För att beräkna cosinus av en differens använder man sinus och cosinus för båda vinklar i differensen.
cos(u−v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)
För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, u och v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas P och Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Avståndet, d, mellan punkterna P och Q kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d.
Medelpunktsvinkeln mellan P och Q är skillnaden mellan u och v, dvs. u−v.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i P hamnar på x-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet d är fortfarande samma. Låt P′ och Q′ beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.
Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.
Nu kan man beräkna d med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för P′ och Q′.