Kedjeregeln

Man kan bevisa formeln med utgångspunkt i derivatans definition: D(f(x)) = lim _(h → 0)f(x+h) - f(x)/h. För den sammansatta funktionen f(g(x)) får man D(f(g(x)))=lim _(h → 0)f(g(x+h)) - f(g(x))/h. Hur skriver man om detta till produkten i formeln? Första steget är att förlänga bråket med ett lämpligt uttryck för att få ett gränsvärde av en produkt. Då kan man dela upp gränsvärdet som produkten av två andra gränsvärden, som båda beskriver derivator. Därför förlänger man med g(x+h)-g(x).

Det högra gränsvärdet motsvarar den inre derivatan, uttryckt med derivatans definition, så likheten kan skrivas som D(f(g(x)))=lim _(h → 0)f(g(x+h)) - f(g(x))/g(x+h)-g(x)* g'(x). Nu återstår bara att visa att det vänstra gränsvärdet är lika med den yttre derivatan, f'(g(x)). Det kan man göra genom att skriva om gränsvärdet så att det motsvarar definitionen för f'(g(x)). Den högra termen i täljaren är redan korrekt, men övriga delar behöver skrivas om. Man gör nu följande ersättning i nämnaren: g(x+h)-g(x)=k. Notera att g(x+h)-g(x) närmar sig 0 när h→0, eftersom de två termerna då går mot samma värde. När man ersätter nämnaren med k är det därför viktigt att man även byter ut h→0 mot k→0, så att nämnaren närmar sig 0 även efter ersättningen. I samband med detta adderas g(x)-g(x) till argumentet i funktionen f i täljarens vänstra term, med syftet att sätta in k även där.

Dessa ersättningar ger D(f(g(x)))=lim _(k → 0)f(g(x)+k) - f(g(x))/k* g'(x). Man kan nu se att gränsvärdet motsvarar den yttre derivatan, f'(g(x)), uttryckt med derivatans definition. Vid insättning får man till sist kedjeregeln: D(f(g(x)))=f'(g(x))* g'(x).