För att beräkna cosinus av en differens använder man sinus och cosinus för båda vinklar i differensen.

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, $u$ och $v,$ i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas $P$ och $Q.$ Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, $d,$ mellan punkterna $P$ och $Q$ kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för $d.$ Medelpunktsvinkeln mellan $P$ och $Q$ är skillnaden mellan $u$ och $v,$ dvs. $u-v.$

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i $P$ hamnar på $x$-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet $d$ är fortfarande samma. Låt $P^{\prime }$ och $Q^{\prime }$ beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna $d$ med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för $P^{\prime }$ och $Q^{\prime }.$ De två uttrycken för längden $d$ kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd. Cosinusvärdet av en differens är alltså