För att beräkna cosinus av en differens använder man sinus och cosinus för båda vinklar i differensen.

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, u och v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas P och Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, d, mellan punkterna P och Q kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d. Medelpunktsvinkeln mellan P och Q är skillnaden mellan u och v, dvs. u−v.

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i P hamnar på x-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet d är fortfarande samma. Låt $P^{\prime }$ och $Q^{\prime }$ beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna d med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för $P^{\prime }$ och $Q^{\prime }.$ De två uttrycken för längden d kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd. Cosinusvärdet av en differens är alltså