Additionsformeln för cosinus

Cosinusvärdet för en summa av vinklar beräknas med hjälp av sinus- och cosinusvärdet för varje vinkel.

cos (u + v) = cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v)

Man kan bevisa denna formel med utgångspunkt i subtraktionsformeln för cosinus. För att kunna använda den behöver man först skriva om summan

u + v

som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal.

cos (u + v)

$a + b = a - (- b)$

cos (u - (- v))

$cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v)$

cos (u) cos (- v) + sin (u) sin (- v)

Uttrycket kan förenklas med de trigonometriska sambanden

cos (- v) = cos (v) och sin (- v) = - sin (v) .

cos (u) cos (- v) + sin (u) sin (- v)

$cos (- v) = cos (v)$

cos (u) cos (v) + sin (u) sin (- v)

$sin (- v) = - sin (v)$

cos (u) cos (v) + sin (u) (- sin (v))

$a (- b) = - a \cdot b$

cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v)

Cosinusvärdet av en summa kan alltså skrivas som

cos (u + v) = cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v) .

Q.E.D.