2. Andragradsekvationer
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 2
2.
Andragradsekvationer
Utforska andragradsekvationer, en central del av algebra. Dessa ekvationer, som innehåller en kvadrerad term men inga termer av högre grad, kan ha noll, en eller två lösningar. Det finns flera metoder för att lösa dessa ekvationer, och Denna lektion ger dig en introduktion till några av dessa metoder, inklusive nollproduktmetoden. Genom att förstå dessa koncept kan du förbättra dina matematiska färdigheter och bli mer skicklig på att lösa komplexa problem.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 30 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Andragradsekvationer
Sida av 6
I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:
- Andragradsekvation
- Lösa enkla andragradsekvationer
- Nollproduktmetoden
Förkunskaper
Dela
Rapportera fel
Översätt
En andragradsekvation är en ekvation där det finns en x^2-term men inga termer av högre grad.
ax^2+bx+c=0
Villkor: a ≠ 0
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Lösa enkla andragradsekvationer
När en andragradsekvation endast innehåller x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x^2-500=0, går den att lösa med hjälp av kvadratrötter. Denna metod kallas också för kvadratrotsmetoden.
1
Lös ut x^2
expand_more 2
Dra kvadratroten ur båda led
expand_more När x^2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led.
x^2 = 100 ⇒ sqrt(x^2) = sqrt(100)
Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv:
sqrt(x^2) = sqrt(100) ⇔ x= ± sqrt(100).
Kvadratroten ur 100 är 10, så ekvationens lösningar är x=-10 och x=10.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Övning
Lösa enkla andragradsekvationer
Lös följande enkla andragradsekvationer genom att ta kvadratrötter. Om det behövs, avrunda lösningarna till två decimaler.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Metod
Nollproduktmetoden
Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med 0 kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen (3x-9)(x+5)=0 lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara 0 för att produkten ska bli 0.
1
Likställ varje faktor med 0
expand_more Genom att sätta varje faktor lika med 0 får man två nya, separata ekvationer: 3x-9=0 och x+5=0.
2
Lös ekvationerna
expand_more Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de x-värden som gör att någon av faktorerna blir 0, eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen.
3x-9=0 &⇔ x=3 x+5=0 &⇔ x=-5
Lösningarna är alltså x=3 och x=-5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden
Lös ekvationen 2x^2+7x=0.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-3,5"]}}
Ledtråd
Faktorisera ekvationens vänstra sida. Sätt sedan varje faktor lika med noll och lös för variabeln med hjälp av nollproduktmetoden.
Lösning
Eftersom båda termerna innehåller ett x kan vi bryta ut det.
För att högerledet ska bli 0 måste antingen x eller 2x + 7 vara lika med noll.
x(2x+7)=0
ZeroProdProp
Använd nollproduktmetoden
lcx=0 & (I) 2x+7=0 & (II)
SubEqn
(II): VL-7=HL-7
lx=0 2x=-7
DivEqn
(II): .VL /2.=.HL /2.
lx_1=0 x_2=-3,5
Ekvationens lösningar är alltså x=0 och x=-3,5.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Andragradsekvationer
Uppgift 1.1
Vilka av följande är andragradsekvationer? A: & x=7^2 B: & x+8=15 C: & 10x^2-8+2x D: & x^2=25 E: & y=x^2+3 F: & x^2+2x-30=0
{"type":"multichoice","form":{"alts":["A","B","C","D","E","F"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":[3,5]}
security
report
code
security
report
code
En andragradsekvation kan skrivas på formen ax^2+bx+c=0, dvs. den innehåller en obekant, minst en x^2-term samt ett likhetstecken. Detta innebär att D: x^2=25 och F: x^2+2x-30=0 är andragradsekvationer. y=x^2+3 har två obekanta, x och y, och är därför en andragradsfunktion. I den första ekvationen är det inte en variabel i kvadrat utan talet 7 har kvadrerats vilket är ett annat sätt att skriva 49. 10x^2-8+2x är ett algebraiskt uttryck eftersom det saknar likhetstecken.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["3","-3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["4","-4"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0,5","-0,5"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser ekvationen genom att dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte den negativa lösningen.
Här måste vi först dela båda led med 2 innan vi drar kvadratroten ur dem.
Vi fortsätter på samma sätt och drar kvadratroten ur båda led.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["5","-5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2","-2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["6","-6"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["\\sqrt{5}","-\\sqrt{5}"]}}
security
report
code
security
report
code
Börja med att dividera båda led med 3 enligt balansmetoden för att få x^2 ensamt. Glöm inte att vi får två lösningar.
Lösningarna är alltså x=5 och x= -5.
Addera först 16 till båda led för att få x^2-termen ensam.
Börja med att flytta över 4:an, därefter kan båda led multipliceras med 6 för att få loss x^2.
Här måste vi först samla alla x^2-termen på samma sida.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["9","-9"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":[]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":[]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["10","-10"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att flytta över 81. Vi kommer då dra kvadratroten ur ett positivt tal.
Ekvationen har alltså två reella lösningar: x=9 och x= - 9.
Vår x^2-term står ensam i vänsterledet, så för att lösa ekvationen ska vi dra kvadratroten ur båda led. Men då måste vi dra kvadratroten ur det negativa talet -121. Eftersom det inte finns något reellt tal vars kvadrat blir negativ säger vi att ekvationen saknar reella lösningar.
När vi löser ut x^2 får vi
x^2= - 1.
Precis som i förra deluppgiften är detta en ekvation som saknar reella rötter, eftersom vi måste dra kvadratroten ur ett negativt tal för att lösa den.
Vi löser ut x^2 och undersöker om vi får ett positivt eller negativt tal som vi ska dra roten ur.
Denna ekvation har de reella lösningarna x=± 10.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2,65","-2,65"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1,41","-1,41"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["17,58","-17,58"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["3,87","-3,87"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom x^2 är ensamt i vänsterledet kan vi direkt dra roten ur båda led.
Ekvationen har alltså två lösningar. Svarar vi exakt är de x=sqrt(7) och x= - sqrt(7), och med två decimaler x ≈ 2,65 och x ≈ -2,65.
Här måste vi dividera med 2 innan vi drar roten ur båda led. Även här får vi två lösningar.
Vi löser ut x^2 innan vi drar roten ur leden.
Även här måste vi flytta om innan vi får ut x^2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Lös andragradsekvationen 3,4x^2=6,5 grafiskt med din räknare. Avrunda svaret till 1 decimal.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["1,4","-1,4"]}}
security
report
code
security
report
code
För att lösa ekvationen grafiskt ritar vi uttrycket i vänster- och högerled som separata funktioner i samma koordinatsystem, dvs. y=3,4x^2 och y=6,5.
Skriv in funktioner i räknaren
För att göra en grafisk lösning med räknaren börjar vi med att trycka på knappen Y= och skriver in funktionerna vid Y_1 och Y_2. För att ange x trycker vi på knappen X,T,θ,n, och upphöjt till två kan skrivas genom att trycka på knappen x^2.
Rita funktionerna
För att rita funktionerna trycker vi på knappen GRAPH. Vi ser att graferna skär varandra på två ställen, dvs. ekvationen kommer att ha två lösningar.
Hitta skärningspunkterna
Vi kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkterna mellan de två utritade graferna. Eventuellt måste vi justera inställningarna för koordinatsystemet. Verktyget som gör detta hittas genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja intersect i listan.
När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER två gånger väljer vi graferna som vi ska bestämma skärningspunkten mellan. Efter det kommer räknaren att skriva ut Guess?
. Vi ställer markören i närheten av ena skärningspunkten och trycker ENTER för att beräkna skärningspunkten för just denna.
För att hitta den andra skärningspunkten trycker vi återigen på CALC (2nd + TRACE) igen och gör om proceduren. Denna gång ställer vi dock markören närmare den andra skärningspunkten vilket talar om för räknaren att det nu är denna skärningspunkt som ska beräknas.
Lösningarna till ekvationen är alltså x ≈ ± 1,4.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-1","3"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-5","6"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-3"]}}
security
report
code
security
report
code
Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med noll måste minst en av faktorerna vara lika med noll. Vi delar upp ekvationen i två, där vi undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli noll.
Ekvationens lösningar är alltså x=-1 och x=3.
Vi gör på samma sätt här, och får två lösningar.
Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden. Men vi lägger märke till att vi då får två likadana ekvationer: x+3=0. Denna ekvation har lösningen x=-3. Den andra ekvationen kommer få samma lösning eftersom den är likadan, vilket betyder att x=-3 är det enda värdet på x som löser andragradsekvationen. Detta kallas för en dubbelrot.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-4","5"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["17","-25"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["-9","-18"]}}
security
report
code
security
report
code
Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med 0 måste minst en av faktorerna vara lika med 0. Vi delar upp ekvationen i två stycken, och undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli 0.
Ekvationens lösningar är alltså x=-4 och x=5.
Vi gör på samma sätt här, och får två lösningar.
Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-10"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["0","-0,9"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["5","-7"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2,5","-1"]}}
security
report
code
security
report
code
Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med noll måste minst en av faktorerna vara lika med noll. Vi delar upp ekvationen i två, där vi undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli noll.
Ekvationens lösningar är alltså x=0 och x=- 10.
Vi gör på samma sätt här. I den ena ekvationen måste vi lösa ut x genom att dividera med 10.
Här måste vi lösa ut x ur båda ekvationerna, en i taget.
Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"A=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["6x^2"]}}
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["3"]}}
security
report
code
security
report
code
Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera basen och höjden.
Arean är alltså 6x^2.
Vi beräknar x genom att sätta A=54 och lösa ekvationen.
Vi utesluter den negativa roten eftersom längder måste vara positiva. Det betyder att x=3 så 2x=2*3=6 och 3x=3* 3=9. Rektangelns sidlängder är alltså 6 och 9 le.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Schrödinger är kattforskare och har ägnat sitt liv åt att undersöka hur långt olika kattraser kan hoppa. Hon har undersökt rasen gullekatts maximala längdhopp och är nästan klar, hon ska bara lösa andragradsekvationen (x+1)(x-2,3)=0, där x är hopplängden i meter. Antag att Schrödinger har rätt och beräkna hur långt en gullekatt kan hoppa.
{"type":"text","form":{"type":"roots","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"hideNoSolution":false,"variable":"x"},"text":" "},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"texts":["2,3"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.
Ekvationen har alltså lösningarna x=-1 och x=2,3. Vår lösning ska representera hur långt en gullekatt kan hoppa, och därför förkastar vi det negativa värdet. Gullekattens maximala längdhopp är alltså 2,3 meter.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Andragradsekvationer
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll