Derivatan av ln x

För att ta fram derivatan av

ln (x)

kan man använda talet

e

och definitionen för den naturliga logaritmen.

x = e^{l n (x)}

Eftersom

x

och

e^{l n (x)}

är lika måste även deras derivator vara lika, dvs.

D (x) = D (e^{l n (x)}) .

Vänsterledet är lika med

1

och högerledet deriveras med kedjeregeln. Den yttre funktionen är

e^{u}

och den inre är

u = ln (x) .

D (x) = D (e^{l n (x)})

$D (x) = 1$

1 = D (e^{l n (x)})

$D (e^{u}) = e^{u} \cdot D (u)$

1 = e^{l n (x)} \cdot D (ln (x))

$e^{l n (a)} = a$

1 = x \cdot D (ln (x))

Genom att nu lösa ut

D (ln (x))

får man ett uttryck för derivatan.

1 = x \cdot D (ln (x))

$VL / x = HL / x$

\frac{1}{x} = D (ln (x))

Omarrangera ekvation

D (ln (x)) = \frac{1}{x}

Derivatan av

ln (x)

är alltså

\frac{1}{x} .

Q.E.D.

Derivatan av $ln (x)$