Regel

Derivatan av ln(x)\ln(x)

Derivatan av den naturliga logaritmen, ln(x),\ln(x), är 1x.\frac{1}{x}.

Härledning

D(ln(x))=1xD\left(\ln(x)\right)=\dfrac{1}{x}
För att ta fram derivatan av ln(x)\ln(x) kan man använda talet ee och definitionen för den naturliga logaritmen. x=eln(x) x=e^{\ln(x)} Eftersom xx och eln(x)e^{\ln(x)} är lika måste även deras derivator vara lika, dvs. D(x)=D(eln(x)). D(x)=D\left(e^{\ln(x)}\right). Vänsterledet är lika med 11 och högerledet deriveras med kedjeregeln. Den yttre funktionen är eue^{u} och den inre är u=ln(x).u=\ln(x).
D(x)=D(eln(x))D(x)=D\left(e^{\ln(x)}\right)
1=D(eln(x))1=D\left(e^{\ln(x)}\right)
1=eln(x)D(ln(x))1=e^{\ln(x)}\cdot D(\ln(x))
1=xD(ln(x))1=x\cdot D(\ln(x))
Genom att nu lösa ut D(ln(x))D(\ln(x)) får man ett uttryck för derivatan.
1=xD(ln(x))1=x\cdot D(\ln(x))
1x=D(ln(x))\dfrac{1}{x}=D(\ln(x))
D(ln(x))=1xD(\ln(x))=\dfrac{1}{x}
Derivatan av ln(x)\ln(x) är alltså 1x.\frac{1}{x}.
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}