Regel

Trigonometri i enhetscirkeln

I enhetscirkeln kan man definiera en punkt, $(x,y),$ på kurvan med hjälp av de trigonometriska funktionerna sinus och cosinus. Utifrån dessa kan man även hitta ett samband för tangens.

Regel		expand_more
$x=\cos(v)$

Med hjälp av radien och en lodrät linje från en punkt $(x,y)$ i första kvadranten kan man bilda en rätvinklig triangel tillsammans med $x$-axeln.

I denna triangel är den närliggande kateten till $v$ lika med $x$-koordinaten och hypotenusan är $1.$ Enligt definitionen för cosinus är: $\cos{(v)}=\dfrac{\text{Närliggande katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{x}{1}=x.$ Det finns alltså ett samband mellan punktens $x$-koordinat och vinkel $v,$ nämligen $x=\cos(v).$

Regel		expand_more
$y=\sin(v)$

Med hjälp av radien och en lodrät linje från en punkt $(x,y)$ i första kvadranten kan man bilda en rätvinklig triangel tillsammans med $x$-axeln.

I denna triangel är den motstående kateten till $v$ lika med $y$-koordinaten och hypotenusan är $1.$ Enligt definitionen för sinus är: $\sin(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Hypotenusa}}=\dfrac{y}{1}=y.$ Det finns alltså ett samband mellan punktens $y$-koordinat och vinkel $v,$ nämligen $y=\sin(v).$

Regel		expand_more
$\dfrac{y}{x}=\tan(v)$

Med hjälp av radien och en lodrät linje från en punkt $(x,y)$ i första kvadranten kan man bilda en rätvinklig triangel tillsammans med $x$-axeln.

I denna triangel är den motstående kateten till $v$ lika med $y$-koordinaten och den närliggande är $x.$ Enligt definitionen för tangens är: $\tan(v)=\dfrac{\text{Motstående katet}}{\text{Närliggande katet}}=\dfrac{y}{x}.$ Eftersom det även gäller att $y=\sin(v)$ och $x=\sin(v)$ kan tangens även definieras som $\tan(v)=\dfrac{\sin(v)}{\cos(v)}.$ Eftersom detta är en kvot får nämnaren inte vara $0$. Det betyder att $\tan(v)$ är odefinierad för de vinklar som gör att cosinusvärdet blir $0$ dvs. för $v=90^\circ$ och $v=270^\circ.$