body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

4

Kurs 4 Visa detaljer

3. Derivator av exponential- och logaritmfunktioner

Fortsätt till nästa lektion

Kapitel 5

3.

Derivator av exponential- och logaritmfunktioner

Denna lektion fokuserar på derivator av exponential- och logaritmfunktioner. Innehållet förklarar hur man kan använda derivatans definition för att härleda derivatan till e^x, vilket är e^x. Det förklarar också hur man kan använda kedjeregeln för att derivera funktioner på formen a^x och ln x. Dessutom innehåller det en genomgång av hur man tar fram derivatan av ln x, vilket är 1/x. Denna lektion är särskilt användbar för studenter som vill förstå dessa koncept på djupet och hur de tillämpas i praktiken.

Inställningar & verktyg för lektion

	5 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Derivator av exponential- och logaritmfunktioner

Sida av 5

Många förlopp kan beskrivas av exponential- eller logaritmfunktioner. Om man vill studera dessa förlopp över tid kan det vara bra att veta hur man deriverar funktionerna.

Regel

Derivatan av exponentialfunktioner

Härledning

D (e^{x}) = e^{x}

För att visa varför derivatan till

e^{x}

är

e^{x}

kan man använda derivatans definition.

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h}

$f (x + h) = e^{x + h}$ och $f (x) = e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x + h} - e ^{x}}{h}

$a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x}}{h}

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} \cdot e ^{h} - e ^{x} \cdot 1}{h}

Bryt ut $e^{x}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{e ^{x} ( e ^{h} - 1 )}{h}

MovePartNumLeft

$\frac{a \cdot b}{c} = a \cdot \frac{b}{c}$

f^{'} (x) = h \to 0 lim (e^{x} \cdot \frac{e ^{h} - 1}{h})

Eftersom

e^{x}

inte påverkas av att

h

går mot

0

kan man placera

e^{x}

utanför gränsvärdet:

f^{'} (x) = e^{x} \cdot h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h} .

Man kan visa att gränsvärdet

h \to 0 lim \frac{e ^{h} - 1}{h}

är lika med

1

(detta är ett så kallat standardgränsvärde). Det medför att

f^{'} (x) = e^{x} \cdot 1 = e^{x} .

Härledning

D (a^{x}) = a^{x} \cdot ln (a)

För att visa varför regeln gäller kan man skriva om basen $a$ i exponentialfunktionen $f (x) = a^{x}$ enligt sambandet $a = e^{l n (a)}$ . Sedan använder man deriveringsreglerna för exponentialfunktioner med basen $e .$

f (x) = a^{x}

$a = e^{l n (a)}$

f (x) = (e^{l n (a)})^{x}

$(a^{b})^{c} = a^{b \cdot c}$

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Uttrycken

a^{x}

och

e^{l n (a) \cdot x}

är alltså ekvivalenta och man kan nu använda deriveringsregeln

D (e^{k x}) = k e^{k x}

för att derivera

a^{x} .

Därefter skrivs

e^{l n (a)}

om till

a

igen.

f (x) = e^{l n (a) \cdot x}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{l n (a) \cdot x})

$D (e^{k x}) = k e^{k x}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot e^{l n (a) \cdot x}

$a^{b \cdot c} = (a^{b})^{c}$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot (e^{l n (a)})^{x}

$e^{l n (a)} = a$

f^{'} (x) = ln (a) \cdot a^{x}

När man deriverar funktioner på formen

e^{k x} eller a^{k x}

kan man se dem som sammansatta funktioner och därför använda kedjeregeln. De yttre funktionerna är

e^{u}

respektive

a^{u}

och i båda fallen är den inre funktionen

u = k x .

Man får då derivatan

k e^{k x} eller k a^{k x} \cdot ln (a) .

Det är alltså inte nödvändigt att minnas de särskilda deriveringsreglerna för

e^{k x}

respektive

a^{k x}

om man känner till kedjeregeln.

Bestäm derivatans nollställen

fullscreen

Lös ekvationen $f^{'} (x) = 0$ givet att $f (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1} .$

Visa Lösning

För att kunna lösa ekvationen behöver vi först hitta ett uttryck för derivatan

f^{'} (x) .

Vi noterar att

f (x)

är en sammansatt funktion, med den yttre funktionen

y = e^{u}

och den inre funktionen

u = 3 x^{2} - 2 x + 1 .

Vi använder alltså kedjeregeln.

f (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1}

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{3 x^{2} - 2 x + 1})

$D (e^{u}) = e^{u} \cdot D (u)$

f^{'} (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1} \cdot D (3 x^{2} - 2 x + 1)

Derivera term för term

f^{'} (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1} \cdot (D (3 x^{2}) - D (2 x) + D (1))

$D (a x) = a$ , $D (a) = 0$

f^{'} (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1} \cdot (D (3 x^{2}) - 2)

$D (a x^{n}) = a \cdot n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = e^{3 x^{2} - 2 x + 1} \cdot (6 x - 2)

Vi kan nu använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen

f^{'} (x) = 0 .

Faktorn

e^{3 x^{2} - 2 x + 1}

kan dock aldrig bli

0

eftersom en potens med positiv bas alltid är positiv. Det räcker därför att lösa ekvationen

6 x - 2 = 0 .

6 x - 2 = 0

▼

Lös ekvationen

$VL + 2 = HL + 2$

6 x = 2

$VL / 6 = HL / 6$

x = \frac{2}{6}

Förkorta med $2$

x = \frac{1}{3}

Derivatan har alltså nollstället

x = \frac{1}{3} .

Regel

Derivatan av $ln (x)$

Derivatan av den naturliga logaritmen, $ln (x),$ är $\frac{1}{x} .$

Härledning

D (ln (x)) = \frac{1}{x}

För att ta fram derivatan av

ln (x)

kan man använda talet

e

och definitionen för den naturliga logaritmen.

x = e^{l n (x)}

Eftersom

x

och

e^{l n (x)}

är lika måste även deras derivator vara lika, dvs.

D (x) = D (e^{l n (x)}) .

Vänsterledet är lika med

1

och högerledet deriveras med kedjeregeln. Den yttre funktionen är

e^{u}

och den inre är

u = ln (x) .

D (x) = D (e^{l n (x)})

$D (x) = 1$

1 = D (e^{l n (x)})

$D (e^{u}) = e^{u} \cdot D (u)$

1 = e^{l n (x)} \cdot D (ln (x))

$e^{l n (a)} = a$

1 = x \cdot D (ln (x))

Genom att nu lösa ut

D (ln (x))

får man ett uttryck för derivatan.

1 = x \cdot D (ln (x))

$VL / x = HL / x$

\frac{1}{x} = D (ln (x))

Omarrangera ekvation

D (ln (x)) = \frac{1}{x}

Derivatan av

ln (x)

är alltså

\frac{1}{x} .

Q.E.D.

Derivera en exponential- och logaritmfunktion

fullscreen

Derivera funktionen $f (x) = e^{x^{2} + x} - ln (2 x) .$

Visa Lösning

Vi har en differens som består av två sammansatta funktioner. De yttre funktionerna är

e^{x}

och

ln (x),

och de inre är

x^{2} + x

och

2 x .

Vi använder därför kedjeregeln tillsammans med deriveringsreglerna för

e^{x}

och

ln (x) .

f (x) = e^{x^{2} + x} - ln (2 x)

Derivera funktion

f^{'} (x) = D (e^{x^{2} + x}) - D (ln (2 x))

$D (e^{u}) = e^{u} \cdot D (u)$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot D (x^{2} + x) - D (ln (2 x))

Derivera term för term

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (D (x^{2}) + D (x)) - D (ln (2 x))

$D (x^{n}) = n x^{n - 1}$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + D (x)) - D (ln (2 x))

$D (x) = 1$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) - D (ln (2 x))

$D (ln (u)) = \frac{1}{u} \cdot D (u)$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) - \frac{1}{2 x} \cdot D (2 x)

$D (a x) = a$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) - \frac{1}{2 x} \cdot 2

MoveRightFacToNumOne

$\frac{1}{b} \cdot a = \frac{a}{b}$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) - \frac{2}{2 x}

Förkorta med $2$

f^{'} (x) = e^{x^{2} + x} \cdot (2 x + 1) - \frac{1}{x}

Om man vill kan man multiplicera in

e^{x^{2} + x}

i parentesen, men då blir uttrycket längre.

Derivator av exponential- och logaritmfunktioner

Uppgift 3.1

Bestäm

k

sådant att

y = ln (x)

och

y = k x - 2

tangerar varandra.

Vi ska alltså bestämma lutningen på linjen y=kx-2 så att denna linje tangerar kurvan y=ln(x). För att göra det använder vi att funktionerna har samma x- och y-koordinat samt lika lutning i tangeringspunkten. Vi vet att lutningen för den räta linjen är k. Låt oss nu bestämma vilken lutning funktionen y=ln(x) har genom att derivera den.

Funktionen y=ln(x) har alltså lutningen 1x. Där de båda funktionerna tangerar varandra har även den räta linjen lutningen k= 1x. Vi sätter in detta i y=kx-2 och får då tangeringspunktens y-koordinat till y=1/x* x-2=1-2=- 1. Vi kan nu bestämma tangeringspunktens x-koordinat genom att sätta in y=- 1 i y=ln(x).

Vi vet att tangentens lutning är k= 1x och sätter till sist in x=e^(- 1) för att bestämma k.

Värdet på k måste alltså vara e för att y=ln(x) och y=kx-2 ska tangera varandra.

Givet

f (x) = \frac{- e ^{- 4 x} + 2 e ^{- 2 x}}{4} - 2 x,

lös ekvationen

f^{'} (x) = 0 .

Vi börjar med att derivera funktionen för att kunna ställa upp ekvationen f'(x) = 0.

Vi ska alltså lösa ekvationen e^(- 4x) - e^(- 2x) - 2 = 0. En ekvation på den här formen har vi ingen standardmetod för att lösa, men vi kan genomföra en variabelsubstitution för att göra den lättare. Om den första termen skrivs om med hjälp av potenslagar kan vi ersätta e^(- 2x) med en variabel.

Vi har nu en andragradsekvation som vi löser med hjälp av pq-formeln.

Nu byter vi tillbaka från variabeln t till variabeln x. Likheten t = e^(- 2x) ger oss ekvationerna e^(- 2x)=- 1 och e^(- 2x)=2. Vi kan här notera att för en positiv bas, som e, kan en potens aldrig anta ett negativt värde så länge exponenten är reell. Vi kan därför förkasta den första ekvationen — potensen e^(- 2x) kan aldrig vara - 1 för reella värden på x. Ekvationen e^(- 2x)=2 kan vi däremot lösa som vanligt.

Vi har nu löst ekvationen och får x =- ln(2)/2.

Derivator av exponential- och logaritmfunktioner

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.