Bevis

Subtraktionsformeln för cosinus

För att beräkna cosinus av en differens använder man sinus och cosinus för båda vinklar i differensen.

$\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, $u$ och $v,$ i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas $P$ och $Q.$ Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, $d,$ mellan punkterna $P$ och $Q$ kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för $d.$

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }$

Sätt in uttryck

$d=\sqrt{(\cos(u)-\cos(v))^2+(\sin(u)-\sin(v))^2}$

Utveckla med andra kvadreringsregeln

$d=\sqrt{\cos^2(u)-2\cos(u)\cos(v)+\cos^2(v)+\sin^2(u)-2\sin(u)\sin(v)+\sin^2(v)}$

Omarrangera termer

$d=\sqrt{\sin^2(u)+\cos^2(u)+\sin^2(v)+\cos^2(v)-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}$

$\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1$

$d=\sqrt{1+1-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}$

Förenkla termer

$d=\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}$

Medelpunktsvinkeln mellan $P$ och $Q$ är skillnaden mellan $u$ och $v,$ dvs. $u-v.$

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i $P$ hamnar på $x$-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet $d$ är fortfarande samma. Låt $P'$ och $Q'$ beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna $d$ med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för $P'$ och $Q'.$

$d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }$

Sätt in uttryck

$d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+(\sin(u-v)-0)^2}$

Förenkla termer

$d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+\sin^2(u-v)}$

Utveckla med andra kvadreringsregeln

$d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cdot\cos(u-v)\cdot 1+1^2+\sin^2(u-v)}$

Beräkna potens & produkt

$d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cos(u-v)+1+\sin^2(u-v)}$

Omarrangera termer

$d=\sqrt{\sin^2(u-v)+\cos^2(u-v)+1-2\cos(u-v)}$

$\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1$

$d=\sqrt{1+1-2\cos(u-v)}$

Förenkla termer

$d=\sqrt{2-2\cos(u-v)}$

De två uttrycken för längden $d$ kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.

$\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}=\sqrt{2-2\cos(u-v)}$

$\text{VL}^{2}=\text{HL}^{2}$

$2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=2-2\cos(u-v)$

$\text{VL}-2=\text{HL}-2$

$\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=\text{-} 2\cos(u-v)$

Omarrangera ekvation

$\text{-} 2\cos(u-v)=\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)$

Byt tecken

$2\cos(u-v)= 2\cos(u)\cos(v)+2\sin(u)\sin(v)$

$\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.$

$\cos(u-v)= \cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$

Cosinusvärdet av en differens är alltså $\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v).$

Q.E.D.