Derivator av exponential- och logaritmfunktioner

Vi deriverar funktionen och använder då räkneregeln för att derivera exponentialfunktioner. Exponenten 2x kan vi se som en inre funktion så vi använder kedjeregeln.

För att bestämma värdet på f'(2) sätter vi in x=2 i uttrycket för derivatan och förenklar.

Vi skall svara exakt, så svaret är alltså f'(2)=162 * ln(3).

Funktionen består av ett uttryck inne i en parentes som är upphöjd till 2, så vi får börja med att använda kedjeregeln på den yttre funktionen u^2 och den inre funktionen u = ln(0.4x) + 2.

När vi deriverar ln(0.4x) ser vi logaritmen som den yttre funktionen och 0.4x som den inre. För att derivera ln(u) använder vi regeln för att derivera logaritmer.

Vi sätter in x=2 och beräknar derivatans värde.

Derivatan av f(x)=(ln(0.4x)+2)^2 när x=2 är alltså f'(2)=ln(0.8)+2.

Eftersom tangenten är en rät linje utgår vi ifrån räta linjens ekvation, y=kx+m. I tangeringspunkten har en tangent alltid samma lutning som funktionen, för oss f(x)=3ln(5x). Funktionens, och därmed tangentens, lutning kan vi beräkna genom att derivera funktionen och sätta in x-koordinaten för tangeringspunkten, dvs. x=0.2.

Tangentens lutning, k, är alltså 15. Vi sätter in detta i räta linjens ekvation och får y=15x+m. Vi vet att tangenten går genom tangeringspunkten som är (0.2,0). Vi sätter in denna punkt i tangentens ekvation och löser sedan ut m.

Vi sätter in detta värde på m och får att tangentens ekvation är y=15x-3.

Vi söker det största och minsta värdet för en sammanhängande funktion på ett slutet intervall och då måste vi undersöka funktionens stationära punkter samt ändpunkterna. För att bestämma de stationära punkterna måste vi först derivera funktionen.

De stationära punkterna finns där derivatan är lika med 0. För att hitta dem löser vi alltså ekvationen f'(x) = 0.

Vi är ute efter stationära punkter mellan x = 0.1 och x = 2, så det är bara den positiva lösningen som är intressant. Den negativa lösningen ingår dessutom inte i funktionens definitionsmängd eftersom ln(x) inte är definierad för negativa värden. Vi bestämmer funktionsvärdet för x = 0.5.

En stationär punkt är alltså ( 0.5, -1.44 ). Vi kan undersöka vilken karaktär den har, t.ex. med andraderivata, men det behövs inte när vi söker största och minsta värdet på ett intervall. Extremvärdena kan bara finnas i de stationära punkterna eller i ändpunkterna, så det räcker med att jämföra dessa. Vi bestämmer y-värdet för den första ändpunkten genom att sätta in x = 0.1 i funktionen.

Den vänstra ändpunkten är (0.1, -2.41 ). Vi sätter in x = 2 för att bestämma y-värdet för den högra ändpunkten.

Den högra ändpunkten har alltså koordinaterna ( 2, -5.31). Vi har nu de tre möjliga extremvärdena på intervallet: -1.44 -2.41 och -5.31. Det största värdet är alltså -1.44 och det minsta är -5.31.

Vi börjar med att notera a^(kx) är en sammansatt funktion med den yttre funktionen a^u och den inre funktionen u = kx. Enligt deriveringsregeln för exponentialfunktioner är derivatan av a^u D( a^u ) = a^u * ln(a). Använder vi kedjeregeln får vi då derivatan D( a^(kx) ) = a^(kx) * ln(a) * D(kx). I den inre funktionen är k bara en konstant, så derivatan blir D(kx) = k. Vi får alltså D( a^(kx) ) = a^(kx) * ln(a) * k. Det är lämpligt att notera att a>0, a≠1 och att k är en nollskild reell konstant.