Bevis

Additionsformeln för sinus

När man beräknar sinusvärdet för en summa använder man sinus- och cosinusvärdena för båda vinklar.

$\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)$

Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden

$\sin(v)=\cos(90^\circ-v)$     och     $\cos(v)=\sin(90^\circ-v)$. Med hjälp av det första sambandet kan $\sin(u+v)$ skrivas om som cosinus av en differens.

$\sin(u+v)$

$\sin(v)=\cos(90^\circ-v)$

$\cos(90^\circ-(u+v))$

Ta bort parentes & byt tecken

$\cos(90^\circ-u-v)$

Lägg till parentes

$\cos((90^\circ-u)-v)$

Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.

$\cos((90^\circ-u)-v)$

$\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$

$\cos(90^\circ-u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)$

$\cos(90^\circ-v)=\sin(v)$

$\sin(u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)$

$\sin(90^\circ-v)=\cos(v)$

$\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)$

Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas $\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v).$

Q.E.D.