Expandera meny menu_open Minimera Startsida kapitel Startsida Historik history Historik expand_more
{{ item.displayTitle }}
navigate_next
Ingen historik än!
Statistik equalizer Statistik expand_more
Student
navigate_next
Lärare
navigate_next
{{ filterOption.label }}
{{ item.displayTitle }}
{{ item.subject.displayTitle }}
arrow_forward
Inget resultat
{{ searchError }}
search
menu_open
{{ courseTrack.displayTitle }}
{{ statistics.percent }}% Logga in för att se statistik
{{ printedBook.courseTrack.name }} {{ printedBook.name }}
search Använd offline Verktyg apps
Logga in account_circle menu_open

Subtraktionsformeln för cosinus


Bevis

Subtraktionsformeln för cosinus

För att beräkna cosinus av en differens använder man sinus och cosinus för båda vinklar i differensen.

cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, uu och v,v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas PP och Q.Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Avståndet, d,d, mellan punkterna PP och QQ kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d.d.
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(cos(u)cos(v))2+(sin(u)sin(v))2d=\sqrt{(\cos(u)-\cos(v))^2+(\sin(u)-\sin(v))^2}
d=cos2(u)2cos(u)cos(v)+cos2(v)+sin2(u)2sin(u)sin(v)+sin2(v)d=\sqrt{\cos^2(u)-2\cos(u)\cos(v)+\cos^2(v)+\sin^2(u)-2\sin(u)\sin(v)+\sin^2(v)}
d=sin2(u)+cos2(u)+sin2(v)+cos2(v)2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{\sin^2(u)+\cos^2(u)+\sin^2(v)+\cos^2(v)-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
d=1+12cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{1+1-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
d=22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)d=\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}
Medelpunktsvinkeln mellan PP och QQ är skillnaden mellan uu och v,v, dvs. uv.u-v.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i PP hamnar på xx-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet dd är fortfarande samma. Låt PP' och QQ' beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Nu kan man beräkna dd med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för PP' och Q.Q'.
d=(x2x1)2+(y2y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }
d=(cos(uv)1)2+(sin(uv)0)2d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+(\sin(u-v)-0)^2}
d=(cos(uv)1)2+sin2(uv)d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+\sin^2(u-v)}
d=cos2(uv)2cos(uv)1+12+sin2(uv)d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cdot\cos(u-v)\cdot 1+1^2+\sin^2(u-v)}
d=cos2(uv)2cos(uv)+1+sin2(uv)d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cos(u-v)+1+\sin^2(u-v)}
d=sin2(uv)+cos2(uv)+12cos(uv)d=\sqrt{\sin^2(u-v)+\cos^2(u-v)+1-2\cos(u-v)}
d=1+12cos(uv)d=\sqrt{1+1-2\cos(u-v)}
d=22cos(uv)d=\sqrt{2-2\cos(u-v)}
De två uttrycken för längden dd kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.
22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=22cos(uv)\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}=\sqrt{2-2\cos(u-v)}
22cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=22cos(uv)2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=2-2\cos(u-v)
-2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)=-2cos(uv)\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=\text{-} 2\cos(u-v)
-2cos(uv)=-2cos(u)cos(v)2sin(u)sin(v)\text{-} 2\cos(u-v)=\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)
2cos(uv)=2cos(u)cos(v)+2sin(u)sin(v)2\cos(u-v)= 2\cos(u)\cos(v)+2\sin(u)\sin(v)
cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)\cos(u-v)= \cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)
Cosinusvärdet av en differens är alltså cos(uv)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v). \cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v).
Q.E.D.