Derivator av exponential- och logaritmfunktioner

För att derivera e^x använder vi regeln för att derivera exponentialfunktioner, D(e^x) = e^x. I det här fallet står det x3 i exponenten, vilket kan ses som en inre funktion med derivatan 13. Deriverar vi funktionen kan vi alltså använda kedjeregeln.

Funktionens derivata är alltså f'(x)=3 e^(x/3).

Regeln för att derivera en exponentialfunktion där basen inte är lika med e är D(a^x) = a^x * ln(x). Vi deriverar funktionen med denna regel.

Vi har nu deriverat klart funktionen och dess derivata är f'(x)=ln(6) * 6^x.

Här har vi ytterligare en exponentialfunktion som skall deriveras och vi kan göra på samma sätt som i förra deluppgiften.

Derivatan är alltså f'(x)=1200* ln(1.4) * 1.4^x.

Här har vi en exponentialfunktion i stil med de tidigare, fast med en inre funktion 2.5x i exponenten. Vi deriverar den med den vanliga regeln för exponentialfunktion samt kedjeregeln.

Vår funktion är nu deriverad och dess derivata är f'(x)=2.5 * ln(5.5) * 5.5^(2.5x).

För att beräkna N'(17) måste vi först derivera exponentialfunktionen N(t)=13 000 000 * 0.97^t och sedan beräkna derivatans värde då t=17. Vi börjar med deriveringen.

Vi sätter sedan in t=17 och beräknar derivatans värde.

Derivatans värde vid t=17 blir alltså N'(17)≈ - 240 000.

Tolkning

Derivatan av en funktion anger hur snabbt funktionen förändras, så om N(t) beskriver befolkningens storlek kommer dess derivata beskriva hur snabbt befolkningen förändras. Vi räknade ut N'(17) ≈ -240 000, som alltså innebär att befolkningen i Jonasien minskar med 240 000 personer per år 17 år efter att utvandringen började.

Ekvationen innehåller y''(x) vilket är andraderivatan av y(x). Vi börjar därför med att derivera funktionen två gånger.

Det var förstaderivatan. Nu till andraderivatan.

Ekvationen vi ska lösa är alltså 9e^(3x) - 4e^(2x)=0. Vi löser den genom att flytta över 4e^(2x) till andra sidan och sedan dividera båda led med e^(2x).

Ekvationen y''(x)=0 har alltså lösningen x= ln ( 49).

Vi deriverar y'(x) för att få y''(x). Då kan vi använda kedjeregeln där ln(x) är yttre funktion i båda termer och de inre funktionerna är 2x+1 respektive 3x.

Ekvationen vi ska lösa är alltså 82x+1 - 63x =0. Det gör vi genom att flytta över 63x till högerledet och sedan korsmultiplicera.

Vi får x=0.5. Men eftersom vi har x i nämnarna i ursprungsekvationen bör vi pröva lösningen för att undersöka om vi fått en falsk rot.

Vänsterledet blev 0 lösningen x = 0.5 är giltig.

Låt oss derivera funktionen med hjälp av deriveringsregeln för ln(x) samt kedjeregeln.

Derivatan av y=ln(4x) är alltså y'=1/x.

Vi använder samma deriveringsregler som i föregående deluppgift och deriverar denna funktion.

Även denna gång blev derivatan y'=1/x.

Vi deriverar denna allmänna funktion på samma sätt genom att behandla k som ett tal.

Vi ser nu att alla funktioner av typen y=ln(kx) har derivatan y'=1/x.

Två funktioner skär varandra för ett visst x-värde om de har samma funktionsvärde där. Vi sätter därför in x= 12 i de två funktionerna och undersöker vilka y-värden vi får. Vi börjar med den första funktionen.

Det var den ena funktionen. Vi sätter sedan in x = 12 i den andra funktionen.

Vi får samma funktionsvärde vilket innebär att funktionerna skär varandra då x= 12.

För att en skärningspunkt även ska vara en tangeringspunkt måste de två graferna ha samma lutning i punkten. Vi kan bestämma funktionernas lutning med hjälp av deras derivator. Vi börjar med att derivera den första funktionen med hjälp av kedjeregeln.

Nu kan vi sätta in x= 12 för att bestämma derivatan. y'( 12 ) = e^(12-1) = e^(- 12) Vi beräknar sedan den andra funktionens derivata.

Vi sätter in x= 12 även i den här derivatan. y' ( 12 ) =e^(- 12) Derivatornas värden är lika vilket innebär att graferna har samma lutning. Eftersom de även skär varandra vid x = 12 måste funktionsgraferna tangerar varandra.