Regel

Cirkelns ekvation

Figuren visar en cirkel med radien rr och medelpunkten (a,b).(a,b).

Samtliga punkter (x,y)(x,y) på cirkelns rand uppfyller följande ekvation som kallas cirkelns ekvation.

(xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Alla cirklar kan beskrivas på detta sätt, och känner man till ekvationen för en given cirkel kan man använda den för att bestämma medelpunkten och radien. Exempelvis beskriver ekvationen (x3)2+(y2)2=42(x-3)^2+(y-2)^2=4^2 en cirkel med medelpunkt i (3,2)(3,2) och radie 4.4.

Härledning

(xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Cirkelns ekvation kan härledas om man utgår från en cirkel som har radien rr och medelpunkten (a,b).(a,b). En godtycklig punkt, (x,y),(x,y), placeras sedan på cirkelns rand och ligger alltså en radie från medelpunkten.

Avståndet mellan denna punkt och medelpunkten är r.r. Men rr kan också uttryckas med avståndsformeln, som beräknar avståndet mellan två punkter i ett koordinatsystem. Genom att sätta in radien rr och de två punkterna (x,y)(x,y) och (a,b)(a,b) i formeln kan man med några omskrivningar komma fram till cirkelns ekvation.

d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
r=(x2x1)2+(y2y1)2{\color{#0000FF}{r}} = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
r=(xa)2+(yb)2r = \sqrt{\left({\color{#0000FF}{x}}-{\color{#009600}{a}}\right)^2 + \left({\color{#0000FF}{y}}-{\color{#009600}{b}}\right)^2}
r2=(xa)2+(yb)2r^2=(x-a)^2+(y-b)^2
(xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2

Sambandet (xa)2+(yb)2=r2(x-a)^2+(y-b)^2=r^2 gäller alltså för alla punkter (x,y)(x,y) på det konstanta avståndet rr från medelpunkten (a,b).(a,b).

Q.E.D.

{{ 'ml-template-article-upsell1' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell2' | message }}

{{ 'ml-template-article-upsell3' | message }}