Polynomekvationer av högre grad

Begrepp

Polynomekvation

En polynomekvation är en ekvation där både höger- och vänsterledet är polynom, t.ex. $x^3 - x = 7x^2 + 3.$ En sådan ekvation har maximalt lika många reella lösningar som gradtalet för det polynom man får om man flyttar över alla termer till ena ledet. Skriver man exempelvis ekvationen ovan som $x^3 - 7x^2 - x - 3 = 0$

vet man att den har maximalt

3

lösningar. För att lösa polynomekvationer finns det algebraiska metoder som

pq

-formeln, nollproduktmetoden och variabelsubstitution. Dessa går bara att använda i vissa specifika fall, medan en grafisk lösning fungerar på alla polynomekvationer.

Metod

Lösa polynomekvationer algebraiskt

Det kan vara svårt att hitta generella algebraiska metoder för att lösa polynomekvationer av grad $3$ eller högre men vissa går att lösa med metoderna nedan.

Metod

Nollproduktmetoden

För att kunna använda nollproduktmetoden måste polynomet i ekvationen först faktoriseras. Man kan t.ex. lösa ekvationen $x^3+8x^2=20x$ på detta sätt.

1

Flytta över alla termer till vänsterledet

Nollproduktmetoden kräver att ekvationens ena led är lika med $0,$ så man subtraherar $20x$ från båda led: $x^3+8x^2-20x=0.$

2

Dela upp vänsterledet i faktorer

Använd en lämplig metod för att faktorisera vänsterledet. Här kan man bryta ut

x.

x^3+8x^2-20x=0

FactorOutBryt ut

x

x\left(x^2+8x-20\right)=0

3

Använd nollproduktmetoden

Nu kan man använda nollproduktmetoden för att dela upp ekvationen i flera delekvationer av lägre grad.

x\left(x^2+8x-20\right)=0

ZeroProdPropAnvänd nollproduktmetoden

\begin{cases}x=0 \\ x^2+8x-20=0 \end{cases}

4

Lös ekvationerna

I det här fallet får man ut en lösning direkt, $x=0,$ samt en andragradsekvation som kan lösas med $pq$ -formeln.

x^2+8x-20=0

UsePQAnvänd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{8}}, \, q={\color{#009600}{\text{-}20}}

x=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{8}}{2}\right)^2-\left({\color{#009600}{\text{-}20}}\right)}

CalcQuotBeräkna kvot

x=\text{-}4\pm\sqrt{4^2-(\text{-}20)}

CalcPowBeräkna potens

x=\text{-}4\pm\sqrt{16-(\text{-}20)}

SubNeg

a-(\text{-} b)=a+b

x=\text{-}4\pm\sqrt{36}

CalcRootBeräkna rot

x=\text{-}4\pm6

StateSolAnge lösningar

\begin{array}{l}x_1=\text{-}10 \\ x_2=2 \end{array}

Ekvationen har alltså lösningarna $x=0,$ $x=\text{-}10$ och $x=2.$

Metod

Variabelsubstitution

Den här metoden är lämplig för fjärdegradsekvationer på formen

ax^4+bx^2+c=0,

alltså de som saknar tredje- och förstagradstermer. Idén är att med hjälp av variabelsubstitution skriva om fjärdegradsekvationen till en andragradsekvation för att sedan lösa den med

pq

-formeln. Ekvationen

2x^4-36x^2+160=0

kan exempelvis lösas med denna metod.

1

Skriv på formen

x^4+px^2+q=0

Man börjar med att skriva ekvationen på något som liknar $pq$ -form, dvs. så att koefficienten framför $x^4$ är $1$ och högerledet är lika med $0.$ I detta fall divideras ekvationen med $2,$ vilket ger $x^4-18x^2+80=0.$

2

Substituera

x^2

med

t

Låt $x^2=t.$ Mittentermen blir då $\text{-}18t$ och genom att skriva om $x^4$ -termen som $\left(x^2\right)^2$ ser man också att $x^4=t^2.$

x^4-18x^2+80=0

ProdInExponent

a^{b\cdot c}=\left(a^{b}\right)^{c}

\left(x^2\right)^2-18x^2+80=0

Substitute

x^2={\color{#0000FF}{t}}

{\color{#0000FF}{t}}^2-18{\color{#0000FF}{t}}+80=0

Nu har man en andragradsekvation, vilket var det man var ute efter.

3

Lös andragradsekvationen

För att lösa denna andragradsekvation kan man använda $pq$ -formeln.

t^2-18t+80=0

UsePQAnvänd

pq

-formeln:

p = {\color{#0000FF}{\text{-}18}}, \, q={\color{#009600}{80}}

t=\text{-} \dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}18}}{2}\pm \sqrt{\left(\dfrac{\color{#0000FF}{\text{-}18}}{2}\right)^2-{\color{#009600}{80}}}

CalcQuotBeräkna kvot

t=\text{-}(\text{-}9)\pm\sqrt{(\text{-}9)^2-80}

NegNeg

\text{-} (\text{-} a)=a

t=9\pm\sqrt{(\text{-}9)^2-80}

CalcPowBeräkna potens

t=9\pm\sqrt{81-80}

SubTermFörenkla termer

t=9\pm\sqrt{1}

CalcRootBeräkna rot

t=9\pm1

StateSolAnge lösningar

\begin{array}{l}t_1=8 \\ t_2=10 \end{array}

4

Byt tillbaka till

x^2

Nu måste man byta tillbaka variabeln eftersom det är värden på $x,$ inte $t,$ som löser ursprungsekvationen. I början gjordes variabelbytet $x^2=t,$ och för lösningarna $t=8$ och $t=10$ ger det att $x^2=8\quad \text{och}\quad x^2=10.$

5

Lös ekvationerna och ange rötterna till ursprungsekvationen

Slutligen måste dessa andragradsekvationer lösas, en i taget.

x^2=8

SqrtEqn

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x=\pm\sqrt{8}

Två av lösningarna är alltså $x=\sqrt{8}$ och $x=\text{-} \sqrt{8}.$

x^2=10

SqrtEqn

\sqrt{\text{VL}}=\sqrt{\text{HL}}

x=\pm\sqrt{10}

De fyra lösningarna till ursprungsekvationen är alltså $x=\pm \sqrt{8}$ och $x=\pm \sqrt{10}.$

Metod

Lösa polynomekvationer grafiskt

För att hitta eventuella rötter till polynomekvationer som är svåra att lösa algebraiskt kan man göra en grafisk lösning. Exempelvis kan man lösa ekvationen

x^4+2x^3+8=9x^2+2x

på detta sätt.

1

Flytta över alla termer till vänsterledet

Genom att skriva om ekvationen så att högerledet är $0$ kan man rita upp vänsterledet som en funktion och identifiera funktionens nollställen för att hitta rötterna: $x^4+2x^3-9x^2-2x+8=0.$ Man skulle också kunna använda höger- och vänsterledets funktioner och undersöka när de skär varandra, men det kan vara lite mer komplicerat.

2

Rita grafen till funktionen

Rita funktionens graf, exempelvis med hjälp av grafritare. Det kan vara nödvändigt att ändra på koordinatsystemets inställningar för att kunna se hela grafen.

3

Hitta nollställena

För att hitta nollställena kan man använda räknarens verktyg för detta. I det här fallet kan man läsa av dem direkt i figuren.

Nollställena är $x=\text{-}4,$ $x=\text{-}1,$ $x=1$ och $x=2$ , och dessa löser även ursprungsekvationen.

Digitala verktyg

Hitta nollställe med räknare

Räknaren har ett inbyggt verktyg för att hitta nollställen till en funktion. För att använda det måste man först rita ut grafen, så man börjar med att skriva in funktionsuttrycket.

Trycker man sedan på GRAPH visas grafen.

Genom att trycka på CALC (2nd + TRACE) visas en meny med olika beräkningar som kan göras.

För att bestämma nollställen väljer man det andra alternativet, zero. Den utritade grafen visas nu igen med en markör som man kan röra med vänster- och högerknapparna.

Man anger den vänstra och högra gränsen för området där räknaren ska leta efter ett nollställe samt en gissning. Det gör man genom att flytta på markören och trycka på ENTER för att välja punkter. Det går också att skriva in ett $x$ -värde och trycka på ENTER.

Nollställets

x

-koordinat visas till vänster och

y

-koordinaten, som är

0,

visas till höger. På grund av att räknaren löser problemet numeriskt blir ibland

y

-koordinaten inte exakt

0,

vilket innebär att resultat inte heller blir exakt. Vill man hitta fler nollställen kan man använda metoden igen och sätta gränserna runt ett annat intervall på grafen.

Lös polynomekvationen med nollproduktmetoden

fullscreen

Uppgift

Lös ekvationen $2x(3x+5)(x-7)=0.$

Visa Lösning

Lösning

Vänsterledet är en produkt av tre faktorer och högerledet är lika med $0.$ Det betyder att vi kan använda nollproduktmetoden.

2x(3x+5)(x-7)=0

ZeroProdPropAnvänd nollproduktmetoden

\begin{cases}2x=0 & \, \, \text {(I)}\\ 3x+5=0 & \, \text {(II)}\\ x-7=0 & \text {(III)}\end{cases}

DivEqn

{\color{#8C8C8C}{\text{(I): }}}

\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.

\begin{cases}x=0 \\ 3x+5=0 \\ x-7=0 \end{cases}

SubEqn

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\text{VL}-5=\text{HL}-5

\begin{cases}x=0 \\ 3x=\text{-} 5 \\ x-7=0 \end{cases}

DivEqn

{\color{#8C8C8C}{\text{(II): }}}

\left.\text{VL}\middle/3\right.=\left.\text{HL}\middle/3\right.

\begin{cases}x=0 \\ x=\text{-} 5/3 \\ x-7=0 \end{cases}

AddEqn

{\color{#8C8C8C}{\text{(III): }}}

\text{VL}+7=\text{HL}+7

\begin{cases}x_1=0 \\ x_2=\text{-} 5/3 \\ x_3=7 \end{cases}

Ekvationen har tre rötter: $x=0,$ $x=\text{-} 5/3$ och $x=7.$