Bevis

Subtraktionsformeln för cosinus

För att beräkna cosinus av en differens använder man sinus och cosinus för båda vinklar i differensen.

$\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)$

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, $u$ och $v,$ i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas $P$ och $Q.$ Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Avståndet, $d,$ mellan punkterna $P$ och $Q$ kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för

d.

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }

SubstituteExpressionsSätt in uttryck

d=\sqrt{(\cos(u)-\cos(v))^2+(\sin(u)-\sin(v))^2}

ExpandNegPerfectSquareUtveckla med andra kvadreringsregeln

d=\sqrt{\cos^2(u)-2\cos(u)\cos(v)+\cos^2(v)+\sin^2(u)-2\sin(u)\sin(v)+\sin^2(v)}

RearrangeTermsOmarrangera termer

d=\sqrt{\sin^2(u)+\cos^2(u)+\sin^2(v)+\cos^2(v)-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}

PythTrigId

\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1

d=\sqrt{1+1-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}

AddTermsFörenkla termer

d=\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}

Medelpunktsvinkeln mellan

P

och

Q

är skillnaden mellan

u

och

v,

dvs.

u-v.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i $P$ hamnar på $x$ -axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet $d$ är fortfarande samma. Låt $P'$ och $Q'$ beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Fel uppstod: bilden kunde ej laddas.

Nu kan man beräkna

d

med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för

P'

och

Q'.

d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 }

SubstituteExpressionsSätt in uttryck

d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+(\sin(u-v)-0)^2}

SubTermFörenkla termer

d=\sqrt{(\cos(u-v)-1)^2+\sin^2(u-v)}

ExpandNegPerfectSquareUtveckla med andra kvadreringsregeln

d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cdot\cos(u-v)\cdot 1+1^2+\sin^2(u-v)}

CalcPowProdBeräkna potens & produkt

d=\sqrt{\cos^2(u-v)-2\cos(u-v)+1+\sin^2(u-v)}

RearrangeTermsOmarrangera termer

d=\sqrt{\sin^2(u-v)+\cos^2(u-v)+1-2\cos(u-v)}

PythTrigId

\sin^2(v) + \cos^2(v) = 1

d=\sqrt{1+1-2\cos(u-v)}

AddTermsFörenkla termer

d=\sqrt{2-2\cos(u-v)}

De två uttrycken för längden

d

kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.

\sqrt{2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)}=\sqrt{2-2\cos(u-v)}

RaiseEqn

\text{VL}^{2}=\text{HL}^{2}

2-2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=2-2\cos(u-v)

SubEqn

\text{VL}-2=\text{HL}-2

\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)=\text{-} 2\cos(u-v)

RearrangeEqnOmarrangera ekvation

\text{-} 2\cos(u-v)=\text{-} 2\cos(u)\cos(v)-2\sin(u)\sin(v)

ChangeSignsByt tecken

2\cos(u-v)= 2\cos(u)\cos(v)+2\sin(u)\sin(v)

DivEqn

\left.\text{VL}\middle/2\right.=\left.\text{HL}\middle/2\right.

\cos(u-v)= \cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v)

Cosinusvärdet av en differens är alltså

\cos(u-v)=\cos(u)\cos(v)+\sin(u)\sin(v).

Q.E.D.