Expandera meny menu_open Minimera Startsida kapitel Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open

Additionsformeln för sinus

Bevis

Additionsformeln för sinus

När man beräknar sinusvärdet för en summa använder man sinus- och cosinusvärdena för båda vinklar.

sin⁡(u+v)=sin⁡(u)cos⁡(v)+cos⁡(u)sin⁡(v)\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)

Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden

sin⁡(v)=cos⁡(90∘−v)\sin(v)=\cos(90^\circ-v)     och     cos⁡(v)=sin⁡(90∘−v)\cos(v)=\sin(90^\circ-v).
Med hjälp av det första sambandet kan sin⁡(u+v)\sin(u+v) skrivas om som cosinus av en differens.
sin⁡(u+v)\sin(u+v)
SinToCosDiffsin⁡(v)=cos⁡(90∘−v)\sin(v)=\cos(90^\circ-v)
cos⁡(90∘−(u+v))\cos(90^\circ-(u+v))
RemoveParSignsTa bort parentes & byt tecken
cos⁡(90∘−u−v)\cos(90^\circ-u-v)
AddParLägg till parentes
cos⁡((90∘−u)−v)\cos((90^\circ-u)-v)
Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.
cos⁡((90∘−u)−v)\cos((90^\circ-u)-v)
CosSubcos⁡(u−v)=cos⁡(u)cos⁡(v)+sin⁡(u)sin⁡(v)\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)
cos⁡(90∘−u)cos⁡(v)+sin⁡(90∘−u)sin⁡(v)\cos(90^\circ-u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)
CosDiffToSincos⁡(90∘−v)=sin⁡(v)\cos(90^\circ-v)=\sin(v)
sin⁡(u)cos⁡(v)+sin⁡(90∘−u)sin⁡(v)\sin(u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)
SinDiffToCossin⁡(90∘−v)=cos⁡(v)\sin(90^\circ-v)=\cos(v)
sin⁡(u)cos⁡(v)+cos⁡(u)sin⁡(v)\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)
Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas sin⁡(u+v)=sin⁡(u)cos⁡(v)+cos⁡(u)sin⁡(v). \sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v).
Q.E.D.