12. Samband mellan sinus och cosinus
+ Anpassa lektionen
0
0
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
12.
Samband mellan sinus och cosinus
Innehållet utforskar förhållandena mellan sinus och cosinus funktioner, både algebraiskt och grafiskt. Det går in på sambanden mellan olika trigonometriska funktioner och hur de kan representeras i olika former. Materialet inkluderar metoder för att skriva en summa av sinus och cosinus funktioner som en enda sinusfunktion, med hjälp av specifika matematiska förhållanden. Det ger också exempel och lösningar på problem relaterade till sinus och cosinus, och erbjuder insikter i de praktiska tillämpningarna av dessa matematiska begrepp.
Visa mindre Visa mer expand_more| | 5 sidor teori |
| | 18 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Samband mellan sinus och cosinus
Sida av 5
Sinus- och cosinuskurvor liknar varandra. Därför är det kanske inte förvånande att man kan skriva om en sinusfunktion som en cosinusfunktion och vice versa. Här visas några sådana samband, både algebraiskt och grafiskt.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Bevis
Samband mellan sinus och cosinus grafiskt
Man kan representera det första och tredje av dessa samband som förskjutningar av cos(x) i x-led. Exempelvis kan man se att cos(x+90^(∘)) och -sin(v) faktiskt är samma funktion.
På samma sätt kan det andra och fjärde sambandet tolkas som förskjutningar av sin(x) i x-led.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Förenkla uttrycket med trigonometriska samband
Visa Lösning expand_more
Täljaren och nämnaren i det vänstra bråket, dvs. sin(v+90^(∘)) och -cos(v+180^(∘)), kan båda förenklas till cos(v). Vi sätter in detta: cos(v)/cos(v)-sin(v+180^(∘))/cos(v+90^(∘))=1-sin(v+180^(∘))/cos(v+90^(∘)). För att förenkla det andra bråket använder vi istället att sin(v+180^(∘)) och cos(v+90^(∘)) är lika med -sin(v). Det ger att 1--sin(v)/-sin(v)=1-1=0. Uttrycket förenklas alltså till 0.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Summan av sinus och cosinus
Summan av sinus- och cosinusfunktioner kan skrivas om som en fasförskjuten sinuskurva.
asinx+bcosx = csin(x+v)
där a > 0, c=sqrt(a^2+b^2) och tanv=b/a (-90^(∘) < v < 90^(∘)).
Dra i reglagen
Detta samband kan också användas åt andra hållet — en fasförskjuten sinusfunktion kan skrivas som summan av en sinus- och en cosinusfunktion.
Förklaring
Funktionen y=csin(x+v), där c och v är konstanter, är en sinuskurva som är förskjuten i sidled med vinkeln v och som har amplituden c. Med hjälp av additionsformeln för sinus kan man skriva om uttrycket som en summa.
y=csin(x+v)
SinAdd
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
y=c(sin x cos v +cos x sin v)
Distr
Multiplicera in c
y=csin x cos v +ccos x sin v
RearrangeFac
Omarrangera faktorer
y=ccos v sin x + csin v cos x
Eftersom c och v är konstanter, dvs. de beror inte på x, kommer även ccos v och csin v att vara konstanter. Om man kallar dem för a respektive b får man
ccos vsin x + csin vcos x= asin x+ bcos x.
Eftersom koefficienterna måste vara samma i både höger- och vänsterled får man ekvationssystemet
a=ccos v b=csin v.
Detta kan man lösa med additions- och substitutionsmetoden. Genom att lösa ut c ur den ena ekvationen och sätta in i den andra kan man få ett uttryck för v.
a=ccos v & (I) b=csin v & (II)
DivEqn
(I): .VL /cos v.=.HL /cos v.
a/cos v=c b=csin v
RearrangeEqn
(I): Omarrangera ekvation
c=a/cos v b=csin v
Substitute
(II): c= a/cos v
c=a/cos v [-1em] b= a/cos v* sin v
ReplaceNumCounterClockwise
(II): a/c* b =a * b/c
c=a/cos v [-1em] b=a*sin v/cos v
SinCosToTan
(II): sin(v)/cos(v)=tan(v)
c=a/cos v b=a*tan v
RearrangeEqn
(II): Omarrangera ekvation
c=a/cos v a*tan v=b
DivEqn
(II): .VL /a.=.HL /a.
c=a/cos v [-1em] tan v=b/a
I den andra ekvationen finns nu ett uttryck för v som enbart beror på a och b. För att hitta ett motsvarande samband för c kan man titta på det ursprungliga ekvationssystemet igen.
a=ccos v b=csin v
Man är ute efter att få c ensamt och att det enbart beror på a och b. Nu måste man på något sätt bli av med
cos v och sin v. Här kommer trigonometriska ettan väl till pass. De trigonometriska uttrycken är inte kvadrerade, men det går att lösa genom att höja upp båda ekvationer med 2.
a^2=c^2cos^2 v b^2=c^2sin^2 v
Nu kan man använda additionsmetoden för att lösa ut c.
a^2=c^2cos^2 v & (I) b^2=c^2sin^2 v & (II)
SysEqnAdd
(I): Addera (II)
a^2+ b^2=c^2cos^2 v+ c^2sin^2 v b^2=c^2sin^2 v
FactorOut
(I): Bryt ut c^2
a^2+b^2=c^2(cos^2 v+sin^2 v) b^2=c^2sin^2 v
PythTrigId
(I): sin^2(v) + cos^2(v) = 1
a^2+b^2=c^2 b^2=c^2sin^2 v
RearrangeEqn
(I): Omarrangera ekvation
c^2=a^2+b^2 b^2=c^2sin^2 v
SqrtEqn
(I): sqrt(VL)=sqrt(HL)
c=±sqrt(a^2+b^2) b^2=c^2sin^2 v
Eftersom c är en amplitud är den positiv, så man kan utesluta den negativa roten. Det betyder att c=sqrt(a^2+b^2). Sammantaget betyder detta att
tan v=.b /a. c=sqrt(a^2+b^2).
Med hjälp av dessa samband kan man alltså skriva om en förskjuten sinuskurva som en summa av sinus och cosinus.
csin(x+v)=asin x + bcos x
När man löser ekvationen tan v = .b /a. för att bestämma v får man lösningsmängden
v = tan^(-1)( b/a ) + n * π.
Lösningsmängden har perioden π, men sinus har en period på 2π. Därför ger endast vartannat v den sökta funktionen y = csin(x + v). De extra lösningar som inte löser det ursprungliga problemet uppkommer eftersom likheten
b/a = - b/- a
gäller. Om både a och b byter tecken får man samma högerled i ekvationen tan v = .b /a., men det är inte samma vinkel v som söks. Sammanfattat ger det här att om n = 0 svarar mot ett v som löser
a sin x + b cos x = c sin(x + v)
så kommer n = 1 ge ett v som löser
- a sin x - b cos x = c sin(x + v).
På samma sätt som för rotekvationer måste man därför kontrollera sin lösning. Det gör man lättast genom att låta n = 0 och sedan sätta in x = 0 i likheten
a sin x + b cos x = c sin(x + v).
Om den är uppfylld har man hittat det sökta värdet på v — annars är det n = 1 som ger ett värde på v som stämmer.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Skriv summan som en sinusfunktion
Visa Lösning expand_more
Vi ska alltså skriva summan på formen y = csin(x + v). Vi börjar med att beräkna amplituden för sinusfunktionen. Det gör vi genom att kvadrera 6 och 9, addera dem och dra roten ur.
Amplituden för sinuskurvan är alltså cirka 10.8. Nu beräknar vi kurvans sidledsförskjutning.
Det finns flera lösningar till ekvationen, men endast hälften löser vårt ursprungliga problem. Vi testar lösningen då n=0, vilket ger v≈ 0.98. Det gör vi genom att sätta in våra beräknade värden samt x = 0 i likheten 6sin(x) + 9cos(x) = csin(x + v). Om likheten uppfylls är v ≈ 0.98 en vinkel som löser uppgiften. Eftersom våra värden är avrundade räcker det att likheten är ungefärligt uppfylld.
6sin(x) + 9cos(x) = csin(x + v)
SubstituteValues
Sätt in värden
6sin(0) + 9cos(0) ? ≈ 10.8sin(0 + 0.98)
▼
Beräkna
AddTerms
Addera termerna
6sin(0) + 9cos(0) ? ≈ 10.8sin(0.98)
SinRad
\ifnumequal{0}{0}{\sin\left(0\right)=0}{}\ifnumequal{0}{30}{\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{0}{45}{\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{0}{60}{\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{0}{90}{\sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=1}{}\ifnumequal{0}{120}{\sin\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{0}{135}{\sin\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{0}{150}{\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{0}{180}{\sin\left(\pi\right)=0}{}\ifnumequal{0}{210}{\sin\left(\dfrac{7\pi}6\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{0}{225}{\sin\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{0}{240}{\sin\left(\dfrac{4\pi}3\right)=- \dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{0}{270}{\sin\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=- 1}{}\ifnumequal{0}{300}{\sin\left(\dfrac{5\pi}3\right)=- \dfrac {\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{0}{315}{\sin\left(\dfrac{7\pi}4\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{0}{330}{\sin\left(\dfrac{11\pi}6\right)=- \dfrac 1 2}{}\ifnumequal{0}{360}{\sin\left(2\pi\right)=0}{}
9cos(0) ? ≈ 10.8sin(0.98)
CosRad
\ifnumequal{0}{0}{\cos\left(0\right)=1}{}\ifnumequal{0}{30}{\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{0}{45}{\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{0}{60}{\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{0}{90}{\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{0}{120}{\cos\left(\dfrac{2\pi}{3}\right)=- \dfrac{1}{2}}{}\ifnumequal{0}{135}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{4}\right)=- \dfrac{1}{\sqrt{2}}}{}\ifnumequal{0}{150}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)=- \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{}\ifnumequal{0}{180}{\cos\left(\pi\right)=- 1}{}\ifnumequal{0}{210}{\cos\left(\dfrac{7\pi}6\right)=- \dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{0}{225}{\cos\left(\dfrac{5\pi}{4}\right)=- \dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{0}{240}{\cos\left(\dfrac{4\pi}3\right)=- \dfrac {1}2}{}\ifnumequal{0}{270}{\cos\left(\dfrac{3\pi}{2}\right)=0}{}\ifnumequal{0}{300}{\cos\left(\dfrac{5\pi}3\right)=\dfrac{1}2}{}\ifnumequal{0}{315}{\cos\left(\dfrac{7\pi}4\right)=\dfrac 1 {\sqrt 2}}{}\ifnumequal{0}{330}{\cos\left(\dfrac{11\pi}6\right)=\dfrac{\sqrt 3}2}{}\ifnumequal{0}{360}{\cos\left(2\pi\right)=1}{}
9 ? ≈ 10.8sin(0.98)
UseCalc
Slå in på räknare
9 ≈ 8.96937...
Vinkeln vi testade är alltså en giltig lösning. Om vänsterled och högerled istället haft olika tecken hade n = 1 gett oss rätt vinkel. Vi vet därför att c ≈ 10.8 och v ≈ 0.98 ger en lösning på uppgiften, och kan skriva summan på följande sätt:
y=6sin(x)+9cos(x)≈ 10.8sin(x+0.98).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Samband mellan sinus och cosinus
Uppgift 3.1
Punkten P i enhetscirkeln har koordinaterna ( 1/2, sqrt(3)/2 ). Punkten Q är förskjuten 90^(∘) moturs i förhållande till P. Vilka koordinater har punkten Q?
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":"Q=","formTextAfter":null,"answer":{"text1":"-\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}","text2":"\\dfrac{1}{2}"}}
security
report
code
security
report
code
Vi börjar med att rita upp enhetscirkeln och markera punkten P. Vinkeln som motsvarar denna punkt kallar vi för v.
Punkten Q är förskjuten 90^(∘) moturs i förhållande till P. Vi ritar även denna punkt på enhetscirkeln.
Vinkeln mellan positiva x-axeln och den radie som går ut till Q är v+90^(∘). Och eftersom koordinaterna för P kan skrivas som (cos v, sin v) kan koordinaterna för Q skriva som (cos(v+90^(∘)),sin(v+90^(∘))).
Nu kan vi använda sambanden &cos(v+90^(∘))=-sin v och &sin(v+90^(∘))=cos v för att förenkla koordinaterna för Q. Det ger att Q=(- sin v, cos v). Som vi sa tidigare kan koordinaterna för P skrivas som (cos v, sin v), och i detta fall är cos v=1/2 och sin v=sqrt(3)/2. Till sist sätter vi in dessa värden i koordinaterna för Q och får att Q=(-sqrt(3)/2, 1/2).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Nedan syns grafen till funktionen y=asin x +bcos x. Bestäm a och b och svara med funktionsuttrycket.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"y=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["2\\sin(x)+2\\cos(x)"]}}
security
report
code
security
report
code
Funktionen till grafen kan skrivas både som y=asin x+bcos x och som y=csin(x+v). Vi börjar med att bestämma värdena på konstanterna c och v med hjälp av grafen. Amplituden är sqrt(8) vilket ger oss att c=sqrt(8). Vi kan alltså skriva funktionen som y=sqrt(8)sin(x+v). En oförskjuten sinuskurva passerar x-axeln där x=0^(∘). Den här grafen skär x-axeln när x=-45^(∘). Den är alltså förskjuten 45^(∘) åt vänster. Det betyder att v=45^(∘). Funktionen till grafen kan därför beskrivas med uttrycket y=sqrt(8)sin(x+45^(∘)). Sambanden mellan a, b, c och v är c=sqrt(a^2+b^2) och tan v=.b /a.. Vi sätter in värdena på c och v för att bestämma a och b.
Konstanten b kan alltså ha värdet 2 eller -2, och eftersom a måste vara lika med b blir lösningarna a=2 &och b=2 a=-2 &och b=- 2. Detta är lösningarna till ekvationssystemet, men svarar båda på frågan i uppgiften? Nej, y=-2sin x-2cos x och y=2sin x+2cos x ger inte samma graf. Så vilken är rätt? Vi kan läsa av en punkt på grafen och se vilken kombination av a och b som ger det rätta funktionsvärdet. Vi ser att när x=0^(∘) är funktionsvärdet 2.
Vi sätter in x=0^(∘) i båda funktioner och undersöker vilken av dem som ger funktionsvärdet 2.
Om a=-2 och b=-2 blir funktionsvärdet -2, alltså inte 2. Då bör svaret på uppgiften vara a=2 och b=2. Vi kontrollerar detta genom att sätta in x=0^(∘) i y=2sin x+2cos x och beräknar. Då ska vi få y=2.
Funktionsvärdet blev 2 så svaret på frågan måste vara a=2 och b=2.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Skriv funktionen f(x)=cos ( 90^(∘)-x )-sin ( x+90^(∘) )+cos ( x+180^(∘) ) som en sinusfunktion. Skriv amplituden exakt och avrunda fasförskjutningen till närmaste heltal av grader.
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":""},"formTextBefore":"f(x)\u2248","formTextAfter":null,"answer":{"text":["\\sqrt{5}\\sin(x-63)"]}}
security
report
code
security
report
code
Vi vet att en funktion på formen y=asin x + bcos x kan skrivas som en enda sinusfunktion. Vi försöker därför förenkla f(x) så att funktionsuttrycket står på den formen.
Nu har vi f(x) på formen y=asin x+bcos x, där a är 1 och b är -2, och kan nu skriva om den som y=csin(x+v). Vi börjar med att beräkna c.
Vi fortsätter med att bestämma v.
Vi ser att den ekvation vi löste har oändligt många lösningar. Endast varannan av dessa är rätt. Därför måste vi ta reda på vilket värde på n som ger oss rätt lösning. Vi testar först n=0, vilket ger oss v≈ - 63^(∘). Vi undersöker genom att sätta in våra värden samt x=0 ^(∘) och sedan kontrollera om likheten sin x -2cos x =csin(x+v) gäller. Eftersom våra värden är avrundade räcker det att likheten är ungefärligt uppfylld.
Det betyder att vinkeln v≈ - 63^(∘) är vårt korrekta svar och vi kan skriva den ursprungliga summan av funktioner som f(x)≈sqrt(5)sin( x-63^(∘) ).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Exakt 22 12 minuter efter timmen befinner sig minutvisaren på en klocka i punkten P, som visas i diagrammet. Flera minuter senare har den roterat θ grader medurs till punkten Q. Koordinaterna för punkten Q är (cos(-(θ+45^(∘))),sin(-(θ+45^(∘)))). Skriv koordinaterna för punkten Q i termer av cos θ och sin θ.
{"type":"text","form":{"type":"point2d","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":false,"useShortLog":false,"variables":[],"constants":["PI"]},"rendered":false,"decimal":false,"function":false},"text":""},"formTextBefore":null,"formTextAfter":null,"answer":{"text1":"\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cos \\theta- \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\sin\\theta","text2":"\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\cos\\theta-\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\sin \\theta"}}
security
report
code
security
report
code
Vi får ett diagram av en klocka.
Vi vet att exakt 22 12 minuter efter timmen befinner sig minutvisaren på punkten P. Flera minuter senare har den roterat θ grader medurs till punkten Q. Vi får koordinaterna för punkten Q. (cos(-(θ+45^(∘))),sin(-(θ+45^(∘)))) Vi vill skriva dessa koordinater i termer av cos θ och sin θ. För att göra det kan vi skriva om koordinaterna genom att använda följande trigonometriska samband.
sin (- θ) =& - sin θ cos (- θ) =& cos θ
Detta gör att vi kan skriva om koordinaterna för Q. (cos(-(θ+45^(∘))),sin(-(θ+45^(∘)))) ⇓ (cos(θ+45^(∘)),-sin(θ+45^(∘))) Därefter använder vi additionsformeln för cosinus. cos ( u+ v)=cos u cos v - sin u sin v ⇓ cos ( θ +45^(∘) ) = cos θ cos 45^(∘)- sin θ sin 45^(∘) Nu ska vi komma ihåg några trigonometriska värden för standardvinklar.
| Sine | Cosine |
|---|---|
| sin 30^(∘)=1/2 | cos 30^(∘)=sqrt(3)/2 |
| sin 45^(∘)=sqrt(2)/2 | cos 45^(∘)=sqrt(2)/2 |
| sin 60^(∘)=sqrt(3)/2 | cos 60^(∘)=1/2 |
Vi kommer att använda värdena för 45^(∘) för att förenkla det föregående uttrycket.
Vi kan följa en liknande process för att hitta y-koordinaten. I detta fall använder vi additionsformeln för sinus. sin ( u+ v)=sin u cos v + cos u sin v Nu kommer vi att tillämpa denna identitet på y-koordinaten. Sedan kommer vi att använda de trigonometriska värdena för 45^(∘). Nu gör vi det!
Slutligen kan vi skriva koordinaterna för Q. (sqrt(2)/2cos θ- sqrt(2)/2sinθ , sqrt(2)/2cosθ-sqrt(2)/2sin θ )
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Samband mellan sinus och cosinus
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≥
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll