MathReads
Premium
Mitt konto

Mitt konto Logga ut
2b
Kurs 2b Visa detaljer
2. Andragradsekvationer
Fortsätt till nästa lektion
Lektion
Övningar
Tester
arrow_back
eKurser /
( Ma 2b , Ma 2c ) /
Kapitel 2
2. 

Andragradsekvationer

Utforska andragradsekvationer, en central del av algebra. Dessa ekvationer, som innehåller en kvadrerad term men inga termer av högre grad, kan ha noll, en eller två lösningar. Det finns flera metoder för att lösa dessa ekvationer, och Denna lektion ger dig en introduktion till några av dessa metoder, inklusive nollproduktmetoden. Genom att förstå dessa koncept kan du förbättra dina matematiska färdigheter och bli mer skicklig på att lösa komplexa problem.
Inställningar & verktyg för lektion
6 sidor teori
30 Uppgifter - Nivå 1 - 3
Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.
Kreditlista Bilder expand_more
Andragradsekvationer
Sida av 6

I den här lektionen går vi igenom följande begrepp:

  • Andragradsekvation
  • Lösa enkla andragradsekvationer
  • Nollproduktmetoden

Förkunskaper

En andragradsekvation är en ekvation där det finns en term men inga termer av högre grad.

Villkor:

Dessa har noll, en eller två lösningar och det finns flera lösningsmetoder för att bestämma dem. Exempelvis finns det en för att lösa enkla andragradsekvationer som och för mer komplicerade ekvationer kan man använda nollproduktmetoden, formeln eller kvadratkomplettering.
Metod

Lösa enkla andragradsekvationer

När en andragradsekvation endast innehåller termer och konstanttermer, t.ex.
går den att lösa med hjälp av kvadratrötter. Denna metod kallas också för kvadratrotsmetoden.
1
Lös ut
expand_more
Börja med att lösa ut så att det står ensamt.
AddEqn

DivEqn

2
Dra kvadratroten ur båda led
expand_more
När står ensamt drar man kvadratroten ur båda led.
Eftersom kvadraten av ett negativt tal blir positivt kan andragradsekvationer ha två lösningar. Om man slår in en kvadratrot på räknare kommer man bara att få ett positivt tal eftersom kvadratroten ur ett tal, per definition, är positiv. Den negativa lösningen måste man därför komma ihåg att lägga till själv:
Kvadratroten ur är så ekvationens lösningar är och
Om är lika med ett negativt tal, t.ex. har ekvationen icke-reella rötter.
Övning

Solving Simple Quadratic Equations

Solve the following simple quadratic equations by taking square roots. If necessary, round the solutions to two decimal places.

solving simple quadratic equations
Metod

Nollproduktmetoden

Om en ekvation är skriven som en produkt och är lika med kan den lösas med hjälp av nollproduktmetoden. T.ex. kan ekvationen
lösas med denna metod, vilken motiveras av att minst en faktor måste vara för att produkten ska bli
1
Likställ varje faktor med
expand_more
Genom att sätta varje faktor lika med får man två nya, separata ekvationer:
2
Lös ekvationerna
expand_more
Man löser nu ekvationerna för att bestämma det eller de värden som gör att någon av faktorerna blir eftersom dessa värden även löser ursprungsekvationen.
Lösningarna är alltså och
Om ekvationen inte är en produkt måste man faktorisera innan det går att använda nollproduktmetoden.
Exempel

Lös andragradsekvationen med nollproduktmetoden

Lös ekvationen

Ledtråd

Faktorisera ekvationens vänstra sida. Sätt sedan varje faktor lika med noll och lös för variabeln med hjälp av nollproduktmetoden.

Lösning
Eftersom båda termerna innehåller ett kan vi bryta ut det.
SplitIntoFactors

Dela upp i faktorer

FactorOut

Bryt ut

För att högerledet ska bli måste antingen eller vara lika med noll.
ZeroProdProp

Använd nollproduktmetoden

SubEqn

DivEqn

Ekvationens lösningar är alltså och
Nivå 1
Nivå 2
Nivå 3
Andragradsekvationer
Övningar

Lös ekvationen utan räknare.

Vi börjar med att flytta över 81. Vi kommer då dra kvadratroten ur ett positivt tal.

Ekvationen har alltså två reella lösningar: x=9 och x= - 9.


Vår x^2-term står ensam i vänsterledet, så för att lösa ekvationen ska vi dra kvadratroten ur båda led. Men då måste vi dra kvadratroten ur det negativa talet -121. Eftersom det inte finns något reellt tal vars kvadrat blir negativ säger vi att ekvationen saknar reella lösningar.


När vi löser ut x^2 får vi x^2= - 1. Precis som i förra deluppgiften är detta en ekvation som saknar reella rötter, eftersom vi måste dra kvadratroten ur ett negativt tal för att lösa den.


Vi löser ut x^2 och undersöker om vi får ett positivt eller negativt tal som vi ska dra roten ur.

Denna ekvation har de reella lösningarna x=± 10.

Lös ekvationen.

Faktorn 2x finns i båda termer i vänsterledet så vi kan bryta ut den och sedan använda nollproduktmetoden.


Här kan vi bryta ut ett x innan vi använder nollproduktmetoden.


Först flyttar vi över den ena termen så att ett av leden blir 0. Sedan kan vi använda nollproduktmetoden som vanligt.


Bestäm Svara exakt.

En blå rätvinklig triangel med basen 8x och höjden 6x.

Triangeln är rätvinklig, vilket betyder att Pythagoras sats gäller. Den brukar skrivas a^2+b^2=c^2, där a och b är kateterna och c är hypotenusan. Vi använder katetlängerna 6x och 8x samt hypotenusan 40 le.

Eftersom längder måste vara positiva kan vi utesluta den negativa roten. Det betyder att x=4, vilket ger sidlängderna 6x=6*4=24 le. och 8x=8*4=32 le.

Lös ekvationen och svara exakt.

Vi har en produkt som är lika med 0. Det betyder att vi kan använda nollproduktmetoden.


Vi gör på samma sätt. Någon av faktorerna måste vara 0.


Här finns tre faktorer i produkten, men metoden är densamma. Den enda skillnaden är att ekvationen får tre rötter.


En rektangel har mått enligt figuren nedan.

Blå rektangel med sidorna 4x-2 och 2x-3

Bestäm om...

omkretsen är
arean är

Omkretsen av en rektangel beräknas genom att summera dess sidlängder. Rektangeln har två sidor som är (4x - 2)cm respektive (2x - 3)cm. Det ger omkretsen O = 2(4x - 2) + 2(2x - 3). Nu sätter vi in O=38, och löser ekvationen.


Arean av en rektangel bestäms genom att multiplicera sidlängderna. Vi får därför A = (4x - 2)(2x - 3). Eftersom arean är 6cm^2 sätter vi vänsterledet lika med det och löser ut x.

Nu har vi fått en andragradsekvation. Båda termer i vänsterledet innehåller x, så vi kan bryta ut det och sedan använda nollproduktmetoden.


En cirkel har arean Bestäm dess radie. Avrunda till två decimaler.
I en rektangel är den ena sidan tre gånger längre än den andra. Arean är Hur lång är den längsta sidan?

En cirkels area beräknas med A=π r^2, där r är radien. Vi sätter in A=30 och löser ut r.

Cirkelns radie är alltså ungefär 3,09cm.


Vi kallar den kortare sidan för x. Den andra sidan, som är tre gånger längre, måste då vara 3x.

Arean, som är lika med 363cm^2, beräknas genom att multiplicera sidlängderna. Vi använder det för att bestämma x.

Eftersom längder måste vara positiva kan vi utesluta den negativa roten, så x är lika med 11. Den längsta sidan i rektangeln är 3x så den är 3x=3*11=33cm.

Ragnar är belåten med sig själv eftersom han tror sig ha löst en ekvation med nollproduktmetoden.

En felaktig lösning av ekvationen (x+4)(x-7)=1.
Har Ragnar gjort rätt? Motivera ditt svar.

Nollproduktmetoden bygger på principen att om en produkt är lika med 0 så måste minst en av faktorerna också vara 0. Men i Ragnars ekvation är produkten lika med 1 och inte 0- (x+4)(x-7)= 1. Ragnar har alltså använt en metod som inte är giltig i den här situationen. För att lösa uppgiften hade han behövt multiplicera ihop parenteserna och använda pq-formeln. Hade vänsterledet istället varit lika med 0 hade Ragnars lösningar varit korrekta.

Ge ett exempel på en andragradsekvation som har följande rötter.

Att testa oss fram till en ekvation skulle ta lång tid, så istället utnyttjar vi nollproduktmetoden. Den används oftast för att hitta de värden på x som gör att produkten blir 0 för en viss ekvation, men vi kan också skapa faktorer som blir noll för givna x och som vi kan multiplicera för att bilda en ekvation med specifika nollställen. Ekvationerna x-2=0 och x-9=0 blir 0 om x=2 respektive x=9, dvs. vi har skapat två faktorer med de lösningar vi vill ha. Genom att multiplicera dessa och sätta produkten till 0 har vi skapat en ekvation med de sökta lösningarna.


Vi tänker på motsvarande sätt här, men nu måste ena ekvationen få en negativ lösning. Vi vill ha två separata ekvationer med lösningarna x=-12 och x=8, vi kan välja t.ex. x+12=0 och x-8=0. Den sökta andragradsekvationen blir alltså (x+12)(x-8)=0, för om vi skulle sätta in x=-12 blir första parentesen noll vilket gör att hela vänsterledet blir 0. Och på motsvarande sätt blir vänsterledet noll om x=8.


För att ena lösningen ska bli x=11 kan vi använda oss av x-11=0. Vad ska vi då skriva i första parentesen för att den ska bli 0 om x=0? ( )(x-11)=0 Enklast är helt enkelt att välja att sätta in x. Sätter vi in x=0 i den blir den ju 0. Vår sökta andragradsekvation blir alltså x(x-11)=0.


Här ska vi hitta på en ekvation som ger dubbelroten x=5. Det får vi genom att sätta in uttrycket x-5 i båda parenteserna. Då får vi (x-5)(x-5)=0 ⇔ (x-5)^2=0.

Lös andragradsekvationen.

Vi kan se på ekvationen som någonting i kvadrat är lika med 16: ( )^2=16. Därför drar vi kvadratroten ur båda led för att bli av med kvadraten.

Vi får nu två fall. Ena lösningen får vi genom att beräkna 3+4 och den andra blir 3-4.


Även här drar vi kvadratroten ur båda led för att få bort kvadraten. Därefter beräknar vi de två lösningarna var för sig.


Vi gör på motsvarande sätt här. På slutet måste vi också dividera med 2.


Andragradsekvationer

Rekommenderade uppgifter

Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Återvänd till lektionen.
Laddar innehåll