3. Derivator av exponential- och logaritmfunktioner
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 5
3.
Derivator av exponential- och logaritmfunktioner
Denna lektion fokuserar på derivator av exponential- och logaritmfunktioner. Innehållet förklarar hur man kan använda derivatans definition för att härleda derivatan till e^x, vilket är e^x. Det förklarar också hur man kan använda kedjeregeln för att derivera funktioner på formen a^x och ln x. Dessutom innehåller det en genomgång av hur man tar fram derivatan av ln x, vilket är 1/x. Denna lektion är särskilt användbar för studenter som vill förstå dessa koncept på djupet och hur de tillämpas i praktiken.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Derivator av exponential- och logaritmfunktioner
Sida av 5
Många förlopp kan beskrivas av exponential- eller logaritmfunktioner. Om man vill studera dessa förlopp över tid kan det vara bra att veta hur man deriverar funktionerna.
Regel
Derivatan av exponentialfunktioner
Härledning
D(e^x) = e^xFör att visa varför derivatan till e^x är e^x kan man använda derivatans definition.
Eftersom e^x inte påverkas av att h går mot 0 kan man placera e^x utanför gränsvärdet:
f'(x) = e^x * lim _(h → 0) e^h - 1/h.
Man kan visa att gränsvärdet lim _(h → 0) e^h - 1h är lika med 1 (detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att
f'(x)=e^x* 1=e^x.
f'(x) =lim _(h → 0)f(x+h) - f(x)/h
SubstituteII
f(x+h)= e^(x+h) och f(x)= e^x
f'(x) = lim _(h → 0) e^(x+h) - e^x/h
SumInExponent
a^(b+c)=a^b*a^c
f'(x) = lim _(h → 0) e^x * e^h - e^x/h
SplitIntoFactors
Dela upp i faktorer
f'(x) = lim _(h → 0) e^x * e^h- e^x* 1/h
FactorOut
Bryt ut e^x
f'(x) = lim _(h → 0) e^x(e^h - 1)/h
MovePartNumLeft
a* b/c=a*b/c
f'(x) = lim _(h → 0) (e^x * e^h - 1/h)
Härledning
D(a^x ) = a^x * ln(a)För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen a i exponentialfunktionen f(x)=a^x enligt sambandet a=e^(ln(a)). Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen e.
Uttrycken a^x och e^(ln(a)* x) är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln D(e^(kx))=ke^(kx) för att derivera a^x. Därefter skrivs e^(ln(a)) om till a igen.f(x)= e^(ln(a)* x)
Derive
Derivera funktion
f'(x) =D(e^(ln(a)* x))
DeriveECo
D( e^(kx)) = ke^(kx)
f'(x) =ln(a)* e^(ln(a)* x)
ProdInExponent
a^(b* c)=(a^b)^c
f'(x) =ln(a)* (e^(ln(a)))^x
LnIdII
e^(ln(a))= a
f'(x) =ln(a)* a^x
Exempel
Bestäm derivatans nollställen
Lös ekvationen f'(x) = 0 givet att f(x) = e^(3x^2-2x+1).
Visa Lösning expand_more
För att kunna lösa ekvationen behöver vi först hitta ett uttryck för derivatan f'(x). Vi noterar att f(x) är en sammansatt funktion, med den yttre funktionen y = e^u och den inre funktionen u = 3x^2 - 2x + 1. Vi använder alltså kedjeregeln.
Vi kan nu använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen f'(x)=0. Faktorn e^(3x^2 - 2x + 1) kan dock aldrig bli 0 eftersom en potens med positiv bas alltid är positiv. Det räcker därför att lösa ekvationen 6x-2=0.
Derivatan har alltså nollstället x = 13.
f(x) = e^(3x^2-2x+1)
Derive
Derivera funktion
f'(x) = D( e^(3x^2-2x+1) )
DeriveEChain
D(e^u)=e^u* D(u)
f'(x) = e^(3x^2 - 2x + 1) * D( 3x^2 - 2x + 1 )
DeriveSum
Derivera term för term
f'(x) = e^(3x^2 - 2x + 1) * ( D( 3x^2 ) - D(2x) + D(1) )
DeriveXCo
D(ax) = a, D(a) = 0
f'(x) = e^(3x^2 - 2x + 1) * ( D( 3x^2 ) - 2 )
DeriveMonomCo
D(ax^n) = a* nx^(n-1)
f'(x) = e^(3x^2 - 2x + 1) * ( 6x - 2 )
6x - 2 = 0
▼
Lös ekvationen
x = 1/3
Regel
Derivatan av ln(x)
Derivatan av den naturliga logaritmen, ln(x), är 1x.
Härledning
D(ln(x))=1/xFör att ta fram derivatan av ln(x) kan man använda talet e och definitionen för den naturliga logaritmen.
x=e^(ln(x))
Eftersom x och e^(ln(x)) är lika måste även deras derivator vara lika, dvs.
D(x)=D(e^(ln(x))).
Vänsterledet är lika med 1 och högerledet deriveras med kedjeregeln. Den yttre funktionen är e^u och den inre är u=ln(x).
Genom att nu lösa ut D(ln(x)) får man ett uttryck för derivatan.
Derivatan av ln(x) är alltså 1x.
D(x)=D(e^(ln(x)))
DeriveX
D(x) = 1
1=D(e^(ln(x)))
DeriveEChain
D(e^u)=e^u* D(u)
1=e^(ln(x))* D(ln(x))
LnIdII
e^(ln(a))= a
1=x* D(ln(x))
Q.E.D.
Exempel
Derivera en exponential- och logaritmfunktion
Derivera funktionen f(x)=e^(x^2+x)-ln(2x).
Visa Lösning expand_more
Vi har en differens som består av två sammansatta funktioner. De yttre funktionerna är e^x och ln(x), och de inre är x^2+x och 2x. Vi använder därför kedjeregeln tillsammans med deriveringsreglerna för e^x och ln(x).
Om man vill kan man multiplicera in e^(x^2+x) i parentesen, men då blir uttrycket längre.
f(x)=e^(x^2+x)-ln(2x)
Derive
Derivera funktion
f'(x)=D(e^(x^2+x))-D(ln(2x))
DeriveEChain
D(e^u)=e^u* D(u)
f'(x)=e^(x^2+x)* D(x^2+x)-D(ln(2x))
DeriveSum
Derivera term för term
f'(x)=e^(x^2+x)* (D(x^2)+D(x))-D(ln(2x))
DeriveMonom
D(x^n) = nx^(n-1)
f'(x)=e^(x^2+x)* (2x+D(x))-D(ln(2x))
DeriveX
D(x) = 1
f'(x)=e^(x^2+x)* (2x+1)-D(ln(2x))
DeriveLnChain
D\left(\ln (u)\right) = \dfrac 1 {u}\cdot D(u)
f'(x)=e^(x^2+x)* (2x+1)-1/2x* D(2x)
DeriveXCo
D(ax) = a
f'(x)=e^(x^2+x)* (2x+1)-1/2x* 2
MoveRightFacToNumOne
1/b* a = a/b
f'(x)=e^(x^2+x)* (2x+1)-2/2x
ReduceFrac
Förkorta med 2
f'(x)=e^(x^2+x)* (2x+1)-1/x
Derivator av exponential- och logaritmfunktioner
Uppgift 3.1
Bestäm k sådant att y=ln(x) och y=kx-2 tangerar varandra.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"k=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["e"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi ska alltså bestämma lutningen på linjen y=kx-2 så att denna linje tangerar kurvan y=ln(x). För att göra det använder vi att funktionerna har samma x- och y-koordinat samt lika lutning i tangeringspunkten. Vi vet att lutningen för den räta linjen är k. Låt oss nu bestämma vilken lutning funktionen y=ln(x) har genom att derivera den.
Funktionen y=ln(x) har alltså lutningen 1x. Där de båda funktionerna tangerar varandra har även den räta linjen lutningen k= 1x. Vi sätter in detta i y=kx-2 och får då tangeringspunktens y-koordinat till y=1/x* x-2=1-2=- 1. Vi kan nu bestämma tangeringspunktens x-koordinat genom att sätta in y=- 1 i y=ln(x).
Vi vet att tangentens lutning är k= 1x och sätter till sist in x=e^(- 1) för att bestämma k.
Värdet på k måste alltså vara e för att y=ln(x) och y=kx-2 ska tangera varandra.
security
report
code
Givet
f(x) = - e^(- 4x) + 2e^(- 2x)/4 - 2x,
lös ekvationen f'(x) = 0.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"x=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-\\dfrac{\\ln(2)}{2}"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att derivera funktionen för att kunna ställa upp ekvationen f'(x) = 0.
Vi ska alltså lösa ekvationen e^(- 4x) - e^(- 2x) - 2 = 0. En ekvation på den här formen har vi ingen standardmetod för att lösa, men vi kan genomföra en variabelsubstitution för att göra den lättare. Om den första termen skrivs om med hjälp av potenslagar kan vi ersätta e^(- 2x) med en variabel.
Vi har nu en andragradsekvation som vi löser med hjälp av pq-formeln.
Nu byter vi tillbaka från variabeln t till variabeln x. Likheten t = e^(- 2x) ger oss ekvationerna e^(- 2x)=- 1 och e^(- 2x)=2. Vi kan här notera att för en positiv bas, som e, kan en potens aldrig anta ett negativt värde så länge exponenten är reell. Vi kan därför förkasta den första ekvationen — potensen e^(- 2x) kan aldrig vara - 1 för reella värden på x. Ekvationen e^(- 2x)=2 kan vi däremot lösa som vanligt.
Vi har nu löst ekvationen och får x =- ln(2)/2.
security
report
code
Derivator av exponential- och logaritmfunktioner
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll