i två enklare ekvationer, x = 0 och x^2 - 9 = 0. I den första står x redan ensamt, så vi vet att x = 0 är en lösning. Vi löser nu den andra.
De tre lösningarna är alltså x = 0, x = - 3 och x = 3.
Vi gör på samma sätt med ekvationen 2x^3 - 50x = 0, dvs. bryter ut x. Det ger x(2x^2 - 50) = 0. Nollproduktmetoden ger sedan de två ekvationerna x = 0 och 2x^2 - 50 = 0. Vi får först att x = 0 är en lösning och löser sedan den andra ekvationen.
Vi har hittat de tre lösningarna x = 0, x = - 5 och x = 5.
Ekvationen 18x - x^32 = 0 löses på samma sätt. Bryter man ut x får man x ( 18 - x^2/2 ) = 0, och med nollprodukmetoden får man ekvationerna x = 0 och 18 - x^2/2 = 0. Vi får igen att x = 0 är en lösning och löser sedan ut två till från den andra ekvationen.
De tre lösningarna är alltså x = 0, x = - 6 och x = 6.
Lös ekvationen.
Vi kan dela upp tredjegradsekvationen x^3 - 100x = 0 i en förstagradsekvation och en andragradsekvation genom att bryta ut x, och på så sätt göra ekvationen något enklare. Det ger x( x^2 - 100 ) = 0. Med hjälp av nollproduktmetoden kan vi nu dela upp denna ekvation i de två enklare ekvationerna x = 0 och x^2 - 100 = 0. Den första ger lösningen x = 0, och från den andra ekvationen får vi ytterligare två.
De tre lösningarna till ekvationen är alltså x = 0, x = - 10 och x = 10.
I det här fallet är det en god idé att förenkla vänsterledet genom att lägga ihop de två x^3-termerna innan man gör faktoriseringen, men efter det löser vi uppgiften på samma sätt som tidigare.
Vi använder nu nollproduktmetoden och delar upp ekvationen i x = 0 och 2x^2 - 162 = 0. Som tidigare får vi en lösning x = 0 och två till från den andra ekvationen.
Vi har hittat de tre lösningarna x = 0, x = - 9 och x = 9.
Den här gången har vi en fjärdegradsekvation, men precis som tidigare går det att bryta ut ett x. Då får vi x(x^3 - 8) = 0, och nollproduktmetoden ger de två ekvationerna x = 0 och x^3 - 8 = 0. Den första ger som tidigare lösningen x = 0. Den andra är visserligen en tredjegradsekvation, men en som går att lösa direkt.
I det här fallet fick vi alltså bara två lösningar, x = 0 och x = 2, trots att en fjärdegradsekvation kan ha upp till fyra olika lösningar.
Vi ska lösa ekvationen 0,6x^3+2x^2-0,7x+3=0. Detta kan tolkas som att vi ska bestämma nollställena till funktionen p(x)=0,6x^3+2x^2-0,7x+3 För att göra det använder vi räknarens verktyg för att hitta nollställen. Vi börjar med att trycka på Y= för att skriva in funktionsuttrycket och därefter ritar vi grafen med GRAPH. Man kan behöva ställa in koordinatsystemet.
Vi går sedan in i CALC-menyn (2nd + TRACE) och väljer zero.
Den utritade grafen visas nu igen med en markör som man kan flytta med vänster- och högerknapparna.
Vi anger den vänstra och högra gränsen (left och right bound) för området där räknaren ska leta efter ett nollställe samt gör en gissning. Räknaren visar då koordinaterna för nollstället.
Nollstället är alltså ungefär x=-3,95 vilket även är lösningen till ekvationen 0,6x^3+2x^2-0,7x+3=0.
Ekvationen står på faktorform och kan därför lösas med nollproduktmetoden.
Ekvationen har alltså 3 reella lösningar.