body{margin:0;} noscript{z-index: 10000; position: fixed; display: block; height: 100%; width: 100%; background: #fff;} noscript .fa{font-size: 40px; display:block; color: #daa520;} noscript div{margin-top: 6%; padding-left: 20px; padding-right: 20px; text-align: center;} ! Du måste ha JavaScript påslaget för att använda den här webbsidan.

2b

Kurs 2b Visa detaljer

9. Andragradsekvationer

Fortsätt till nästa lektion

( Ma 2b , Ma 2c ) /

Kapitel 2

7.

Andragradsekvationer

Utforska andragradsekvationer, en central del av algebra. Dessa ekvationer, som innehåller en kvadrerad term men inga termer av högre grad, kan ha noll, en eller två lösningar. Det finns flera metoder för att lösa dessa ekvationer, och Denna lektion ger dig en introduktion till några av dessa metoder, inklusive nollproduktmetoden. Genom att förstå dessa koncept kan du förbättra dina matematiska färdigheter och bli mer skicklig på att lösa komplexa problem.

Inställningar & verktyg för lektion

	4 sidor teori
	30 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.

Kreditlista Bilder

Andragradsekvationer

Sida av 4

Videolektion

Mathleaks

Mathleaks

Minispelare aktiv

En andragradsekvation är en ekvation där det finns en $x^{2} -$ term men inga termer av högre grad.

a x^{2} + b x + c = 0

Villkor: $a \neq = 0$

Dessa har noll, en eller två lösningar och det finns flera lösningsmetoder för att bestämma dem. Exempelvis finns det en för att lösa enkla andragradsekvationer som

x^{2} = 144

och för mer komplicerade ekvationer kan man använda nollproduktmetoden,

p q -

formeln eller kvadratkomplettering.

Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller

x^{2} -

termer och konstanttermer, t.ex.

5 x^{2} - 500 = 0,

går den att lösa med hjälp av kvadratrötter. Denna metod kallas också för kvadratrotsmetoden.

1

Lös ut

x^{2}

Börja med att lösa ut

x^{2}

så att det står ensamt.

5 x^{2} - 500 = 0

$VL + 500 = HL + 500$

5 x^{2} = 500

$VL / 5 = HL / 5$

x^{2} = 100

2

Dra kvadratroten ur båda led

När

x^{2}

står ensamt drar man kvadratroten ur båda led.

x^{2} = 100 \Rightarrow x^{2} = 100

Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv:

x^{2} = 100 \Leftrightarrow x = \pm 100 .

Kvadratroten ur

100

är

10,

så ekvationens lösningar är

x = - 10

och

x = 10 .

Om

x^{2}

är lika med ett negativt tal, t.ex.

x^{2} = - 7,

har ekvationen icke-reella rötter.

Metod

Nollproduktmetoden

Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med

0

kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen

(3 x - 9) (x + 5) = 0

lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara

0

för att produkten ska bli

0 .

1

Likställ varje faktor med

0

Genom att sätta varje faktor lika med

0

får man två nya, separata ekvationer:

3 x - 9 = 0 och x + 5 = 0 .

2

Lös ekvationerna

Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de

x -

värden som gör att någon av faktorerna blir

0,

eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen.

3 x - 9 = 0 x + 5 = 0 \Leftrightarrow x = 3 \Leftrightarrow x = - 5

Lösningarna är alltså

x = 3

och

x = - 5 .

Om ekvationen inte är en produkt måste man faktorisera innan det går att använda nollproduktmetoden.

Exempel

Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden

Lös ekvationen

2 x^{2} + 7 x = 0 .

Ledtråd

Faktorisera ekvationens vänstra sida. Sätt sedan varje faktor lika med noll och lös för variabeln med hjälp av nollproduktmetoden.

Lösning

Eftersom båda termerna innehåller ett

x

kan vi bryta ut det.

2 x^{2} + 7 x = 0

SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

x \cdot 2 x + x \cdot 7 = 0

Bryt ut $x$

x (2 x + 7) = 0

För att högerledet ska bli

0

måste antingen

x

eller

2 x + 7

vara lika med noll.

x (2 x + 7) = 0

Använd nollproduktmetoden

x = 0 2 x + 7 = 0 (I) (II)

$(II):$ $VL - 7 = HL - 7$

x = 0 2 x = - 7

$(II):$ $VL / 2 = HL / 2$

x_{1} = 0 x_{2} = - 3, 5

Ekvationens lösningar är alltså

x = 0

och

x = - 3, 5 .

Andragradsekvationer

Övningar

Vilka av följande är andragradsekvationer?

A : B : C : D : E : F : x = 7^{2} x + 8 = 15 10 x^{2} - 8 + 2 x x^{2} = 25 y = x^{2} + 3 x^{2} + 2 x - 30 = 0

En andragradsekvation kan skrivas på formen ax^2+bx+c=0, dvs. den innehåller en obekant, minst en x^2-term samt ett likhetstecken. Detta innebär att D: x^2=25 och F: x^2+2x-30=0 är andragradsekvationer. y=x^2+3 har två obekanta, x och y, och är därför en andragradsfunktion. I den första ekvationen är det inte en variabel i kvadrat utan talet 7 har kvadrerats vilket är ett annat sätt att skriva 49. 10x^2-8+2x är ett algebraiskt uttryck eftersom det saknar likhetstecken.

Lös ekvationen utan räknare.

x^{2} = 9

2 x^{2} = 32

x^{2} = \frac{1}{4}

Vi löser ekvationen genom att dra kvadratroten ur båda led. Glöm inte den negativa lösningen.

Här måste vi först dela båda led med 2 innan vi drar kvadratroten ur dem.

Vi fortsätter på samma sätt och drar kvadratroten ur båda led.

Lös andragradsekvationen utan räknare och svara exakt.

3 x^{2} = 75

4 x^{2} - 16 = 0

\frac{x ^{2}}{6} - 4 = 2

x^{2} = 15 - 2 x^{2}

Börja med att dividera båda led med 3 enligt balansmetoden för att få x^2 ensamt. Glöm inte att vi får två lösningar.

Lösningarna är alltså x=5 och x= -5.

Addera först 16 till båda led för att få x^2-termen ensam.

Börja med att flytta över 4:an, därefter kan båda led multipliceras med 6 för att få loss x^2.

Här måste vi först samla alla x^2-termer på samma sida.

Lös andragradsekvationen. Svara med två decimaler.

x^{2} = 7

12 x^{2} = 24

10 x^{2} - 3090 = 0

4 = 9 - \frac{x ^{2}}{3}

Eftersom x^2 är ensamt i vänsterledet kan vi direkt dra roten ur båda led.

Ekvationen har alltså två lösningar. Svarar vi exakt är de x=sqrt(7) och x= - sqrt(7), och med två decimaler x ≈ 2,65 och x ≈ -2,65.

Här måste vi dividera med 2 innan vi drar roten ur båda led. Även här får vi två lösningar.

Vi löser ut x^2 innan vi drar roten ur leden.

Även här måste vi flytta om innan vi får ut x^2.

Lös andragradsekvationen

3.4 x^{2} = 6.5

grafiskt med din räknare. Avrunda svaret till

1

decimal.

För att lösa ekvationen grafiskt ritar vi uttrycket i vänster- och högerled som separata funktioner i samma koordinatsystem, dvs. y=3.4x^2 och y=6.5.

Skriv in funktioner i räknaren

För att göra en grafisk lösning med räknaren börjar vi med att trycka på knappen Y= och skriver in funktionerna vid Y_1 och Y_2. För att ange x trycker vi på knappen X,T,θ,n och upphöjt till två kan skrivas genom att trycka på knappen x^2.

Rita funktionerna

För att rita funktionerna trycker vi på knappen GRAPH. Vi ser att graferna skär varandra på två ställen, dvs. ekvationen kommer att ha två lösningar.

Hitta skärningspunkterna

Vi kan nu använda räknaren för att hitta skärningspunkterna mellan de två utritade graferna. Eventuellt måste vi justera inställningarna för koordinatsystemet. Verktyget som gör detta hittas genom att först trycka på CALC (2nd + TRACE) och sedan välja intersect i listan.

När vi har valt intersect visas graferna igen och genom att trycka på ENTER två gånger väljer vi graferna som vi ska bestämma skärningspunkten mellan. Efter det kommer räknaren att skriva ut "Guess?". Vi ställer markören i närheten av ena skärningspunkten och trycker ENTER för att beräkna skärningspunkten för just denna.

För att hitta den andra skärningspunkten trycker vi återigen på CALC (2nd + TRACE) igen och gör om proceduren. Denna gång ställer vi dock markören närmare den andra skärningspunkten vilket talar om för räknaren att det nu är denna skärningspunkt som ska beräknas.

Lösningarna till ekvationen är alltså x ≈ ± 1.4.

Lös ekvationen med nollproduktmetoden.

(x + 1) (x - 3) = 0

(x - 6) (x + 5) = 0

(x + 3) (x + 3) = 0

Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med noll måste minst en av faktorerna vara lika med noll. Vi delar upp ekvationen i två, där vi undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli noll.

Ekvationens lösningar är alltså x=-1 och x=3.

Vi gör på samma sätt här, och får två lösningar.

Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden. Men vi lägger märke till att vi då får två likadana ekvationer: x+3=0. Denna ekvation har lösningen x=-3. Den andra ekvationen kommer få samma lösning eftersom den är likadan, vilket betyder att x=-3 är det enda värdet på x som löser andragradsekvationen. Detta kallas för en dubbelrot.

Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden.

(x + 4) (x - 5) = 0

(x - 17) (25 + x) = 0

(9 + x) (18 + x) = 0

Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med 0 måste minst en av faktorerna vara lika med 0 . Vi delar upp ekvationen i två stycken, och undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli 0.

Ekvationens lösningar är alltså x=-4 och x=5.

Vi gör på samma sätt här, och får två lösningar.

Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden.

Lös andragradsekvationen.

x (x + 10) = 0

x (9 + 10 x) = 0

(2 x + 14) (5 x - 25) = 0

(2 x - 5) (7 + 7 x) = 0

Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med noll måste minst en av faktorerna vara lika med noll. Vi delar upp ekvationen i två, där vi undersöker vilka värden x ska ha för att varje faktor ska bli noll.

Ekvationens lösningar är alltså x=0 och x=- 10.

Vi gör på samma sätt här. I den ena ekvationen måste vi lösa ut x genom att dividera med 10.

Här måste vi lösa ut x ur båda ekvationerna, en i taget.

Även här hittar vi lösningarna med nollproduktmetoden.

Du har följande rektangel.

En grön rektangel med sidorna 2x och 3x.

Ta fram ett uttryck för arean

A

av rektangeln.

Bestäm

x

om arean är

54

a.e.

Arean av en rektangel beräknas genom att multiplicera basen och höjden.

Arean är alltså 6x^2.

Vi beräknar x genom att sätta A=54 och lösa ekvationen.

Vi utesluter den negativa roten eftersom längder måste vara positiva. Det betyder att x=3 så 2x=2*3=6 och 3x=3* 3=9. Rektangelns sidlängder är alltså 6 och 9 le.

Schrödinger är kattforskare och har ägnat sitt liv åt att undersöka hur långt olika kattraser kan hoppa. Hon har undersökt rasen gullekatts maximala längdhopp och är nästan klar, hon ska bara lösa andragradsekvationen

(x + 1) (x - 2.3) = 0,

där

x

är hopplängden i meter. Antag att Schrödinger har rätt och beräkna hur långt en gullekatt kan hoppa.

Vi löser ekvationen med nollproduktmetoden.

Ekvationen har alltså lösningarna x=-1 och x=2.3. Vår lösning ska representera hur långt en gullekatt kan hoppa, och därför förkastar vi det negativa värdet. Gullekattens maximala längdhopp är alltså 2.3 meter.

Andragradsekvationer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.

Återvänd till lektionen.

Laddar innehåll