{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
menu_book {{ printedBook.name}}
arrow_left {{ state.menu.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }} arrow_right
arrow_left {{ state.menu.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
arrow_left {{ state.menu.current.current.current.label }}
{{ option.icon }} {{ option.label }}
Mathleaks
Använd offline
Expandera meny menu_open
Subtraktionsformeln för cosinus
tune
{{ topic.label }}
{{ result.displayTitle }}
{{ result.subject.displayTitle }}
navigate_next

Bevis

Subtraktionsformeln för cosinus

För att beräkna cosinus av en differens använder man sinus och cosinus för båda vinklar i differensen.

För att bevisa sambandet kan man utgå från två godtyckliga vinklar, u och v, i enhetscirkeln. Genom att dra vinkelstreck från origo till cirkeln hamnar man på punkter som kan kallas P och Q. Koordinaterna för dessa punkter anges med vinklarnas sinus- och cosinusvärden.

Avståndet, d, mellan punkterna P och Q kan bestämmas med hjälp av avståndsformeln.

Genom att sätta in koordinaterna och använda andra kvadreringsregeln får man ett uttryck för d.
Medelpunktsvinkeln mellan P och Q är skillnaden mellan u och v, dvs. uv.

Tänk nu att man roterar hela triangeln så att hörnet i P hamnar på x-axeln. Medelpunktsvinkeln kommer inte att ändras och avståndet d är fortfarande samma. Låt och beteckna de punkter där hörnen ligger efter rotationen.

Nu kan man beräkna d med hjälp av avståndsformeln igen, men med koordinaterna för och
De två uttrycken för längden d kan man nu sätta lika med varandra eftersom det är samma avstånd.
Cosinusvärdet av en differens är alltså
Q.E.D.
close
Community