Trigonometriska ettan och additionsformler: Trigonometriska formler

$v$ (grader)	$0^{\circ}$	$3 0^{\circ}$	$4 5^{\circ}$	$6 0^{\circ}$	$. . .$
$sin (v)$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{2}$	$. . .$
$cos (v)$	$1$	$\frac{3}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$	$. . .$

v

(grader)

0^{\circ}

3 0^{\circ}

4 5^{\circ}

6 0^{\circ}

. . .

sin (v)

0

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

\frac{3}{2}

. . .

cos (v)

1

\frac{3}{2}

\frac{1}{2}

\frac{1}{2}

. . .

Utveckla och förenkla uttrycket.

sin (v + 2 3^{\circ})

cos (4 5^{\circ} + x)

sin (\frac{π}{5} - v)

cos (x - \frac{π}{2})

När vi har sinus eller cosinus av en summa eller en differens kan vi använda additions- och subtraktionsformlerna för omskrivningar. Här kan vi utveckla med hjälp av additionsformeln för sinus.

Eftersom 23^(∘) inte är en standradvinkel kan vi inte förenkla mer, utan får nöja oss med denna omskrivning.

Nu utvecklar vi istället med additionsformeln för cosinus.

Eftersom 45^(∘) är en standardvinkel kan vi sätta in kända värden för sinus och cosinus av denna vinkel.

Vi kan konstatera att cos(45^(∘)+x)=1/sqrt()2(cos(x)-sin(x)).

Här kommer subtraktionsformeln för sinus väl till pass.

Eftersom vinkeln π5 inte är en standardvinkel har vi nu förenkat så långt som möjligt.

Slutligen kan vi dra nytta av subtraktionsformeln för cosinus.

De trigonometriska värdena för π2 radianer kan vi ange exakt.

Vi har därmed visat sambandet cos(x-π/2) = sin(x). Detta samband kan man använda om man vill uttrycka sinusvärden som cosinusvärden istället, eller tvärtom.

Uveckla och förenkla uttrycket. Svara exakt.

sin (x + 7 2^{\circ}) + sin (x - 7 2^{\circ})

cos (x + \frac{5 π}{7}) + cos (x - \frac{5 π}{7})

Vi börjar med att utveckla termerna med hjälp av additions- och subtraktionsformlerna för sinus.

Vi kan nu se att två av termerna tar ut varandra och de andra två är likadana, så de kan slås ihop.

Vi får alltså 2sin(x)cos(72^(∘)) .

På liknande sätt som i första deluppgiften utvecklar vi termerna, denna gång med additions- och subtraktionsformlerna för cosinus, och förenklar därefter.

Efter förenkling får man alltså 2cos(x)cos(5 π/7).

Bestäm antalet möjliga värdena för

cos (v)

sin (v) = \frac{4}{5} .

Om man känner till sinus- eller cosinusvärdet för en vinkel kan man använda trigonometriska ettan för att bestämma det andra värdet. Vi sätter in sin(v) = 45 i sambandet och löser ut cos(v). Kom ihåg att sin^2(v) är samma sak som (sin(v))^2.

Om sin(v)= 45 så kan cos(v) alltså anta två möjliga värden: cos(v)=3/5 och cos(v)=-3/5.

Förenkla

cos^{2} (v) (tan^{2} (v) + 1) .

Vi börjar med att skriva ut tangens som kvoten mellan sinus och cosinus, och multiplicerar därefter in cos^2(v) i parentesen. Därefter förenklar vi första termen och använder trigonometriska ettan.

Vi har därmed förenklat så att cos^2(v)(tan^2(v)+1 )=1.

Linnéa påstår att

2 sin^{2} (x) + cos (x + y) - cos (x - y) + 2 cos^{2} (x)

kan förenklas till

2 - 2 sin (x) sin (y),

medan Malcolm säger att samma uttryck kan förenklas till

2 .

Vem har rätt? Och vilket misstag kan den som förenklat fel gjort?

Termerna som har trigonometriska värden i kvadrat kan förenklas med trigonometriska ettan, de andra med hjälp av och additions- och subtraktionsformlerna för cosinus.

Här har vi termer som kan paras ihop. Termerna med cos(x)cos(y) har olika tecken och tar ut varandra, medan termerna med sin(x)sin(y) har samma tecken och "läggs ihop".

Vi fick alltså samma resultat som Linnéa: 2-2sin(x)sin(y). Malcolms misstag kan ha varit att båda termerna som cos(x-y) ersätts med ska subtraheras. Har man fel tecken framför den sista termen sin(x)sin(y) blir resultatet 2. Det gäller att hålla koll på parenteser och tecken!

Trigonometriska ettan och additionsformler

Trigonometriska ettan

Bevis

Exempel

Bestäm sinusvärdet med trigonometriska ettan

Additions- och subtraktionsformler

Bevis

Bevis

Bevis

Bevis

Exempel

Bestäm cosinusvärdet med additionsformeln för cosinus

Trigonometriska ettan och additionsformler

Rekommenderade uppgifter

	5 sidor teori
	11 Uppgifter - Nivå 1 - 3
	Varje lektion är menad motsvara 1-2 lektioner i klassrummet.