Bevis

Additionsformeln för sinus

När man beräknar sinusvärdet för en summa använder man sinus- och cosinusvärdena för båda vinklar.

$\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)$

Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden

\sin(v)=\cos(90^\circ-v)

och

\cos(v)=\sin(90^\circ-v)

. Med hjälp av det första sambandet kan

\sin(u+v)

skrivas om som cosinus av en differens.

\sin(u+v)

\sin(v)=\cos(90^\circ-v)

\cos(90^\circ-(u+v))

Ta bort parentes & byt tecken

\cos(90^\circ-u-v)

Lägg till parentes

\cos((90^\circ-u)-v)

Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.

\cos((90^\circ-u)-v)

\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)

\cos(90^\circ-u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)

\cos(90^\circ-v)=\sin(v)

\sin(u)\cos(v)+\sin(90^\circ-u)\sin(v)

\sin(90^\circ-v)=\cos(v)

\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v)

Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas

\sin(u+v)=\sin(u)\cos(v)+\cos(u)\sin(v).

Q.E.D.

Videohandledningar