Polynomekvationer av högre grad

{{ 'ml-heading-theory' | message }}

Begrepp

Polynomekvation

En polynomekvation är en ekvation där både höger- och vänsterledet är polynom, t.ex. x3x=7x2+3. x^3 - x = 7x^2 + 3. En sådan ekvation har maximalt lika många reella lösningar som gradtalet för det polynom man får om man flyttar över alla termer till ena ledet. Skriver man exempelvis ekvationen ovan som x37x2x3=0 x^3 - 7x^2 - x - 3 = 0

vet man att den har maximalt 33 lösningar. För att lösa polynomekvationer finns det algebraiska metoder som pqpq-formeln, nollproduktmetoden och variabelsubstitution. Dessa går bara att använda i vissa specifika fall, medan en grafisk lösning fungerar på alla polynomekvationer.
Metod

Lösa polynomekvationer algebraiskt

Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad 33 eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.

Metod

Nollproduktmetoden

För att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationen x3+8x2=20x x^3+8x^2=20x på detta sätt.

Nollproduktmetoden kräver att ekvationens ena led är lika med 0,0, så man subtraherar 20x20x från båda led: x3+8x220x=0. x^3+8x^2-20x=0.

Använd en lämplig metod för att faktorisera vänsterledet. Här kan man bryta ut x.x.

x3+8x220x=0x^3+8x^2-20x=0
x(x2+8x20)=0x\left(x^2+8x-20\right)=0

Nu kan man använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i flera delekvationer av lägre grad.

x(x2+8x20)=0x\left(x^2+8x-20\right)=0
{x=0x2+8x20=0\begin{cases}x=0 \\ x^2+8x-20=0 \end{cases}

I det här fallet får man ut en lösning direkt, x=0,x=0, samt en andragradsekvation som kan lösas med pqpq-formeln.

x2+8x20=0x^2+8x-20=0
x=-82±(82)2(-20)x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}20}}\right)}
x=-4±42(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{4^2-(\text{-}20)}
x=-4±16(-20)x=\text{-}4\pm\sqrt{16-(\text{-}20)}
x=-4±36x=\text{-}4\pm\sqrt{36}
x=-4±6x=\text{-}4\pm6
x1=-10x2=2\begin{array}{l}x_1=\text{-}10 \\ x_2=2 \end{array}

Ekvationen har alltså lösningarna x=0,x=0, x=-10x=\text{-}10 och x=2.x=2.

Metod

Variabelsubstitution

Den här metoden är lämplig för fjärdegradsekvationer på formen ax4+bx2+c=0,ax^4+bx^2+c=0, alltså de som saknar tredje- och förstagradstermer. Idén är att med hjälp av variabelsubstitution skriva om fjärdegradsekvationen till en andragradsekvation för att sedan lösa den med pqpq-formeln. Ekvationen 2x436x2+160=0 2x^4-36x^2+160=0 kan exempelvis lösas med denna metod.

Man börjar med att skriva ekvationen på något som liknar pqpq-form, dvs. så att koefficienten framför x4x^4 är 11 och högerledet är lika med 0.0. I detta fall divideras ekvationen med 2,2, vilket ger x418x2+80=0. x^4-18x^2+80=0.

Låt x2=t.x^2=t. Mittentermen blir då -18t\text{-}18t och genom att skriva om x4x^4-termen som (x2)2\left(x^2\right)^2 ser man också att x4=t2.x^4=t^2.

x418x2+80=0x^4-18x^2+80=0
abc=(ab)c a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}
(x2)218x2+80=0\left(x^2\right)^2-18x^2+80=0
t218t+80=0{\color{#0000FF}{t}}^2-18{\color{#0000FF}{t}}+80=0

Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.

För att lösa denna andragradsekvation kan man använda pqpq-formeln.

t218t+80=0t^2-18t+80=0
t=--182±(-182)280t=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}18}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}18}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{80}}}
t=-(-9)±(-9)280t=\text{-}(\text{-}9)\pm\sqrt{(\text{-}9)^2-80}
t=9±(-9)280t=9\pm\sqrt{(\text{-}9)^2-80}
t=9±8180t=9\pm\sqrt{81-80}
t=9±1t=9\pm\sqrt{1}
t=9±1t=9\pm1
t1=8t2=10\begin{array}{l}t_1=8 \\ t_2=10 \end{array}

Nu måste man byta tillbaka variabeln eftersom det är värden på x,x, inte t,t, som löser ursprungsekvationen. I början gjordes variabelbytet x2=t,x^2=t, och för lösningarna t=8t=8 och t=10t=10 ger det att x2=8ochx2=10. x^2=8\quad \text{och}\quad x^2=10.

Slutligen måste dessa andragradsekvationer lösas, en i taget.

x2=8x^2=8
x=±8x=\pm\sqrt{8}

Två av lösningarna är alltså x=8x=\sqrt{8} och x=-8.x=\text{-} \sqrt{8}.

x2=10x^2=10
x=±10x=\pm\sqrt{10}

De fyra lösningarna till ursprungsekvationen är alltså x=±8x=\pm \sqrt{8} och x=±10.x=\pm \sqrt{10}.

Metod

Lösa polynomekvationer grafiskt

För att hitta eventuella rötter till polynomekvationer som är svåra att lösa algebraiskt kan man göra en grafisk lösning. Exempelvis kan man lösa ekvationen x4+2x3+8=9x2+2x x^4+2x^3+8=9x^2+2x på detta sätt.

Genom att skriva om ekvationen så att högerledet är 00 kan man rita upp vänsterledet som en funktion och identifiera funktionens nollställen för att hitta rötterna: x4+2x39x22x+8=0. x^4+2x^3-9x^2-2x+8=0. Man skulle också kunna använda höger- och vänsterledets funktioner och undersöka när de skär varandra, men det kan vara lite mer komplicerat.

Rita funktionens graf, exempelvis med hjälp av grafritare. Det kan vara nödvändigt att ändra på koordinatsystemets inställningar för att kunna se hela grafen.

För att hitta nollställena kan man använda räknarens verktyg för detta. I det här fallet kan man läsa av dem direkt i figuren.

Nollställena är x=-4,x=\text{-}4, x=-1,x=\text{-}1, x=1x=1 och x=2x=2, och dessa löser även ursprungsekvationen.

Uppgift

Lös ekvationen 2x(3x+5)(x7)=0.2x(3x+5)(x-7)=0.

Visa lösning Visa lösning

Uppgifter

Nivå 1
1.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

(x+3)(x6)(x+1)=0(x+3)(x-6)(x+1)=0

b

(4x)(x+8)(2+x)(x14)=0(4-x)(x+8)(2+x)(x-14)=0

c

x(6+x)(x9)(x+17)=0x(6+x)(x-9)(x+17)=0

1.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

x(x+4)(x94)=0x(x+4)(x-94)=0

b

(x+73)(x54)(x+7)=0(x+73)(x-54)(x+7)=0

c

(x11)(x+5)(x1056)(x+68)=0(x-11)(x+5)(x-1056)(x+68)=0

1.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

(x23)(4.67+x)(x231)=0\left(x-\dfrac{2}{3}\right)(4.67+x)(x-231)=0

b

(47+x)(x59)(x613)=0\left(\dfrac{4}{7}+x\right)\left(x-\dfrac{5}{9}\right)\left(x-\dfrac{6}{13}\right)=0

c

(x193)(x+2349)(x73)=0\left(x-\dfrac{19}{3}\right)\left(x+\dfrac{23}{49}\right)\left(x-\dfrac{7}{3}\right)=0

1.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

I koordinatsystemet syns graferna till polynomfunktionerna y=f(x)y=f(x) och y=g(x)y=g(x).

Lös följande ekvationer med hjälp av graferna.

a

f(x)=2f(x)=2

b

f(x)=g(x)f(x)=g(x)

1.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna och svara exakt.

a

x2+6x12=0x^2+6x-12=0

b

3x224x36=03x^2-24x-36=0

c
x2+7x+2=10x^2+7x+2=10
1.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen (x5)(x2x6)=0(x-5)\left(x^2-x-6\right)=0.

1.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen (-2+x)(x24x5)=0(\text{-}2+x)\left(x^2-4x-5\right)=0.

1.8
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

x39x=0x^3 - 9x = 0

b

2x350x=02x^3 - 50x = 0

c

18xx32=018x - \dfrac{x^3}{2} = 0

1.9
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna.

a

x3100x=0x^3 - 100x = 0

b

3x3162xx3=03x^3 - 162x - x^3 = 0

c

x48x=0x^4 - 8x = 0

1.10
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 0.6x3+2x20.7x+3=00.6x^3+2x^2-0.7x+3=0 grafiskt. Svara med två decimaler.

1.11
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Hur många reella lösningar har ekvationen nedan? (x1)(x24)=0 (x-1)\left(x^2-4\right)=0

Nationella provet HT12 3b
Nivå 2
2.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen 2x432x2=02x^4-32x^2=0.

2.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna algebraiskt. Svara exakt.

a

x48x2+7=0x^4-8x^2+7=0

b

x42x28=0x^4-2x^2-8=0

2.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationerna algebraiskt.

a

2x3x2=5x+0.5x22x^3-x^2=5x+0.5x^2

b

x412x314x2=x22x4x^4-12x^3-14x^2=x^2-2x^4

c

4x510x3=2x38x44x^5-10x^3=2x^3-8x^4

2.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

En kofferts bredd är 1010 cm längre än höjden och djupet är 2020 cm kortare än bredden. Vad är måtten, dvs. hur långa är höjd, bredd och djup, om kofferten rymmer 990990 liter? Lös uppgiften grafiskt och svara i dm.

2.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Bestäm värdet på aa så att ekvationen x3+10x2+ax=0x^3+10x^2+ax=0 har två lösningar.

Nivå 3
3.1
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen algebraiskt: (x2+x20)3(x24x12)=0. \left(x^2+x-20\right)^3\left(x^2-4x-12\right)=0.

3.2
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Tre heltal som kommer direkt efter varandra multipliceras och ger produkten 0.0. Vad kan det största talet vara?

3.3
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen algebraiskt och svara exakt. (x3+7)22(x3+7)3=0. \left(x^3+7\right)^2-2\left(x^3+7\right)-3=0.

3.4
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ekvationen (xa+1)(x+2a)=0(x-a+1)(x+2a)=0 har den ena lösningen x=5x=5. Vilken är den andra?

3.5
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Ett företag tillverkar kubiska lådor i tre storlekar: liten, mellan och stor. Den lilla lådan har sidlängden 22 dm och den stora lådan har en sidlängd som är 22 dm längre än mellanlådans. Den största lådan rymmer lika mycket som två av mellanlådorna och en av de små lådorna tillsammans. Vad är mellanlådans sidlängd? Svara med två decimaler.

3.6
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Lös ekvationen algebraiskt: x9x66x3=0. x^9-x^6-6x^3=0. Svara exakt.

3.7
{{ 'ml-btn-focusmode-tooltip' | message }} settings_overscan

Visa att ekvationen x7x4+1=0x^7-x^4+1=0 inte har någon lösning där x>1x>1.

Test
{{ 'mldesktop-selftest-notests' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ tests.error }}

{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}

keyboard_backspace
{{ section.title }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-previous' | message }} {{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} keyboard_backspace {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }}