Regel

Trigonometriska samband

Man kan man visa några samband för de trigonometriska funktionerna med hjälp av bl.a. definitionen för sinus och cosinus samt symmetrin i enhetscirkeln.

Regel

tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}
Regel

Samband mellan tangens, sinus och cosinus

Tangensvärdet för en vinkel vv är lika med kvoten mellan sinusvärdet och cosinusvärdet för samma vinkel.

tan(v)=sin(v)cos(v)\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}

Vinkeln vv i enhetscirkeln svarar mot en punkt med koordinaterna (cos(v),sin(v)),(\cos(v), \sin(v)), vilket också är katetlängderna på den triangel som kan ritas in mot xx-axeln.

Eftersom tangens för en vinkel definieras som den motstående kateten dividerat med den närliggande får man tan(v)=Motstende kateta˚Nrliggande kateta¨=sin(v)cos(v). \tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}.

Detta är en kvot, så nämnaren får inte vara 00. Det betyder att tan(v)\tan(v) är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir 0,0, t.ex. v=90v=90^\circ och v=270.v=270^\circ.

Regel

cos(-v)=cos(v)\cos(\text{-} v)=\cos(v)
Regel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel

Cosinusvärdet för en negativ vinkel -v\text{-} v är lika med cosinusvärdet för den positiva vinkeln v.v.

cos(-v)=cos(v)\cos(\text{-} v)=\cos(v)

Om man t.ex. ritar in vinkeln -60\text{-} 60^\circ i enhetscirkeln vrids den lika långt som en 6060^\circ-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att man får samma xx-värde som för 60.60^\circ.

Eftersom cosinusvärdet av en vinkel motsvarar xx-värdet betyder det att

cos(-60)=cos(60). \cos(\text{-} 60 ^\circ)=\cos(60 ^\circ).

Regel

cos(v)=-cos(180v)\cos(v)=\text{-} \cos(180^\circ-v)
Regel

Cosinusvärdet för en vinkel speglad i yy-axeln

Cosinusvärdet för en vinkel vv är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln 180v.180^\circ-v.

\CosMirror

Om man t.ex. ritar in vinkeln 3030^\circ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan yy-axeln som också skapar vinkeln 30,30^\circ, men mot den negativa xx-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från yy-axeln men på motsatt sida.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av xx-axeln kommer den att vara 18030.180^\circ - 30^\circ.

Båda dessa vinklar motsvarar samma xx-värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa xx-värden betyder det att

cos(30)=-cos(18030). \cos(30^\circ)=\text{-} \cos(180^\circ-30^\circ).

Regel

sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)
Regel

Sinusvärdet för en negativ vinkel

Sinusvärdet för en negativ vinkel -v\text{-} v är lika med "minus" sinusvärdet för den positiva vinkeln v.v.

sin(-v)=-sin(v)\sin(\text{-} v)=\text{-} \sin(v)

Om man t.ex. ritar in vinkeln -30\text{-} 30^\circ i enhetscirkeln kommer den att vridas lika långt som en 3030^\circ-vinkel, men åt andra hållet. Detta leder till att yy-värdet för punkten är likadant som för 3030^\circ men negativt.

Sinusvärdet av en vinkel motsvarar yy-värdet, så sambandet mellan sin(-30)\sin(\text{-}30^\circ) och sin(30)\sin(30^\circ) är alltså att de har samma storlek, men olika tecken:

sin(-30)=-sin(30). \sin(\text{-}30^\circ)=\text{-} \sin(30^\circ).

Regel

sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v)
Regel

Sinusvärdet för en vinkel speglad i yy-axeln

Sinusvärdet för en vinkel vv är lika med sinusvärdet för vinkeln 180v.180^\circ-v.

sin(v)=sin(180v)\sin(v)=\sin(180^\circ-v)

Om man t.ex. ritar in vinkeln 3030^\circ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan yy-axeln som också skapar vinkeln 30,30^\circ, men mot den negativa xx-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma höjd, och därför ha samma yy-värde.

Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av xx-axeln kommer den att vara 18030.180^\circ - 30^\circ.

Båda dessa vinklar motsvarar samma yy-värde och eftersom sinusvärdet för vinklarna är lika med detta yy-värde betyder det att

sin(30)=sin(18030). \sin(30^\circ)=\sin(180^\circ-30^\circ).

Regel

sin(v+180)=-sin(v)\sin(v+180^\circ) = \text{-} \sin(v)
Regel

Sinusvärdet för vinkeln v+180v + 180^\circ

När man ökar en vinkel med 180180^\circ byter sinusvärdet tecken.

sin(v+180)=-sin(v)\sin(v+180^\circ)=\text{-}\sin(v)

Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln v=60.v=60^\circ. Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva yy-axeln.

Om man ökar vinkeln med 180180^\circ hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.

Eftersom 180180^\circ är en rak vinkel kommer punkten för 60+18060^\circ+180^\circ att hamna lika långt under xx-axeln som den första befinner sig ovanför den.

Punkterna har samma yy-värde, fast med omvänt tecken, och samma gäller för motsvarande sinusvärden. Därför byter sinusvärdet tecken när en vinkel ökar med 180.180^\circ.

Regel

sin(v)=cos(90v)\sin(v)=\cos(90^\circ-v)
Bevis

Sinus till cosinus

Sinus och cosinus är inte två helt skilda saker, utan snarare två sidor av samma mynt. Ett sinusvärde kan nämligen omvandlas till ett cosinusvärde.

sin(v)=cos(90v)\sin(v)=\cos(90^\circ-v)

För att visa detta kan subtraktionsformeln för cosinus användas på högerledet.
cos(90v)\cos\left(90^\circ - v\right)
cos(90)cos(v)+sin(90)sin(v)\cos\left(90^\circ\right)\cos(v) + \sin\left(90^\circ\right)\sin(v)
0cos(v)+sin(90)sin(v)0\cdot \cos(v) + \sin(90^\circ)\sin(v)
0cos(v)+1sin(v)0\cdot \cos(v) + 1\cdot \sin(v)
sin(v)\sin(v)
Alltså är sin(v)=cos(90v)\sin(v) = \cos\left(90^\circ - v\right).
Q.E.D.
På motsvarande sätt kan man även visa att cosinusvärdet för en vinkel som ökas med 9090^\circ motsvarar ett sinusvärde.

Regel

-sin(v)=cos(v+90)\text{-} \sin(v)=\cos(v+90^\circ)
Regel

Cosinusvärdet för en vinkel som ökat med 9090^\circ

Ett sinusvärde kan omvandlas till ett cosinusvärde.

-sin(v)=cos(v+90)\text{-} \sin(v)=\cos(v+90^\circ)

För att visa detta kan additionsformeln för cosinus användas på högerledet.
cos(v+90)\cos\left(v+90^\circ\right)
cos(v)cos(90)sin(v)sin(90)\cos(v)\cos(90^\circ)-\sin(v)\sin(90^\circ)
cos(v)0sin(v)1\cos(v)\cdot0-\sin(v)\cdot 1
-sin(v)\text{-}\sin(v)
Alltså är -sin(v)=cos(v+90).\text{-}\sin(v) = \cos\left(v+90^\circ\right).
Q.E.D.

Regel

cos(v)=sin(90v)\cos(v)=\sin(90^\circ-v)
Bevis

Cosinus till sinus

Ett cosinusvärde kan omvandlas till ett sinusvärde.

cos(v)=sin(90v)\cos(v)=\sin(90^\circ-v)

Detta följer av att sinusvärden kan omvandlas till cosinusvärden genom att omvandla högerledet.
sin(90v)\sin\left(90^\circ - v\right)
cos(90(90v))\cos\left(90^\circ - \left(90^\circ - v\right)\right)
cos(9090+v)\cos\left(90^\circ - 90^\circ + v\right)
cos(v)\cos(v)
Alltså är cos(v)=sin(90v)\cos(v) = \sin\left(90^\circ - v\right).
Q.E.D.

Regel

cos(v)=sin(v+90)\cos(v)=\sin(v+90^\circ)
Regel

Sinusvärdet för en vinkel som ökat med 9090^\circ

Ett cosinusvärde kan omvandlas till ett sinusvärde.

cos(v)=sin(v+90)\cos(v)=\sin(v+90^\circ)

För att visa detta kan additionsformeln för sinus användas på högerledet.
sin(v+90)\sin\left(v+90^\circ\right)
sin(v)cos(90)+cos(v)sin(90)\sin(v)\cos(90^\circ)+\cos(v)\sin(90^\circ)
sin(v)0+cos(v)1\sin(v)\cdot0+\cos(v)\cdot 1
cos(v)\cos(v)
Alltså är cos(v)=sin(v+90).\cos(v) = \sin\left(v+90^\circ\right).
Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}