Bevis

Subtraktionsformeln för cosinus

För att beräkna cosinus av en differens använder man sinus och cosinus för båda vinklar i differensen.

cos(u-v)=cos(u)cos(v)+sin(u)sin(v)

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, u och v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas P och Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, d, mellan punkterna P och Q kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d.

d = sqrt((x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2)

SubstituteExpressions

Sätt in uttryck

d=sqrt((cos(u)-cos(v))^2+(sin(u)-sin(v))^2)

ExpandNegPerfectSquare

Utveckla med andra kvadreringsregeln

d=sqrt(cos^2(u)-2cos(u)cos(v)+cos^2(v)+sin^2(u)-2sin(u)sin(v)+sin^2(v))

RearrangeTerms

Omarrangera termer

d=sqrt(sin^2(u)+cos^2(u)+sin^2(v)+cos^2(v)-2cos(u)cos(v)-2sin(u)sin(v))

PythTrigId

sin^2(v) + cos^2(v) = 1

d=sqrt(1+1-2cos(u)cos(v)-2sin(u)sin(v))

AddTerms

Addera termerna

d=sqrt(2-2cos(u)cos(v)-2sin(u)sin(v))

Medelpunktsvinkeln mellan P och Q är skillnaden mellan u och v, dvs. u-v.

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i P hamnar på x-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet d är fortfarande samma. Låt P' och Q' beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.