4. Trigonometriska ettan och additionsformler
Logga in
Ett fel uppstod, försök igen senare!
Kapitel 1
7.
Trigonometriska ettan och additionsformler
Lektionen fokuserar på trigonometriska koncept, inklusive trigonometriska ettan, som är ett samband mellan sinus och cosinus som anger att summan av de kvadrerade sinus- och cosinusvärdena för en vinkel alltid är lika med 1. Den förklarar också hur man kan använda trigonometriska ettan för att bestämma det andra värdet om man känner till sinus- eller cosinusvärdet för en vinkel. Sidan innehåller också information om additions- och subtraktionsformler för sinus och cosinus, och hur dessa kan användas för att förenkla och lösa olika matematiska problem. Det finns också exempel och förklaringar som hjälper till att förstå dessa koncept.
Visa mindre Visa mer expand_more 
Inställningar & verktyg för lektion
| | 5 sidor teori |
| | 11 Uppgifter - Nivå 1 - 3 |
| | Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet. |
Trigonometriska ettan och additionsformler
Sida av 5
En väl använd formel inom trigonometrin är den så kallade trigonometriska ettan, som anger ett samband mellan sinus och cosinus. Detta kan bl.a. nyttjas för att bevisa andra praktiska formler, t.ex. de för beräkningar av trigonometriska värden för summor och differenser av vinklar.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Bevis
Trigonometriska ettan
Trigonometriska ettan är ett samband mellan sinus och cosinus som anger att summan av de kvadrerade sinus- och cosinusvärdena för en vinkel alltid är lika med 1.
Bevis
sin^2(v)+cos^2(v)=1Sambandet kan härledas med t.ex. cirkelns ekvation. Alla punkter (x,y) på randen till en cirkel med radien r och medelpunkten (a,b) uppfyller cirkelns ekvation:
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2.
Vad är denna ekvation för enhetscirkeln, dvs. cirkeln med radien 1 och medelpunkt i origo?
Man kan bestämma ekvationen genom att sätta in r=1, a=0 och b=0 i cirkelns ekvation.
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
SubstituteValues
Sätt in värden
(x-0)^2+(y-0)^2=1^2
SimpPowTerm
Förenkla potens & termer
x^2+y^2=1
Eftersom en punkt på enhetscirkeln kan definieras med sinus och cosinus kan man göra ersättningarna x=cos(v) och y=sin(v) i ekvationen. (cos(v))^2+(sin(v))^2=1 Det är vanligt att exponenterna skrivs innan argumentet. Då får man trigonometriska ettan på den form som är vanligast: sin^2(v)+cos^2(v)=1.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm sinusvärdet med trigonometriska ettan
Visa Lösning expand_more
Vi ska alltså bestämma sin(v) givet att cos(v)=0.87. Till vår hjälp har vi trigonometriska ettan: sin^2(v)+cos^2(v)=1. Vi sätter nu in det kända cosinusvärdet i formeln och löser ut sin(v). Kom ihåg att cos^2(v) är samma sak som (cos(v))^2.
sin^2(v)+cos^2(v)=1
Substitute
cos(v)= 0.87
sin^2(v)+ 0.87^2=1
UseCalc
Slå in på räknare
sin^2(v)+0.7569=1
SubEqn
VL-0.7569=HL-0.7569
sin^2(v)=1-0.7569
SubTerm
Subtrahera term
sin^2(v)=0.2431
SqrtEqn
sqrt(VL)=sqrt(HL)
sin(v)=±sqrt(0.2431)
Eftersom vinkeln vi ska bestämma sinusvärdet för ligger ovanför x-axeln måste dess sinusvärde vara positivt, så vi förkastar det negativa värdet. Det innebär att sinusvärdet vi söker är sin(v)=sqrt(0.2431).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Regel
Additions- och subtraktionsformler
Sinus- eller cosinusvärdet av en summa eller differens av vinklar kan delas upp som en kombination av de enskilda vinklarnas sinus- och cosinusvärden. Dessa formler kan vara lätta att blanda ihop, men det finns minnesregler.
- cos ger couscous: Båda cosinusformler börjar med cos(u)cos(v). Sinusformlerna börjar istället med sin(u)cos(v).
- Sinus minus ger minus: Båda sinusformler bevarar tecknet: Är det minus i parentesen ska det även vara minus mellan produkterna. Cosinusformlerna byter tecknet istället.
- sin-byte i halvtid: Efter mittentecknet skrivs samma sak igen, men sin byts mot cos och cos byts mot sin.
Vilken vinkel som hamnar var är det lättaste: Behåll bara ordningen de har i första parentesen!
Bevis
cos(u-v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, u och v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas P och Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.
Avståndet, d, mellan punkterna P och Q kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.
Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d.
d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
d=sqrt((cos(u)-cos(v))^2+(sin(u)-sin(v))^2)
ExpandNegPerfectSquare
Utveckla med andra kvadreringsregeln
d=sqrt(cos^2(u)-2cos(u)cos(v)+cos^2(v)+sin^2(u)-2sin(u)sin(v)+sin^2(v))
RearrangeTerms
Omarrangera termer
d=sqrt(sin^2(u)+cos^2(u)+sin^2(v)+cos^2(v)-2cos(u)cos(v)-2sin(u)sin(v))
PythTrigId
sin^2(v) + cos^2(v) = 1
d=sqrt(1+1-2cos(u)cos(v)-2sin(u)sin(v))
AddTerms
Addera termerna
d=sqrt(2-2cos(u)cos(v)-2sin(u)sin(v))
Medelpunktsvinkeln mellan P och Q är skillnaden mellan u och v, dvs. u-v.
Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i P hamnar på x-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet d är fortfarande samma. Låt P' och Q' beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.
Nu kan man beräkna d med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för P' och Q'.
d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)
SubstituteExpressions
Sätt in uttryck
d=sqrt((cos(u-v)-1)^2+(sin(u-v)-0)^2)
SubTerm
Subtrahera term
d=sqrt((cos(u-v)-1)^2+sin^2(u-v))
ExpandNegPerfectSquare
Utveckla med andra kvadreringsregeln
d=sqrt(cos^2(u-v)-2*cos(u-v)* 1+1^2+sin^2(u-v))
CalcPowProd
Beräkna potens & produkt
d=sqrt(cos^2(u-v)-2cos(u-v)+1+sin^2(u-v))
RearrangeTerms
Omarrangera termer
d=sqrt(sin^2(u-v)+cos^2(u-v)+1-2cos(u-v))
PythTrigId
sin^2(v) + cos^2(v) = 1
d=sqrt(1+1-2cos(u-v))
AddTerms
Addera termerna
d=sqrt(2-2cos(u-v))
De två uttrycken för längden d kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.
sqrt(2-2cos(u)cos(v)-2sin(u)sin(v))=sqrt(2-2cos(u-v))
RaiseEqn
VL^2=HL^2
2-2cos(u)cos(v)-2sin(u)sin(v)=2-2cos(u-v)
SubEqn
VL-2=HL-2
- 2cos(u)cos(v)-2sin(u)sin(v)=- 2cos(u-v)
RearrangeEqn
Omarrangera ekvation
- 2cos(u-v)=- 2cos(u)cos(v)-2sin(u)sin(v)
ChangeSigns
Byt tecken
2cos(u-v)= 2cos(u)cos(v)+2sin(u)sin(v)
DivEqn
.VL /2.=.HL /2.
cos(u-v)= cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)
Cosinusvärdet av en differens är alltså cos(u-v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v).
Q.E.D.
Bevis
cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v)Man kan bevisa denna formel med utgångspunkt i subtraktionsformeln för cosinus. För att kunna använda den behöver man först skriva om summan u+v som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal.
cos(u+v)
SumToDiff
a+b=a-(- b)
cos(u-(- v))
CosSub
cos(u-v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)
cos(u)cos(- v) + sin(u)sin(- v)
Uttrycket kan förenklas med de trigonometriska sambanden cos(- v)=cos(v) och sin(- v)=- sin(v).
cos(u)cos(- v) + sin(u)sin(- v)
CosNegToCos
cos(- v)=cos(v)
cos(u)cos(v) + sin(u)sin(- v)
SinNegToNegSin
sin(- v)=- sin(v)
cos(u)cos(v) + sin(u)( - sin(v))
MultPosNeg
a(- b)=- a * b
cos(u)cos(v) - sin(u)sin(v)
Cosinusvärdet av en summa kan alltså skrivas som cos(u+v)=cos(u)cos(v) - sin(u)sin(v).
Q.E.D.
Bevis
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden
sin(v)=cos(90^(∘)-v) och cos(v)=sin(90^(∘)-v).
Med hjälp av det första sambandet kan sin(u+v) skrivas om som cosinus av en differens.
sin(u+v)
SinToCosDiff
sin(v)=cos(90^(∘)-v)
cos(90^(∘)-(u+v))
RemoveParSigns
Ta bort parentes & byt tecken
cos(90^(∘)-u-v)
AddPar
Lägg till parentes
cos((90^(∘)-u)-v)
Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.
cos((90^(∘)-u)-v)
CosSub
cos(u-v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)
cos(90^(∘)-u)cos(v)+sin(90^(∘)-u)sin(v)
CosDiffToSin
cos(90^(∘)-v)=sin(v)
sin(u)cos(v)+sin(90^(∘)-u)sin(v)
SinDiffToCos
sin(90^(∘)-v)=cos(v)
sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v).
Q.E.D.
Bevis
sin(u-v)=sin(u)cos(v)-cos(u)sin(v)Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen u-v som en addition med ett negativt tal.
sin(u-v)
DiffToSum
a-b = a+(- b)
sin(u+ (- v))
SinAdd
sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v)
sin(u)cos(- v) + cos(u)sin(- v)
Uttrycket kan nu förenklas med sambanden cos(- v)=cos(v) och sin(- v)=- sin(v).
sin(u)cos(- v) + cos(u)sin(- v)
CosNegToCos
cos(- v)=cos(v)
sin(u)cos(v) + cos(u)sin(- v)
SinNegToNegSin
sin(- v)=- sin(v)
sin(u)cos(v) + cos(u)( - sin(v))
MultPosNeg
a(- b)=- a * b
sin(u)cos(v) - cos(u)sin(v)
Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som sin(u-v)=sin(u)cos(v)-cos(u)sin(v).
Q.E.D.
Dela
Rapportera fel
Översätt
Exempel
Bestäm cosinusvärdet med additionsformeln för cosinus
Visa Lösning expand_more
För att dela upp argumentet 75^(∘) i standardvinklar tar vi hjälp av tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar.
| v (grader) | 0^(∘) | 30^(∘) | 45^(∘) | 60^(∘) | ... |
|---|---|---|---|---|---|
| sin(v) | 0 | 1/2 | 1/sqrt(2) | sqrt(3)/2 | ... |
| cos(v) | 1 | sqrt(3)/2 | 1/sqrt(2) | 1/2 | ... |
De enda standardvinklar som summeras till 75^(∘) är 30^(∘) och 45^(∘). Med den uppdelningen kan cos(75^(∘)) skrivas om med additionsformeln för cosinus.
cos(75^(∘))
WriteSum
Dela upp i termer
cos(30^(∘)+45^(∘))
CosAdd
cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v)
cos(30^(∘))cos(45^(∘))-sin(30^(∘))sin(45^(∘))
Dessa sinus- och cosinusvärden kan vi hämta från tabellen.
cos(30^(∘))cos(45^(∘))-sin(30^(∘))sin(45^(∘))
SubstituteValues
Sätt in värden
sqrt(3)/2*1/sqrt(2)-1/2*1/sqrt(2)
MultFrac
Multiplicera bråk
sqrt(3)/2sqrt(2)-1/2sqrt(2)
SubFrac
Subtrahera bråk
sqrt(3)-1/2sqrt(2)
Nu kan vi konstatera att cos(75^(∘))=sqrt(3)-1/2sqrt(2).
Dela
Rapportera fel
Översätt
Trigonometriska ettan och additionsformler
Uppgift 3.1
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"sin(b+c)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["0,8"]}}
{"type":"text","form":{"type":"math","options":{"comparison":"1","nofractofloat":false,"keypad":{"simple":true,"useShortLog":false,"variables":["x"],"constants":["PI"]},"rendered":false},"text":" "},"formTextBefore":"cos(b+c)=","formTextAfter":null,"answer":{"text":["-0,6"]}}
security
report
code
security
report
code
Eftersom a, b och c är vinklar i en triangel så är a+b+c=180^(∘). Subtraherar vi a från båda led får vi b+c=180^(∘)-a. Värdet på sin(b+c) är alltså samma som sin(180^(∘)-a). Och eftersom sin(180^(∘)-v)=sin(v) kan vi konstatera att sin(b+c) =sin(a)=0,8.
Nu när vi vet att sin(b+c)=0,8 kan vi bestämma cos(b+c) med hjälp av trigonometriska ettan.
Vi får två svar, men är båda rätt? Cosinusvärdet för b+c beror på storleken av vinklarna b och c, så vi funderar på hur stora de kan vara. Eftersom triangeln är spetsvinklig vet vi att alla vinklar är mindre än 90^(∘). Vi kan då inse att eftersom
0^(∘)
Vi kan alltså dra slutsatsen att cos(b+c)=-0,6.
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
{"type":"choice","form":{"alts":["Ja","Nej"],"noSort":true},"formTextBefore":"","formTextAfter":"","answer":0}
security
report
code
security
report
code
Den nedre vinkeln i den orange triangeln är 90^(∘)-(u+v), eftersom den bildar en rät vinkel tillsammans med vinklarna u och v. Triangelns vinkelsumma på 180^(∘) medför då att den övre vinkeln måste vara u+v. Detta kan också motiveras genom att vinkeln är en inre alternatvinkel till summan av u och v.
Om kateterna betecknas x_1 och y_1 så är, enligt definitionen av sinus och cosinus, sin(u+v)=y_1/1 och cos(u+v)=x_1/1. Alltså är sidlängderna y_1=sin(u+v) och x_1=cos(u+v).
Rektangelns sidlängd sin(u+v) kan ses som summan av höjderna i den gröna och den röda triangeln, och cos(u+v) är skillnaden mellan baserna i samma trianglar. Genom att systematiskt ta reda på sidlängderna i figurens övriga rätvinkliga trianglar kan vi komma fram till uttryck för sin(u+v) och cos(u+v).
Blå triangel
Vi vet att hypotenusan i den blå triangeln är 1, så vi börjar med denna triangel och bestämmer katetlängderna x_2 och y_2. Precis som i förra deluppgiften kan definitionerna av sinus och cosinus användas, vilket ger
sin(v)=y_2/1 och cos(v)=x_2/1,
dvs.
y_2=sin(v) och x_2=cos(v).
Grön triangel
Utifrån den gröna triangeln, som vi nu vet har hypotenusan cos(v) och vars kateter vi benämner x_3 och y_3, ger definitionerna av sinus och cosinus att
sin(u)=y_3/cos(v) och cos(u)=x_3/cos(v).
Detta ger sidorna
y_3=sin(u)cos(v) och x_3=cos(u)cos(v).
Röd triangel
I vår sista triangel måste vi börja med att ta reda på storleken på en av de spetsiga vinklarna. Kalla den nedre vinkeln för w.
Den övre vinkeln i den gröna triangeln måste vara 90^(∘)-u eftersom triangelns vinkelsumma ska bli 180^(∘): u + 90^(∘) + (90^(∘) - u) = 180^(∘). Längs rektangelns högra sida bildar vinklarna 90^(∘)-u, 90^(∘) och w ett halvt varv, dvs. 180^(∘). Det ger oss en ekvation som w kan bestämmas ur.
Därmed är w=u. Nu kan vi bestämma längderna på kateterna x_4 och y_4 i den röda triangeln.
Eftersom hypotenusan är sin(v) ger de trigonometriska definitionerna att sin(u)=x_4/sin(v) och cos(u)=y_4/sin(v), vilket ger de sista katetlängderna: x_4=sin(u)sin(v) och y_4=cos(u)sin(v).
Slutsats
Nu när vi har alla sidlängder uttrycker vi rektangelns sidlängd sin(u+v) som summan av höjderna i den gröna och den röda triangeln, och längden cos(u+v) som skillnaden mellan baserna i samma trianglar.
Genom att jämföra rektangelns vänstra och högra sida ser vi att sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v), och genom att jämföra rektangelns övre och nedre sida ser vi att cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v).
security
report
code
U
Ledtråd & Svar
L
Lösning
Trigonometriska ettan och additionsformler
Rekommenderade uppgifter
Logga in för att få personliga rekommenderade uppgifter.
Laddar innehåll
Redigera lektion
≤
>
■2
■▢
e▢
7
8
9
×
÷■1
=
=
√▢
▢√
∫▢▢
4
5
6
+
−
≤
<
log
ln
log▢
1
2
3
()
∣
sin
cos
tan
0
.
π
x
y
Laddar innehåll