Andragradsekvationer

Vänsterledet kan faktoriseras med hjälp av andra kvadreringsregeln.

Nu har vi en kvadrat i ena ledet, vilket betyder att vi kan dra roten ur båda led.

Om det bara finns en lösning till en andragradsekvation kallas det för en dubbelrot.

Alla termer i vänsterledet är jämna så vi delar både led med 2 och sedan faktoriserar vi med första kvadreringsregeln.

Vi kan faktorisera x^(n+2) enligt potenslagen a^(b+c)=a^b*a^c och sedan använda nollproduktmetoden.

För vilka x blir den första ekvationen 0? I vänsterledet står det x^n, vilket kan skrivas som n stycken x multiplicerade med varandra: x^n=x* x* x*... * x_(n st.)=0. Detta är alltså en produkt där alla faktorer är x. Enligt nollproduktmetoden måste minst en av dessa vara 0, dvs. x=0. Detta är den enda lösningen till denna ekvation. Den sista ekvationen x^2-1=0 kan vi lösa som vanligt.

Ekvationen har alltså tre lösningar: x=0, x=- 1 och x=1.

Om x=-3 och x=4 betyder det att om man sätter in de x-värdena i ekvationen kommer likheten att gälla. Vi sätter därför in x-värdena, ett i taget.

Nu har vi ett samband mellan a och b. Vi sätter in den andra roten och kommer då att få ytterligare ett samband mellan konstanterna.

Nu har vi två samband mellan a och b. Båda måste gälla samtidigt så vi kan hitta värdet på dem genom att lösa ekvationssystemet 18+3a+b=0 32-4a+b=0. Vi löser det med substitutionsmetoden.

Nu vet vi att a är lika med 2, så vi sätter in det i den andra ekvationen för att bestämma b.

a är lika med 2 och b är lika med -24. Detta ger oss kvoten b/a=-12.

Här kan nollproduktmetoden användas, men först måste vi faktorisera. Båda termer innehåller faktorn (x-4), så man kan bryta ut den. Om man tycker det är svårt att bryta ut en hel parentes kan man tillfälligt kalla den för t.ex. k.

Nu byter vi tillbaka k mot den utbytta parentesen och använder nollproduktmetoden.

Ekvationens lösningar är alltså x=-2 och x=4.

Vi flyttar först över den ena termen så att en ledet blir 0. Därefter kan vi bryta ut parentesen (5+x) på samma sätt som tidigare.

Nu har vi en produkt av två parenteser i vänsterledet och en nolla i högerledet, så vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Vi gör på samma sätt som i föregående deluppgift och faktoriserar genom att bryta ut parentesen (8-3x). Vi kallar den tillfälligt för k och byter sedan tillbaka den.

Nu har vi en kvadrat i vänsterledet och en nolla i högerledet. Vi drar kvadratroten ur båda led för att bli av med potensen.

Med hjälp av nollproduktmetoden baklänges kan vi skapa ekvationer med de önskade lösningarna. Ett exempel är ekvationen (x-2)(x+4)=0. Men vad händer om vi lägger till en konstant framför parenteserna, t.ex. 2? 2(x-2)(x+4)=0 Vi inser att denna ekvation kommer att ha samma lösningar som den första, eftersom den fortfarande kommer att bli 0 om vi sätter in x=2 eller x=-4. På samma vis kan vi sätta in vilken annan konstant som helst, och lösningarna kommer fortfarande att vara desamma. Alla andragradsekvationer kan vi därför få genom att skriva ekvationen som k(x-2)(x+4)=0, där k är en konstant. Man kan stanna där, men vi kan också välja att skriva om ekvationen på allmän form.

Vi kan få fram b genom att sätta in den kända roten, x=5, i ekvationen och lösa ut b.

Sätter vi in b=7 i ekvationen får vi x^2-7x+10=0. Vi kallar den okända roten för r. Enligt nollproduktmetoden vet vi då att vi kan skriva ekvationen på formen (x-r)(x-5)=0. Vi multiplicerar ihop parenteserna i vänsterledet för att få ekvationen på samma form som i uppgiften.

Eftersom ekvationerna nu är på samma form får vi jämföra t.ex. koefficienterna framför x: x^2- 7&x+10=0 x^2-(5+r)&x+5r=0. Det ger oss sambandet 7=5+r, så den andra roten är r=2.

När bollen når marken inne i målburen innebär det att höjden över marken är lika med noll, dvs. h(t)=0. Genom att sätta in detta i funktionen får vi en andragradsekvation: 0=at^2+bt. Lösningarna till denna anger hur lång tid efter skottet som bollen är i markhöjd. Vi löser ekvationen genom att faktorisera den och sedan använda nollproduktmetoden.

För att högerledet ska bli noll måste antingen t eller at + b vara lika med noll.

Ekvationens lösningar är t=0 och t=- ba och bollen är alltså på marken vid två tillfällen, som vi ser i figuren.

Den första lösningen innebär att bollen är på marken i skottögonblicket, dvs. vid tiden 0 sekunder. Det är en korrekt lösning, men inte intressant för oss. Vi är ute efter den andra lösningen t=-b/a sekunder. Detta är alltså tiden det tar för bollen att komma tillbaka till marken efter att ha varit uppe i luften.

Eftersom bråken beskriver samma tal kan de likställas. Vi gör detta och löser ut b.

Nu har vi en andragradsekvation där ena ledet är 0. I det andra innehåller alla termer faktorn 5b så vi kan bryta ut den och använda nollproduktmetoden.

Vi får två lösningar till ekvationen: b=0 och b=2. Men om man sätter in b=0 i någon av uttrycken för det sökta talet får vi 0 i nämnaren, vilket inte är tillåtet. Därför måste b vara lika med 2. Vi sätter in det i en av ursprungsuttrycken.

Det sökta talet är 5.

Basen i 16^a kan skrivas om som 4^2. Gör vi detta kommer vi lite närmare en potens som ser ut som 4^a.

Nu drar vi roten ur båda led för att lösa ut 4^a. Glöm inte bort att lägga till ± i högerledet eftersom vi drar en jämn rot ur ekvationen.

Kan då 4^a vara både 15 och - 15? Nej, 4^a kan endast vara 15 eftersom oavsett vad man upphöjer det positiva talet 4 till så kommer man att få ett till positivt tal. Vi bortser alltså från den negativa lösningen, vilket ger svaret 4^a = 15.

Eftersom a är en konstant är det x vi ska lösa ut när vi löser ekvationen. Vi börjar därför med att få x^2 ensamt genom att addera (a-1)^2 till båda led. Därefter kan vi lösa ut x genom att dra roten ur båda led.

Det finns två lösningar: x=a-1 och x=1-a.

Man kan också faktorisera vänsterledet med konjugatregeln eftersom det är en differens av två kvadrater. Då kan man sedan använda nollproduktmetoden för att lösa ekvationen.

Ekvationens lösningar är alltså x=1-a och x=a-1.