Regel

Derivatan av $\ln(x)$

Derivatan av den naturliga logaritmen, $\ln(x),$ är $\frac{1}{x}.$

Härledning
$D\left(\ln(x)\right)=\dfrac{1}{x}$

För att ta fram derivatan av $\ln(x)$ kan man använda talet $e$ och definitionen för den naturliga logaritmen. $x=e^{\ln(x)}$ Eftersom $x$ och $e^{\ln(x)}$ är lika måste även deras derivator vara lika, dvs. $D(x)=D\left(e^{\ln(x)}\right).$ Vänsterledet är lika med $1$ och högerledet deriveras med kedjeregeln. Den yttre funktionen är $e^{u}$ och den inre är $u=\ln(x).$

$D(x)=D\left(e^{\ln(x)}\right)$

$D\left(x\right) = 1$

$1=D\left(e^{\ln(x)}\right)$

$D\left(e^u\right)=e^{u}\cdot D(u)$

$1=e^{\ln(x)}\cdot D(\ln(x))$

$e^{\ln(a)}= a$

$1=x\cdot D(\ln(x))$

Genom att nu lösa ut $D(\ln(x))$ får man ett uttryck för derivatan.

$1=x\cdot D(\ln(x))$

$\left.\text{VL}\middle/x\right.=\left.\text{HL}\middle/x\right.$

$\dfrac{1}{x}=D(\ln(x))$

Omarrangera ekvation

$D(\ln(x))=\dfrac{1}{x}$

Derivatan av $\ln(x)$ är alltså $\frac{1}{x}.$

Q.E.D.