Trigonometriska ettan och additionsformler: Trigonometriska formler

En väl använd formel inom trigonometrin är den så kallade trigonometriska ettan, som anger ett samband mellan sinus och cosinus. Detta kan bl.a. nyttjas för att bevisa andra praktiska formler, t.ex. de för beräkningar av trigonometriska värden för summor och differenser av vinklar.

Bevis

Trigonometriska ettan

Trigonometriska ettan är ett samband mellan sinus och cosinus som anger att summan av de kvadrerade sinus- och cosinusvärdena för en vinkel alltid är lika med $1 .$

Bevis

sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1

Sambandet kan härledas med t.ex. cirkelns ekvation. Alla punkter

(x, y)

på randen till en cirkel med radien

r

och medelpunkten

(a, b)

uppfyller cirkelns ekvation:

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2} .

Vad är denna ekvation för enhetscirkeln, dvs. cirkeln med radien

1

och medelpunkt i origo?

Man kan bestämma ekvationen genom att sätta in

r = 1,

a = 0

och

b = 0

i cirkelns ekvation.

(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}

SubstituteValues

Sätt in värden

(x - 0)^{2} + (y - 0)^{2} = 1^{2}

SimpPowTerm

Förenkla potens & termer

x^{2} + y^{2} = 1

Eftersom en punkt på enhetscirkeln kan definieras med sinus och cosinus kan man göra ersättningarna

x = cos (v)

och

y = sin (v)

i ekvationen.

(cos (v))^{2} + (sin (v))^{2} = 1

Det är vanligt att exponenterna skrivs innan argumentet. Då får man trigonometriska ettan på den form som är vanligast:

sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1 .

Bestäm sinusvärdet med trigonometriska ettan

fullscreen

Använd trigonometriska ettan för att bestämma sinusvärdet för vinkeln $v,$ givet att cosinusvärdet för vinkeln är $0.87 .$ Svara exakt.

Visa Lösning

Vi ska alltså bestämma

sin (v)

givet att

cos (v) = 0.87 .

Till vår hjälp har vi trigonometriska ettan:

sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1 .

Vi sätter nu in det kända cosinusvärdet i formeln och löser ut

sin (v) .

Kom ihåg att

cos^{2} (v)

är samma sak som

(cos (v))^{2} .

sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1

Substitute

$cos (v) = 0.87$

sin^{2} (v) + 0.87^{2} = 1

UseCalc

Slå in på räknare

sin^{2} (v) + 0.7569 = 1

SubEqn

$VL - 0.7569 = HL - 0.7569$

sin^{2} (v) = 1 - 0.7569

SubTerm

Subtrahera term

sin^{2} (v) = 0.2431

SqrtEqn

$VL = HL$

sin (v) = \pm 0.2431

Eftersom vinkeln vi ska bestämma sinusvärdet för ligger ovanför

x -

axeln måste dess sinusvärde vara positivt, så vi förkastar det negativa värdet. Det innebär att sinusvärdet vi söker är

sin (v) = 0.2431 .

Bevis

Additions- och subtraktionsformler

Sinus- eller cosinusvärdet av en summa eller differens av vinklar kan delas upp som en kombination av de enskilda vinklarnas sinus- och cosinusvärden. Dessa formler kan vara lätta att blanda ihop, men det finns minnesregler.

cos ger couscous: Båda cosinusformler börjar med $cos (u) cos (v) .$ Sinusformlerna börjar istället med $sin (u) cos (v) .$
Sinus minus ger minus: Båda sinusformler bevarar tecknet: Är det minus i parentesen ska det även vara minus mellan produkterna. Cosinusformlerna byter tecknet istället.
sin-byte i halvtid: Efter mittentecknet skrivs samma sak igen, men $sin$ byts mot $cos$ och $cos$ byts mot $sin .$

Vilken vinkel som hamnar var är det lättaste: Behåll bara ordningen de har i första parentesen!

Bevis

cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v)

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, $u$ och $v,$ i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas $P$ och $Q .$ Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, $d,$ mellan punkterna $P$ och $Q$ kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för

d .

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

d = (cos (u) - cos (v))^{2} + (sin (u) - sin (v))^{2}

ExpandNegPerfectSquare

Utveckla med andra kvadreringsregeln

d = cos^{2} (u) - 2 cos (u) cos (v) + cos^{2} (v) + sin^{2} (u) - 2 sin (u) sin (v) + sin^{2} (v)

RearrangeTerms

Omarrangera termer

d = sin^{2} (u) + cos^{2} (u) + sin^{2} (v) + cos^{2} (v) - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v)

PythTrigId

$sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1$

d = 1 + 1 - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v)

AddTerms

Addera termer

d = 2 - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v)

Medelpunktsvinkeln mellan

P

och

Q

är skillnaden mellan

u

och

v,

dvs.

u - v .

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i $P$ hamnar på $x$ -axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet $d$ är fortfarande samma. Låt $P^{'}$ och $Q^{'}$ beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna

d

med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för

P^{'}

och

Q^{'} .

d = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2}

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

d = (cos (u - v) - 1)^{2} + (sin (u - v) - 0)^{2}

SubTerm

Subtrahera term

d = (cos (u - v) - 1)^{2} + sin^{2} (u - v)

ExpandNegPerfectSquare

Utveckla med andra kvadreringsregeln

d = cos^{2} (u - v) - 2 \cdot cos (u - v) \cdot 1 + 1^{2} + sin^{2} (u - v)

CalcPowProd

Beräkna potens & produkt

d = cos^{2} (u - v) - 2 cos (u - v) + 1 + sin^{2} (u - v)

RearrangeTerms

Omarrangera termer

d = sin^{2} (u - v) + cos^{2} (u - v) + 1 - 2 cos (u - v)

PythTrigId

$sin^{2} (v) + cos^{2} (v) = 1$

d = 1 + 1 - 2 cos (u - v)

AddTerms

Addera termer

d = 2 - 2 cos (u - v)

De två uttrycken för längden

d

kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.

2 - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v) = 2 - 2 cos (u - v)

RaiseEqn

$VL^{2} = HL^{2}$

2 - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v) = 2 - 2 cos (u - v)

SubEqn

$VL - 2 = HL - 2$

- 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v) = - 2 cos (u - v)

RearrangeEqn

Omarrangera ekvation

- 2 cos (u - v) = - 2 cos (u) cos (v) - 2 sin (u) sin (v)

ChangeSigns

Byt tecken

2 cos (u - v) = 2 cos (u) cos (v) + 2 sin (u) sin (v)

DivEqn

$VL / 2 = HL / 2$

cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v)

Cosinusvärdet av en differens är alltså

cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v) .

Q.E.D.

Bevis

cos (u + v) = cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v)

Man kan bevisa denna formel med utgångspunkt i subtraktionsformeln för cosinus. För att kunna använda den behöver man först skriva om summan

u + v

som en differens mellan ett positivt och ett negativt tal.

cos (u + v)

SumToDiff

$a + b = a - (- b)$

cos (u - (- v))

CosSub

$cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v)$

cos (u) cos (- v) + sin (u) sin (- v)

Uttrycket kan förenklas med de trigonometriska sambanden

cos (- v) = cos (v) och sin (- v) = - sin (v) .

cos (u) cos (- v) + sin (u) sin (- v)

CosNegToCos

$cos (- v) = cos (v)$

cos (u) cos (v) + sin (u) sin (- v)

SinNegToNegSin

$sin (- v) = - sin (v)$

cos (u) cos (v) + sin (u) (- sin (v))

MultPosNeg

$a (- b) = - a \cdot b$

cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v)

Cosinusvärdet av en summa kan alltså skrivas som

cos (u + v) = cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v) .

Q.E.D.

Bevis

sin (u + v) = sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v)

Beviset för detta grundar sig i subtraktionsformeln för cosinus. Dessutom används sambanden

sin (v) = cos (9 0^{\circ} - v)

och

cos (v) = sin (9 0^{\circ} - v)

. Med hjälp av det första sambandet kan

sin (u + v)

skrivas om som cosinus av en differens.

sin (u + v)

SinToCosDiff

$sin (v) = cos (9 0^{\circ} - v)$

cos (9 0^{\circ} - (u + v))

RemoveParSigns

Ta bort parentes & byt tecken

cos (9 0^{\circ} - u - v)

AddPar

Lägg till parentes

cos ((9 0^{\circ} - u) - v)

Nu kan subtraktionsformeln för cosinus användas.

cos ((9 0^{\circ} - u) - v)

CosSub

$cos (u - v) = cos (u) cos (v) + sin (u) sin (v)$

cos (9 0^{\circ} - u) cos (v) + sin (9 0^{\circ} - u) sin (v)

CosDiffToSin

$cos (9 0^{\circ} - v) = sin (v)$

sin (u) cos (v) + sin (9 0^{\circ} - u) sin (v)

SinDiffToCos

$sin (9 0^{\circ} - v) = cos (v)$

sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v)

Sinusvärdet av en summa kan alltså skrivas

sin (u + v) = sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v) .

Q.E.D.

Bevis

sin (u - v) = sin (u) cos (v) - cos (u) sin (v)

Beviset för detta utgår från additionsformeln för sinus. Den kan användas om man först skriver om subtraktionen

u - v

som en addition med ett negativt tal.

sin (u - v)

DiffToSum

$a - b = a + (- b)$

sin (u + (- v))

SinAdd

$sin (u + v) = sin (u) cos (v) + cos (u) sin (v)$

sin (u) cos (- v) + cos (u) sin (- v)

Uttrycket kan nu förenklas med sambanden

cos (- v) = cos (v)

och

sin (- v) = - sin (v) .

sin (u) cos (- v) + cos (u) sin (- v)

CosNegToCos

$cos (- v) = cos (v)$

sin (u) cos (v) + cos (u) sin (- v)

SinNegToNegSin

$sin (- v) = - sin (v)$

sin (u) cos (v) + cos (u) (- sin (v))

MultPosNeg

$a (- b) = - a \cdot b$

sin (u) cos (v) - cos (u) sin (v)

Sinusvärdet av en differens kan alltså skrivas som

sin (u - v) = sin (u) cos (v) - cos (u) sin (v) .

Q.E.D.

Bestäm cosinusvärdet med additionsformeln för cosinus

fullscreen

Beräkna $cos (7 5^{\circ})$ genom att dela upp argumentet som en summa av två standardvinklar. Svara exakt.

Visa Lösning

För att dela upp argumentet $7 5^{\circ}$ i standardvinklar tar vi hjälp av tabellen med trigonometriska värden för standardvinklar.

$v$ (grader)	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$. . .$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$. . .$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$. . .$

De enda standardvinklar som summeras till

7 5^{\circ}

är

3 0^{\circ}

och

4 5^{\circ} .

Med den uppdelningen kan

cos (7 5^{\circ})

skrivas om med additionsformeln för cosinus.

cos (7 5^{\circ})

WriteSum

Dela upp i termer

cos (3 0^{\circ} + 4 5^{\circ})

CosAdd

$cos (u + v) = cos (u) cos (v) - sin (u) sin (v)$

cos (3 0^{\circ}) cos (4 5^{\circ}) - sin (3 0^{\circ}) sin (4 5^{\circ})

Dessa sinus- och cosinusvärden kan vi hämta från tabellen.

cos (3 0^{\circ}) cos (4 5^{\circ}) - sin (3 0^{\circ}) sin (4 5^{\circ})

SubstituteValues

Sätt in värden

\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}

MultFrac

Multiplicera bråk

\frac{3}{2 2} - \frac{1}{2 2}

SubFrac

Subtrahera bråk

\frac{3 - 1}{2 2}

Nu kan vi konstatera att

cos (7 5^{\circ}) = \frac{3 - 1}{2 2} .

{{ article.displayTitle }}