Samband mellan sinus och cosinus

Vi undersöker först några egenskaper hos grafen som vi behöver veta när vi skall anpassa ett funktionsuttryck. Grafens jämviktslinje är x-axeln och dess amplitud är 1. Grafen har en minimipunkt i x=90^(∘) och nästa minimipunkt finns i x=450^(∘), vilket innebär att funktionens period är 450^(∘)-90^(∘)=360^(∘). För en sinusfunktion skulle vi alltså kunna teckna den som y=sin(x+C) och på samma sätt kan vi skriva cosinusfunktionen med formeln y=cos(x+C), där konstanten C i båda fall anger en förskjutning i x-led. Genom att välja olika värden på C kan vi hitta olika sinus- och cosinusfunktioner som stämmer överens med den givna grafen. Vi börjar med att titta på sinus.

Sinusfunktioner

Den punkt som i en oförskjuten sinusfunktion skulle ha gått genom origo skär istället x-axeln vid x=180^(∘).

Grafen är alltså förskjuten 180^(∘) åt höger vilket ger att vi kan sätta C=-180^(∘). En sinusfunktion som ger kurvan som finns återgiven i uppgiften kan alltså skrivas som y=sin(x-180^(∘)). Men om vi tittar till vänster i grafen hittar vi ytterligare en sådan punkt, vid x = -180^(∘). Man kan alltså även se det som att grafen är förskjuten 180^(∘) åt vänster, vilket ger C = 180^(∘) och funktionen y=sin(x-180^(∘)). Nu har vi två sinusfunktioner som beskriver grafen, men vi skulle kunna lägga på ytterligare perioder för att hitta fler. Den generella formeln för alla sinusfunktioner som ger grafen blir då y = sin(x - 180^(∘) + n * 360^(∘) ), där n är ett heltal.

Cosinusfunktioner

Vi skall nu anpassa en cosinusfunktion till grafen. Den oförskjutna funktionen y=cos(x) har en maxpunkt på y-axeln. Vår graf har en maxpunkt i x=- 90^(∘) och är alltså förskjuten 90^(∘) åt vänster.

Konstanten C får då värdet 90^(∘). Grafen vi ser i uppgiften kan därför beskrivas med y=cos(x+90^(∘)). Om man går åt höger istället hittar man nästa maximum vid 270^(∘), vilket innebär att man även kan se det som att grafen är förskjuten 270^(∘) åt höger. Då får man konstanten C = -270^(∘) och funktionen y=cos(x-270^(∘)). På samma sätt som för sinus kan vi även lägga till ett helt antal perioder för att hitta alla funktioner som ger den utritade grafen. Då får vi den generella funktionen y=cos(x+90^(∘) + n * 360^(∘)), där n är ett heltal. Sammanfattningsvis har vi kommit fram till följande fyra funktioner

• y=sin(x-180^(∘))
  
• y=sin(x+180^(∘))
  
• y=cos(x+90^(∘))
  
• y=cos(x-270^(∘))

För att kunna skriva summan av funktionerna måste vi ta reda på c och v i y=csin(x+v). Det gör vi med formlerna c=sqrt(a^2+b^2) och tan(v)=b/a. Vi vet att funktionerna kan skrivas på formen asin(x) respektive bcos(x), så a och b är grafernas amplituder. Men vilken är sinus- respektive cosinusfunktionen? En sinusfunktion skär origo om den inte är förskjuten i x- eller y-led, så den blå grafen måste vara asin(x). Då är den röda grafen bcos(x). Vi läser av amplituderna som avståndet i y-led mellan jämviktslinjen och någon av funktionernas minimi- eller maximipunkter.

Vi ser att a=6 och att b=4 och kan nu beräkna värdet på c och v. Vi börjar med c.

Nu bestämmer vi v.

Denna ekvation har oändligt många lösningar men endast varannan är rätt. Vi börjar med att pröva om n=0 ger oss rätt svar, dvs. om v≈ 34^(∘) är rätt vinkel. Den likhet vi skall undersöka är 6sin(x) +4cos(x)=csin(x+v). Vi sätter in våra värden samt x=0^(∘).

Att uttrycken är ungefär lika betyder att vinkeln v≈ 34^(∘) är vårt korrekta svar. Vi kan skriva den ursprungliga summan av funktioner som y≈ sqrt(52)sin(x+34^(∘)).

Vi vet att en funktion på formen y=asin(x)+bcos(x) kan skrivas som en enda sinusfunktion. Vi försöker därför förenkla f(x) så att funktionsuttrycket står på den formen.

Nu har vi f(x) på formen y=asin(x)+bcos(x), där a är 1 och b är -2, och kan nu skriva om den som y=csin(x+v). Vi börjar med att beräkna c.

Vi fortsätter med att bestämma v.

Vi ser att den ekvation vi löste har oändligt många lösningar. Endast varannan av dessa är rätt. Därför måste vi ta reda på vilket värde på n som ger oss rätt lösning. Vi testar först n=0, vilket ger oss v≈ - 63^(∘). Vi undersöker genom att sätta in våra värden samt x=0 ^(∘) och sedan kontrollera om likheten sin(x) -2cos(x)=csin(x+v) gäller. Eftersom våra värden är avrundade räcker det att likheten är ungefärligt uppfylld.

Det betyder att vinkeln v≈ - 63^(∘) är vårt korrekta svar och vi kan skriva den ursprungliga summan av funktioner som f(x)≈sqrt(5)sin( x-63^(∘) ).

Det samband som Kousako vill använda är att summan av sinusfunktioner och cosinusfunktioner kan skrivas som en sinusfunktion enligt asin(x)+bcos(x)=csin(x+v). För att kunna använda denna omskrivning ska perioden för funktionerna i vänsterledet vara samma. Kousakus funktion är y=4sin(2x)+3cos(x). Faktorn 2 inne i sinusfunktionen förändrar perioden, från 2π till π, medan cosinusfunktionens period är oförändrad, 2π. De har alltså olika perioder och därför kan man inte skriva om summan på det sättet som Kousaku gjort.