Expandera meny menu_open Minimera Gå till startsidan home Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu
{{ courseTrack.displayTitle }} {{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
search Använd offline Verktyg apps
Digitala verktyg Grafräknare Geometri 3D Grafritare Geogebra Classic Mathleaks Kalkylator Kodfönster
Kurs & Bok Jämför mattebok Studieläge Avsluta studieläge Skriv ut kurs
Handledning Videohandledningar Formelsamling

Videohandledningar

Hur fungerar Mathleaks

Mathleaks Läromedel

Hur fungerar Mathleaks

play_circle_outline
Studera med en mattebok

Mathleaks Läromedel

Hur studerar man med en mattebok

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Lösningarna finns i appen

play_circle_outline
Verktyg för elever & lärare

Mathleaks Läromedel

Dela statistik med lärare

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skapar man klasser

play_circle_outline

Mathleaks Läromedel

Hur skriver man ut kursmaterial?

play_circle_outline

Formelsamling

Formelsamlingar för mattekurser looks_one

Kurs 1

looks_two

Kurs 2

looks_3

Kurs 3

looks_4

Kurs 4

looks_5

Kurs 5

Logga in account_circle menu_open

Andragradsekvationer


Videolektion

Mathleaks

play_circle_filled
play_circle_filled
picture_in_picture_alt

Minispelare aktiv

Längd:

En andragradsekvation är en ekvation där det finns en x2x^2-term men inga termer av högre grad.

ax2+bx+c=0ax^2+bx+c=0

Villkor: a0a \neq 0

Dessa har noll, en eller två lösningar och det finns flera lösningsmetoder för att bestämma dem. Exempelvis finns det en för att lösa enkla andragradsekvationer som x2=144x^2=144 och för mer komplicerade ekvationer kan man använda nollproduktmetoden, pqpq-formeln eller kvadratkomplettering.
Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller x2x^2-termer och konstanttermer, t.ex. 5x2500=0, 5x^2-500=0, går den att lösa med hjälp av kvadratrötter.

1

Lös ut x2x^2
Börja med att lösa ut x2x^2 så att det står ensamt.
5x2500=05x^2-500=0
5x2=5005x^2=500
x2=100x^2=100

2

Dra kvadratroten ur båda led

När x2x^2 står ensamt drar man kvadratroten ur båda led. Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv: x2=100x=±100.\begin{aligned} x^2=100 \quad \Leftrightarrow \quad x= \pm \sqrt{100}. \end{aligned} Kvadratroten ur 100100 är 10,10, så ekvationens lösningar är x=-10x=\text{-}10 och x=10.x=10.

Om x2x^2 är lika med ett negativt tal, t.ex. x2=-7,x^2=\text{-}7, har ekvationen icke-reella rötter.
Metod

Nollproduktmetoden

Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med 00 kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen (3x9)(x+5)=0 (3x-9)(x+5)=0 lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara 00 för att produkten ska bli 0.0.

1

Likställ varje faktor med 00

Genom att sätta varje faktor lika med 00 får man två nya, separata ekvationer: 3x9=0ochx+5=0. 3x-9=0 \quad \text{och} \quad x+5=0.

2

Lös ekvationerna

Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de xx-värden som gör att någon av faktorerna blir 0,0, eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen. 3x9=0x=3x+5=0x=-5\begin{aligned} 3x-9=0\quad&\Leftrightarrow\quad x=3\\ x+5=0\quad&\Leftrightarrow\quad x=\text{-}5 \end{aligned}

Lösningarna är alltså x=3x=3 och x=-5.x=\text{-}5.

Om ekvationen inte är en produkt måste man faktorisera innan det går att använda nollproduktmetoden.
Uppgift

Lös ekvationen 2x2+7x=0. 2x^2+7x=0.

Lösning
Eftersom båda termerna innehåller ett xx kan vi bryta ut det.
2x2+7x=02x^2+7x=0
x2x+x7=0x\cdot 2x+x\cdot7=0
x(2x+7)=0x(2x+7)=0
För att högerledet ska bli 00 måste antingen xx eller 2x+72x + 7 vara lika med noll.
x(2x+7)=0x(2x+7)=0
x=0(I)2x+7=0(II)\begin{array}{lc}x=0 & \text{(I)}\\ 2x+7=0 & \text{(II)}\end{array}
x=02x=-7\begin{array}{l}x=0 \\ 2x=\text{-}7 \end{array}
x1=0x2=-3.5\begin{array}{l}x_1=0 \\ x_2=\text{-}3.5 \end{array}
Ekvationens lösningar är alltså x=0x=0 och x=-3.5.x=\text{-}3.5.
info Visa lösning Visa lösning
{{ 'mldesktop-placeholder-grade-tab' | message }}
{{ 'mldesktop-placeholder-grade' | message }} {{ article.displayTitle }}!
{{ grade.displayTitle }}
{{ exercise.headTitle }}
{{ 'ml-tooltip-premium-exercise' | message }}
{{ 'ml-tooltip-programming-exercise' | message }} {{ 'course' | message }} {{ exercise.course }}
Test
{{ 'ml-heading-exercise' | message }} {{ focusmode.exercise.exerciseName }}
{{ 'ml-btn-previous-exercise' | message }} arrow_back {{ 'ml-btn-next-exercise' | message }} arrow_forward