Andragradsekvationer

Faktorn x^2 finns i båda termer så vi kan bryta ut den.

Nu har vi en produkt som är lika med 0, så vi kan använda nollproduktmetoden. Det spelar ingen roll att den ena faktorn är x^2.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och faktoriserar innan vi använder nollproduktmetoden.

Nu har vi en produkt som är lika med 0 så vi använder nollproduktmetoden.

Vi fortsätter som vanligt och faktoriserar innan vi använder nollproduktmetoden. x^(1000) kan skrivas som x^(999)* x.

Vänsterledet kan faktoriseras med hjälp av andra kvadreringsregeln.

Nu har vi en kvadrat i ena ledet, vilket betyder att vi kan dra roten ur båda led.

Om det bara finns en lösning till en andragradsekvation kallas det för en dubbelrot.

Alla termer i vänsterledet är jämna så vi delar både led med 2 och sedan faktoriserar vi med första kvadreringsregeln.

Vi kan faktorisera x^(n+2) enligt potenslagen a^(b+c)=a^b*a^c och sedan använda nollproduktmetoden.

För vilka x blir den första ekvationen 0? I vänsterledet står det x^n, vilket kan skrivas som n stycken x multiplicerade med varandra: x^n=x* x* x*... * x_(n st.)=0. Detta är alltså en produkt där alla faktorer är x. Enligt nollproduktmetoden måste minst en av dessa vara 0, dvs. x=0. Detta är den enda lösningen till denna ekvation. Den sista ekvationen x^2-1=0 kan vi lösa som vanligt.

Ekvationen har alltså tre lösningar: x=0, x=- 1 och x=1.

Om x=-3 och x=4 betyder det att om man sätter in de x-värdena i ekvationen kommer likheten att gälla. Vi sätter därför in x-värdena, ett i taget.

Nu har vi ett samband mellan a och b. Vi sätter in den andra roten och kommer då att få ytterligare ett samband mellan konstanterna.

Nu har vi två samband mellan a och b. Båda måste gälla samtidigt så vi kan hitta värdet på dem genom att lösa ekvationssystemet 18+3a+b=0 32-4a+b=0. Vi löser det med substitutionsmetoden.

Nu vet vi att a är lika med 2, så vi sätter in det i den andra ekvationen för att bestämma b.

a är lika med 2 och b är lika med -24. Detta ger oss kvoten b/a=-12.

Här kan nollproduktmetoden användas, men först måste vi faktorisera. Båda termer innehåller faktorn (x-4), så man kan bryta ut den. Om man tycker det är svårt att bryta ut en hel parentes kan man tillfälligt kalla den för t.ex. k.

Nu byter vi tillbaka k mot den utbytta parentesen och använder nollproduktmetoden.

Ekvationens lösningar är alltså x=-2 och x=4.

Vi flyttar först över den ena termen så att en ledet blir 0. Därefter kan vi bryta ut parentesen (5+x) på samma sätt som tidigare.

Nu har vi en produkt av två parenteser i vänsterledet och en nolla i högerledet, så vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och faktoriserar genom att bryta ut parentesen (8-3x). Vi kallar den tillfälligt för k och byter sedan tillbaka den.

Nu har vi en kvadrat i vänsterledet och en nolla i högerledet. Vi drar kvadratroten ur båda led för att bli av med potensen.

Med hjälp av nollproduktmetoden baklänges kan vi skapa ekvationer med de önskade lösningarna. Ett exempel är ekvationen (x-2)(x+4)=0. Men vad händer om vi lägger till en konstant framför parenteserna, t.ex. 2? 2(x-2)(x+4)=0 Vi inser att denna ekvation kommer att ha samma lösningar som den första, eftersom den fortfarande kommer att bli 0 om vi sätter in x=2 eller x=-4. På samma vis kan vi sätta in vilken annan konstant som helst, och lösningarna kommer fortfarande att vara desamma. Alla andragradsekvationer kan vi därför få genom att skriva ekvationen som k(x-2)(x+4)=0, där k är en konstant. Man kan stanna där, men vi kan också välja att skriva om ekvationen på allmän form.

Vi kan få fram b genom att sätta in den kända roten, x=5, i ekvationen och lösa ut b.

Sätter vi in b=7 i ekvationen får vi x^2-7x+10=0. Vi kallar den okända roten för r. Enligt nollproduktmetoden vet vi då att vi kan skriva ekvationen på formen (x-r)(x-5)=0. Vi multiplicerar ihop parenteserna i vänsterledet för att få ekvationen på samma form som i uppgiften.

Eftersom ekvationerna nu är på samma form får vi jämföra t.ex. koefficienterna framför x: x^2- 7&x+10=0 x^2-(5+r)&x+5r=0. Det ger oss sambandet 7=5+r, så den andra roten är r=2.

När bollen når marken inne i målburen innebär det att höjden över marken är lika med noll, dvs. h(t)=0. Genom att sätta in detta i funktionen får vi en andragradsekvation: 0=at^2+bt. Lösningarna till denna anger hur lång tid efter skottet som bollen är i markhöjd. Vi löser ekvationen genom att faktorisera den och sedan använda nollproduktmetoden.

För att högerledet ska bli noll måste antingen t eller at + b vara lika med noll.

Ekvationens lösningar är t=0 och t=- ba och bollen är alltså på marken vid två tillfällen, som vi ser i figuren.

Den första lösningen innebär att bollen är på marken i skottögonblicket, dvs. vid tiden 0 sekunder. Det är en korrekt lösning, men inte intressant för oss. Vi är ute efter den andra lösningen t=-b/a sekunder. Detta är alltså tiden det tar för bollen att komma tillbaka till marken efter att ha varit uppe i luften.

Eftersom bråken beskriver samma tal kan de likställas. Vi gör detta och löser ut b.

Nu har vi en andragradsekvation där ena ledet är 0. I det andra innehåller alla termer faktorn 5b så vi kan bryta ut den och använda nollproduktmetoden.

Vi får två lösningar till ekvationen: b=0 och b=2. Men om man sätter in b=0 i någon av uttrycken för det sökta talet får vi 0 i nämnaren, vilket inte är tillåtet. Därför måste b vara lika med 2. Vi sätter in det i en av ursprungsuttrycken.

Det sökta talet är 5.

Basen i 16^a kan skrivas om som 4^2. Gör vi detta kommer vi lite närmare en potens som ser ut som 4^a.

Nu drar vi roten ur båda led för att lösa ut 4^a. Glöm inte bort att lägga till ± i högerledet eftersom vi drar en jämn rot ur ekvationen.

Kan då 4^a vara både 15 och - 15? Nej, 4^a kan endast vara 15 eftersom oavsett vad man upphöjer det positiva talet 4 till så kommer man att få ett till positivt tal. Vi bortser alltså från den negativa lösningen, vilket ger svaret 4^a = 15.

Eftersom a är en konstant är det x vi ska lösa ut när vi löser ekvationen. Vi börjar därför med att få x^2 ensamt genom att addera (a-1)^2 till båda led. Därefter kan vi lösa ut x genom att dra roten ur båda led.

Det finns två lösningar: x=a-1 och x=1-a.

Man kan också faktorisera vänsterledet med konjugatregeln eftersom det är en differens av två kvadrater. Då kan man sedan använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen.

Ekvationens lösningar är alltså x=1-a och x=a-1.