5. Samband mellan sinus och cosinus
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 4
5.
Samband mellan sinus och cosinus
Innehållet utforskar förhållandena mellan sinus och cosinus funktioner, både algebraiskt och grafiskt. Det går in på sambanden mellan olika trigonometriska funktioner och hur de kan representeras i olika former. Materialet inkluderar metoder för att skriva en summa av sinus och cosinus funktioner som en enda sinusfunktion, med hjälp av specifika matematiska förhållanden. Det ger också exempel och lösningar på problem relaterade till sinus och cosinus, och erbjuder insikter i de praktiska tillämpningarna av dessa matematiska begrepp.
Visa mindre Visa mer expand_more Inställningar & verktyg för lektion
| | 6 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Samband mellan sinus och cosinus
Sida av 6
Sinus- och cosinuskurvor liknar varandra. Därför är det kanske inte förvånande att man kan skriva om en sinusfunktion som en cosinusfunktion och vice versa. Här visas några sådana samband, både algebraiskt och grafiskt.
Regel
cos(v)=−cos(180∘−v)Regel
Cosinusvärdet för en vinkel speglad i y-axeln
Cosinusvärdet för en vinkel v är lika med det negativa cosinusvärdet för vinkeln 180∘−v.
cos(v)=−cos(180∘−v)
Om man t.ex. ritar in vinkeln 30∘ i enhetscirkeln kommer det att finnas en motsvarande vinkel på andra sidan y-axeln som också skapar vinkeln 30∘, men mot den negativa x-axeln. Eftersom båda vinklar vrids lika mycket uppåt kommer de att hamna på samma avstånd från y-axeln men på motsatt sida.
Om man istället uttrycker denna vinkel från den positiva halvan av x-axeln kommer den att vara 180∘−30∘.
Båda dessa vinklar motsvarar samma x-värde, fast med omvänt tecken, och eftersom cosinusvärdet för vinklarna är lika med dessa x-värden betyder det att
cos(30∘)=−cos(180∘−30∘).
Regel
sin(v+180∘)=−sin(v)Regel
Sinusvärdet för vinkeln v+180∘
När man ökar en vinkel med 180∘ byter sinusvärdet tecken.
sin(v+180∘)=−sin(v)
Man kan motivera detta genom att t.ex. utgå från vinkeln v=60∘. Den har ett positivt sinusvärde eftersom man läser av det på den positiva y-axeln.
Om man ökar vinkeln med 180∘ hamnar man på andra sidan enhetscirkeln.
Eftersom 180∘ är en rak vinkel kommer punkten för 60∘+180∘ att hamna lika långt under x-axeln som den första befinner sig ovanför den.
Regel
−sin(v)=cos(v+90∘)Regel
Cosinusvärdet för en vinkel som ökat med 90∘
Ett sinusvärde kan omvandlas till ett cosinusvärde.
−sin(v)=cos(v+90∘)
cos(v+90∘)
CosAdd
cos(u+v)=cos(u)cos(v)−sin(u)sin(v)
cos(v)cos(90∘)−sin(v)sin(90∘)
Cos
,
cos(v)⋅0−sin(v)⋅1
Multiply
Multiplicera faktorer
−sin(v)
Q.E.D.
Regel
cos(v)=sin(v+90∘)Regel
Sinusvärdet för en vinkel som ökat med 90∘
Ett cosinusvärde kan omvandlas till ett sinusvärde.
cos(v)=sin(v+90∘)
sin(v+90∘)
SinAdd
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
sin(v)cos(90∘)+cos(v)sin(90∘)
Cos
,
sin(v)⋅0+cos(v)⋅1
Multiply
Multiplicera faktorer
cos(v)
Q.E.D.
Man kan representera det första och tredje av dessa samband som förskjutningar av cos(x) i x−led. Exempelvis kan man se att cos(x+90∘) och −sin(v) faktiskt är samma funktion.
På samma sätt kan det andra och fjärde sambandet tolkas som förskjutningar av sin(x) i x−led.
Exempel
Förenkla uttrycket med trigonometriska samband
−cos(v+180∘)sin(v+90∘)−cos(v+90∘)sin(v+180∘)
Visa Lösning expand_more
Täljaren och nämnaren i det vänstra bråket, dvs. sin(v+90∘) och −cos(v+180∘), kan båda förenklas till cos(v). Vi sätter in detta:
cos(v)cos(v)−cos(v+90∘)sin(v+180∘)=1−cos(v+90∘)sin(v+180∘).
För att förenkla det andra bråket använder vi istället att sin(v+180∘) och cos(v+90∘) är lika med −sin(v). Det ger att
1−−sin(v)−sin(v)=1−1=0.
Uttrycket förenklas alltså till 0. Regel
Summan av sinus och cosinus
Funktionen y=csin(x+v), där c och v är konstanter, är en sinuskurva som är förskjuten i sidled med vinkeln v och som har amplituden c. Med hjälp av additionsformeln för sinus kan man skriva om uttrycket som en summa.
Regel
csin(x+v)=ccos(v)sin(x)+csin(v)cos(x)csin(x+v)
SinAdd
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
c(sin(x)cos(v)+cos(x)sin(v))
Distr
Multiplicera in c
csin(x)cos(v)+ccos(x)sin(v)
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
ccos(v)sin(x)+csin(v)cos(x)
ccos(v)sin(x)asin(x)+csin(v)cos(x)=+bcos(x).
Eftersom koefficienterna måste vara samma i både höger- och vänsterled får man ekvationssystemet
{a=ccos(v)b=csin(v).
Detta kan man lösa med additions- och substitutionsmetoden.
Regel
{tan(v)=b/ac=a2+b2
Genom att lösa ut c ur den ena ekvationen och sätta in i den andra kan man få ett uttryck för v.
I den andra ekvationen finns nu ett uttryck för v som enbart beror på a och b. För att hitta ett motsvarande samband för c kan man titta på det ursprungliga ekvationssystemet igen.
Eftersom c är en amplitud är den positiv, så man kan utesluta den negativa roten. Det betyder att c=a2+b2. Sammantaget betyder detta att
{a=ccos(v)b=csin(v)(I)(II)
DivEqn
(I): VL/cos(v)=HL/cos(v)
⎩⎪⎨⎪⎧cos(v)a=cb=csin(v)
RearrangeEqn
(I): Omarrangera ekvation
⎩⎪⎨⎪⎧c=cos(v)ab=csin(v)
Substitute
(II): c=cos(v)a
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧c=cos(v)ab=cos(v)a⋅sin(v)
ReplaceNumCounterClockwise
(II): ca⋅b=a⋅cb
⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧c=cos(v)ab=a⋅cos(v)sin(v)
SinCosToTan
(II): cos(v)sin(v)=tan(v)
⎩⎪⎨⎪⎧c=cos(v)ab=a⋅tan(v)
RearrangeEqn
(II): Omarrangera ekvation
⎩⎪⎨⎪⎧c=cos(v)aa⋅tan(v)=b
DivEqn
(II): VL/a=HL/a
⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧c=cos(v)atan(v)=ab
{a=ccos(v)b=csin(v)
Man är ute efter att få c ensamt och att det enbart beror på a och b. Nu måste man på något sätt "bli av med" cos(v) och sin(v). Här kommer trigonometriska ettan väl till pass. De trigonometriska uttrycken är inte kvadrerade, men det går att lösa genom att höja upp båda ekvationer med 2.
{a2=c2cos2(v)b2=c2sin2(v)
Nu kan man använda additionsmetoden för att lösa ut c.
{a2=c2cos2(v)b2=c2sin2(v)(I)(II)
SysEqnAdd
(I): Addera (II)
{a2+b2=c2cos2(v)+c2sin2(v)b2=c2sin2(v)
FactorOut
(I): Bryt ut c2
{a2+b2=c2(cos2(v)+sin2(v))b2=c2sin2(v)
PythTrigId
(I): sin2(v)+cos2(v)=1
{a2+b2=c2b2=c2sin2(v)
RearrangeEqn
(I): Omarrangera ekvation
{c2=a2+b2b2=c2sin2(v)
SqrtEqn
(I): VL=HL
{c=±a2+b2b2=c2sin2(v)
{tan(v)=b/ac=a2+b2.
csin(x+v)=asin(x)+bcos(x)
Detta samband gäller ju även åt andra hållet — summan av en sinus- och cosinusfunktion kan skrivas som en sinusfunktion:
asin(x)+bcos(x)=csin(x+v),
där c=a2+b2 och tan(v)=b/a. Regel
Endast hälften av lösningarna till tan(v)=b/a stämmerNär man löser ekvationen tan(v)=b/a för att bestämma v får man lösningsmängden
v=arctan(ab)+n⋅π.
Lösningsmängden har perioden π, men sinus har en period på 2π. Därför ger endast vartannat v den sökta funktionen y=csin(x+v). De extra lösningar som inte löser det ursprungliga problemet uppkommer eftersom likheten
ab=−a−b
gäller. Om både a och b byter tecken får man samma högerled i ekvationen tan(v)=b/a, men det är inte samma vinkel v som söks. Sammanfattat ger det här att om n=0 svarar mot ett v som löser
asin(x)+bcos(x)=csin(x+v)
så kommer n=1 ge ett v som löser
−asin(x)−bcos(x)=csin(x+v).
asin(x)+bcos(x)=csin(x+v).
Om den är uppfylld har man hittat det sökta värdet på v — annars är det n=1 som ger ett värde på v som stämmer.Exempel
Skriv summan som en sinusfunktion
Skriv y=6sin(x)+9cos(x) som en sinusfunktion.
Visa Lösning expand_more
Vi ska alltså skriva summan på formen y=csin(x+v). Vi börjar med att beräkna amplituden för sinusfunktionen. Det gör vi genom att kvadrera 6 och 9, addera dem och dra roten ur.
Amplituden för sinuskurvan är alltså cirka 10.8. Nu beräknar vi kurvans sidledsförskjutning.
Det finns flera lösningar till ekvationen, men endast hälften löser vårt ursprungliga problem. Vi testar lösningen då n=0, vilket ger v≈0.98. Det gör vi genom att sätta in våra beräknade värden samt x=0 i likheten
6sin(x)+9cos(x)=csin(x+v).
Om likheten uppfylls är v≈0.98 en vinkel som löser uppgiften. Eftersom våra värden är avrundade räcker det att likheten är ungefärligt uppfylld.
Vinkeln vi testade är alltså en giltig lösning. Om vänsterled och högerled istället haft olika tecken hade n=1 gett oss rätt vinkel. Vi vet därför att c≈10.8 och v≈0.98 ger en lösning på uppgiften, och kan skriva summan på följande sätt:
y=6sin(x)+9cos(x)≈10.8sin(x+0.98).
Samband mellan sinus och cosinus
Övningar
Punkten P i enhetscirkeln har koordinaterna (21,23). Punkten Q är förskjuten 90∘ moturs i förhållande till P. Vilka koordinater har punkten Q?
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.8777699999999999em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\">Q<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}","text2":"\\dfrac{1}{2}"}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att rita upp enhetscirkeln och markera punkten P. Vinkeln som motsvarar denna punkt kallar vi för v.
Punkten Q är förskjuten 90^(∘) moturs i förhållande till P. Vi ritar även denna punkt på enhetscirkeln.
Vinkeln mellan positiva x-axeln och den radie som går ut till Q är v+90^(∘). Och eftersom koordinaterna för P kan skrivas som (cos(v), sin(v)) kan koordinaterna för Q skriva som (cos(v+90^(∘)),sin(v+90^(∘))).
Nu kan vi använda sambanden &cos(v+90^(∘))=-sin(v) och &sin(v+90^(∘))=cos(v) för att förenkla koordinaterna för Q. Det ger att Q=(- sin(v), cos(v)). Som vi sa tidigare kan koordinaterna för P skrivas som (cos(v), sin(v)), och i detta fall är cos(v)= 12 och sin(v)= sqrt(3)2. Till sist sätter vi in dessa värden i koordinaterna för Q och får att Q=(-sqrt(3)/2, 1/2).
security
report
code
Nedan syns grafen till funktionen
y=asin(x)+bcos(x).
Bestäm a och b och svara med funktionsuttrycket.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><\/span><\/span>"},"formTextBefore":"<span class=\"katex\"><span class=\"katex-html\" aria-hidden=\"true\"><span class=\"base\"><span class=\"strut\" style=\"height:0.625em;vertical-align:-0.19444em;\"><\/span><span class=\"mord mathdefault\" style=\"margin-right:0.03588em;\">y<\/span><span class=\"mspace\" style=\"margin-right:0.2777777777777778em;\"><\/span><span class=\"mrel\">=<\/span><\/span><\/span><\/span>","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\sin(x)+2\\cos(x)"]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionen till grafen kan skrivas både som y=asin(x)+bcos(x) och som y=csin(x+v). Vi börjar med att bestämma värdena på konstanterna c och v med hjälp av grafen. Amplituden är sqrt(8) vilket ger oss att c=sqrt(8). Vi kan alltså skriva funktionen som y=sqrt(8)sin(x+v). En oförskjuten sinuskurva passerar x-axeln där x=0^(∘). Den här grafen skär x-axeln när x=-45^(∘). Den är alltså förskjuten 45^(∘) åt vänster. Det betyder att v=45^(∘). Funktionen till grafen kan därför beskrivas med uttrycket y=sqrt(8)sin(x+45^(∘)). Sambanden mellan a, b, c och v är c=sqrt(a^2+b^2) och tan(v)= ba. Vi sätter in värdena på c och v för att bestämma a och b.
Konstanten b kan alltså ha värdet 2 eller -2, och eftersom a måste vara lika med b blir lösningarna a=2 &och b=2 a=-2 &och b=- 2. Detta är lösningarna till ekvationssystemet, men svarar båda på frågan i uppgiften? Nej, y=-2sin(x)-2cos(x) och y=2sin(x)+2cos(x) ger inte samma graf. Så vilken är rätt? Vi kan läsa av en punkt på grafen och se vilken kombination av a och b som ger det rätta funktionsvärdet. Vi ser att när x=0^(∘) är funktionsvärdet 2.
Vi sätter in x=0^(∘) i båda funktioner och undersöker vilken av dem som ger funktionsvärdet 2.
Om a=-2 och b=-2 blir funktionsvärdet -2, alltså inte 2. Då bör svaret på uppgiften vara a=2 och b=2. Vi kontrollerar detta genom att sätta in x=0^(∘) i y=2sin(x)+2cos(x) och beräknar. Då ska vi få y=2.
Funktionsvärdet blev 2 så svaret på frågan måste vara a=2 och b=2.
security
report
code
Samband mellan sinus och cosinus
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Laddar innehåll