Trigonometriska ettan och additionsformler: Trigonometriska formler

$v$ (grader)	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$. . .$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$. . .$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$. . .$

v

(grader)

0^{\circ}

3 0^{\circ}

4 5^{\circ}

6 0^{\circ}

. . .

sin (v)

0

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

. . .

cos (v)

1

\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

. . .

Den nedre vinkeln i den orange triangeln är 90^(∘)-(u+v), eftersom den bildar en rät vinkel tillsammans med vinklarna u och v. Triangelns vinkelsumma på 180^(∘) medför då att den övre vinkeln måste vara u+v. Detta kan också motiveras genom att vinkeln är en inre alternatvinkel till summan av u och v.

Om kateterna betecknas x_1 och y_1 så är, enligt definitionen av sinus och cosinus, sin(u+v)=y_1/1 och cos(u+v)=x_1/1. Alltså är sidlängderna y_1=sin(u+v) och x_1=cos(u+v).

Rektangelns sidlängd sin(u+v) kan ses som summan av höjderna i den gröna och den röda triangeln, och cos(u+v) är skillnaden mellan baserna i samma trianglar. Genom att systematiskt ta reda på sidlängderna i figurens övriga rätvinkliga trianglar kan vi komma fram till uttryck för sin(u+v) och cos(u+v).

Blå triangel

Vi vet att hypotenusan i den blå triangeln är 1, så vi börjar med denna triangel och bestämmer katetlängderna x_2 och y_2. Precis som i förra deluppgiften kan definitionerna av sinus och cosinus användas, vilket ger sin(v)=y_2/1 och cos(v)=x_2/1, dvs. y_2=sin(v) och x_2=cos(v).

Grön triangel

Utifrån den gröna triangeln, som vi nu vet har hypotenusan cos(v) och vars kateter vi benämner x_3 och y_3, ger definitionerna av sinus och cosinus att sin(u)=y_3/cos(v) och cos(u)=x_3/cos(v). Detta ger sidorna y_3=sin(u)cos(v) och x_3=cos(u)cos(v).

Röd triangel

I vår sista triangel måste vi börja med att ta reda på storleken på en av de spetsiga vinklarna. Kalla den nedre vinkeln för w.

Den övre vinkeln i den gröna triangeln måste vara 90^(∘)-u eftersom triangelns vinkelsumma ska bli 180^(∘): u + 90^(∘) + (90^(∘) - u) = 180^(∘). Längs rektangelns högra sida bildar vinklarna 90^(∘)-u, 90^(∘) och w ett halvt varv, dvs. 180^(∘). Det ger oss en ekvation som w kan bestämmas ur.

Därmed är w=u. Nu kan vi bestämma längderna på kateterna x_4 och y_4 i den röda triangeln.

Eftersom hypotenusan är sin(v) ger de trigonometriska definitionerna att sin(u)=x_4/sin(v) och cos(u)=y_4/sin(v), vilket ger de sista katetlängderna: x_4=sin(u)sin(v) och y_4=cos(u)sin(v).

Slutsats

Nu när vi har alla sidlängder uttrycker vi rektangelns sidlängd sin(u+v) som summan av höjderna i den gröna och den röda triangeln, och längden cos(u+v) som skillnaden mellan baserna i samma trianglar.

Genom att jämföra rektangelns vänstra och högra sida ser vi att sin(u+v)=sin(u)cos(v)+cos(u)sin(v), och genom att jämföra rektangelns övre och nedre sida ser vi att cos(u+v)=cos(u)cos(v)-sin(u)sin(v).

Trigonometriska ettan och additionsformler