Trigonometriska ettan och additionsformler

Först vill vi hitta ett sätt att skriva 15^(∘) som en summa eller en differens av standardvinklar, dvs. av 0^(∘), 30^(∘), 45^(∘), 60^(∘), 90^(∘) osv. Vi ser att 60^(∘)-45^(∘) ger vad vi vill ha. För att beräkna sin(15^(∘)) kan vi därför nyttja subtraktionsformeln för sinus på sin(60^(∘)-45^(∘)).

Dessa sinus- och cosinusvärden finns tillgängliga i tabell med trigonometriska värden för standardvinklar.

Vi har nu bestämt det exakta värdet sin(15^(∘))=sqrt(3)-1/2sqrt(2).

Här kan man använda trigonometriska ettan: sin^2(v)+cos^2(v)=1. Läser man regeln åt andra hållet ser man att talet 1 kan bytas mot sin^2(u)+cos^2(u). Genom att göra det får vi in ett cos^2(u) som tar ut det vi har från början.

Kom ihåg att sin^2(u) betyder sin(u)* sin(u), vilket gör den sista förkortningen möjlig. Förenklingen är alltså 1-cos^2(u)/sin(u)=sin(u).

Förenklingar kan oftast göras på flera sätt. Ett alternativ här är att direkt se att hela täljaren 1-cos^2(u) är precis det som man får om man löser ut sin^2(u) ur trigonometriska ettan.

Vi testar med att skriva om tan(v) enligt definitionen, uttryckt i sin(v) och cos(v) för att se om det därefter går förenkla uttrycket genom att finna en gemensam nämnare.

Vi har visat att tan(v)+1/tan(v) = 1/sin(v)cos(v).

Vi börjar här med att skriva om termen med tan(x).

Det blev enkelt! Vi kan konstatera att uttrycket 1/tan^2(v)-1/sin^2(v) i själva verket inte beror av v utan att det är ett knöligt sätt att skriva -1 på.

Om cos^2(y) skrivs om med trigonometriska ettan är det sedan möjligt att göra en användbar faktorisering med konjugatregeln baklänges. Vi använder i första steget att trigonometriska ettan, sin^2(y)+cos^2(y)=1, kan skrivas om som cos^2(y)=1-sin^2(y).

Hela uttrycket förenklades till 1-sin(y), dvs. cos^2(y)/1+sin(y) = 1-sin(y).

Låt v vara den mindre vinkeln. Den större vinkeln är då v+45^(∘). Sidan motstående till v är 8cm lång och den motstående till vinkeln v+45^(∘) är 14cm. Vi får följande figur.

Enligt sinussatsen gäller det i en triangel att kvoten mellan en vinkels sinusvärde och längden av motstående sida är konstant, vilket i vårt fall ger sin(v)/8=sin(v+45^(∘))/14. Denna ekvation vill vi nu lösa. Genom att utveckla högerledet med additionsformeln för sinus bryts termen sin(v+45^(∘)) upp i mindre delar.

Vi har nu en ekvation där variabeln v är ensamt argument i sinus- och cosinusfunktionerna. Vi fortsätter att förenkla genom att slå ihop sinusuttrycken.

v kan inte lösas ut så länge variabeln ligger på flera ställen i ekvationen. Men genom att dividera med cos(v) får vi en ekvation med v endast i tan(v). Att dividera med cos(v) går bra, förutsatt att cos(v)≠0. I det här fallet är det ingen fara, för om cos(v) vore 0 skulle hela ekvationens högerled vara 0. För att uppfylla likheten skulle då även sin(v) vara 0 , men sinus och cosinus är aldrig 0 samtidigt. Därför är vi säkra på att vi inte delar med 0.

Här skulle vi kunna försöka skriva om högerledet så det blir lite "snyggare", men mot slutet använder vi ändå räknare så vi låter det vara. Nu återstår att lösa ut v ur denna ekvation.

n står för ett godtyckligt heltal, men i vårt fall ska vinkeln v vara i en triangel. Sådana vinklar måste vara mellan 0^(∘) och 180^(∘), och i så fall måste n vara noll: v ≈ 34^(∘) + 0 * 180^(∘) = 34^(∘). Vi är egentligen klara nu, men går vidare med att använda denna vinkel för att bestämma de övriga: En vinkel ska vara 45^(∘) större, och den sista kan bestämmas med hjälp av vinkelsumman i en triangel, som alltid blir 180^(∘). Därför är den tredje vinkeln det som blir kvar om de första dras bort från 180^(∘). För att undvika avrundningsfel i dessa beräkningar har vi sparat ett par decimaler.

Triangelns vinklar är alltså ungefär 34^(∘), 67^(∘) respektive 79^(∘).

Enligt uppgiftsformuleringen ska vi använda subtraktionsformeln för cosinus: cos(u-v) = cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v). Om u=0 blir vänster led cos(- v), vilket skulle besvara frågan. Vi sätter därför in u=0 i formeln och ser vart det leder.

Vi har därmed kommit fram till att cos(- v) =cos(v).